专题13一次函数应用同专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

本讲义聚焦一次函数应用核心知识点，先系统回顾解析式、性质等基础内容，再通过解题四步法搭建通用框架，结合行程、计费、利润等实际模型，明确必考考点与易错点，形成从基础到应用的完整学习支架。 该资料按分配方案、最大利润等六大题型设计典例与跟踪专练，如租车方案比较、利润计算等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过四步法训练数学思维，强化实际取值范围等细节，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题13一次函数应用同专项训练讲义 【题型01 一次函数应用:分配方案问题】..............................3 【题型02 一次函数应用:最大利润问题】..............................6 【题型03 一次函数应用:行程问题】.................................10 【题型04 一次函数应用:梯度计价问题】.............................15 【题型05 一次函数应用:其他实际问题】.............................17 【题型06 一次函数与几何综合】....................................20 【解答题5题】....................................................24 ★知识梳理★ 知识点01:一次函数基本回顾 解析式：y=kx+b（k0，k,b为常数） 正比例函数：y=kx（b=0） 性质： k>0：y 随 x 增大而增大 k<0：y 随 x 增大而减小 知识点02:解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点03:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 总利润=(售价-进价)销售量 总利润=总收入-总成本 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 5. 几何图形问题 周长类（一次函数）： 长方形周长C=2(长+宽) 面积类（一般不是一次函数）： 长方形面积S=长宽 知识点04:必考考点 1.根据表格、图像、文字求解析式 y=kx+b 2.求自变量取值范围（实际意义：非负、整数等） 3.已知 x 求 y，已知 y 求 x 4.两个一次函数比较：哪种更省钱、更划算 5.图像交点的实际意义 知识点05:易错点 1.忽略实际意义，取值范围写错 2.求 k、b 计算错误 3.单位不统一 4.分段函数只写一段 【题型1.一次函数应用:分配方案问题】 【典例】本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司． 【答案】甲 【分析】由题意可知x=3500>1500，此时观察图像，则此时甲省钱． 【详解】根据图象可知当x>1500时，，此时甲省钱． ∵x=3500>1500，此时， ∴此时甲省钱． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据两个一次函数的交点判断出与的大小是解答本题的关键． 【跟踪专练1】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 【跟踪专练2】某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 【答案】(1)（为整数） (2)总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元 【分析】本题一次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意列出不等式，解出的范围即可； （2）设总租金为元，则列方程为，根据一次函数的图象性质可知，当时，最小，最小值为14400元，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 由于，且为整数， 则的取值范围是（ x为整数）； （2）解：设总租金为元，则， 由于， 所以随的增大而增大， 当时，最小，最小值为14400元， 此时租车方案为：载重量20吨的货车0辆，15吨的货车12辆， 因此，总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元． 【跟踪专练3】某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】(1)， 、． (2)当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【详解】（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． （2）已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【题型2.一次函数应用:最大利润问题】 【典例】某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 【跟踪专练1】某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【跟踪专练2】为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 【跟踪专练3】.某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进，两种类型的图书共套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示： 图书类型 进价/（元/套） 售价/（元/套） 设购进型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若购进两种图书的总费用不超过元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多?并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当取最小值时，利润最大，此时购进型图书套，型图书套，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． (1)设购进型图书套，则购进型图书套，可得型图书利润为元，型图书利润为元，总利润为； (2)根据购进两种图书的总费用不超过元，可得不等式，解不等式可得：，根据一次函数的性质可知当时，利润最大． 【详解】（1）解：设购进型图书套，则购进型图书套， 则型图书利润为元，型图书利润为元， 总利润为； （2）解：由题意得：， 解得： ， ． 一次函数中，， 当时，利润最大， 购进型图书套，型图书50套，最大利润为元． 【题型3.一次函数应用:行程问题】 【典例】元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快______里/日． 【答案】90 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象特殊点的坐标解答即可． 【详解】解：由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日， 当时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发日， 良马行走4800里用了20日，故速度为里/日，劣马行走4800里用了32日，故速度为里/日， 所以良马的速度比劣马的速度快里/日 故答案为： 【跟踪专练1】在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式． ①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出甲爬山的速度；②当时，根据高度初始高度速度时间，即可得出关于的函数关系，令可求出相应的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解． 【详解】解：①甲的爬山高度是 米，用时 20 分钟，故速度是米／分，故①正确； ②当时，， 当时，，故，故②正确； ③乙提速后距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 甲爬山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式为： ， 当时， 解得：；故③正确； ④令， ， 甲乙相遇后，甲再经过 1 分钟与乙相距 20 米，故④正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系． (1)B出发时与A相距 千米． (2)走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 小时． (3)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，多少小时与A相遇，相遇点离B的出发点多少千米． (4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式． 【答案】(1)B 出发时与 A 相距 10千米 (2)1 (3)小时，千米 (4) 【分析】本题考查函数图象，求一次函数的解析式，从函数图象中正确的获取信息是解题的关键： （1）根据函数图象直接作答即可； （2）用即可得出结果； （3）求出的速度，根据相遇时比多行千米，进行求解即可； （4）根据题意，把代入A行走的路程S与时间t的函数关系式，再求出，即可作答． 【详解】（1）解：由图象可知，B出发时与A相距千米； 故答案为：10； （2）解：由题意，修理自行车所用时间为（小时）； 故答案为：1； （3）解：由图象可知，的速度为每小时千米， 的自行车故障之前的速度为每小时千米， 由题意，，解得， ∴B经过小时，与A相遇，此时相遇点离B的出发点有（千米）； （4）解：设A行走的路程S与时间t的函数关系式为 根据题意，把代入， 得， 解得， ∴， 即A行走的路程S与时间t的函数关系式为． 【跟踪专练3】在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80 (2)， (3) (4)分钟和7分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为两地之间的距离，为1200米，乙经过15分钟时到达地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点表示此时甲到达地，则可求出，再经过3分钟乙到达地，此时两人相距米，利用甲乙的速度即可算出； （3）根据的坐标，设出的一般解析式，将的坐标代入即可求出； （4）设经过分钟两人相距60米，根据两人相遇前和相遇后都可相距60米分别列方程即可求出． 【详解】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）； 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则， 解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12；900； （3）解：设线段的解析式为， 则有， 解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 【题型4.一次函数应用:梯度计价问题】 【典例】某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，根据选项依次判断即可． 【详解】A、图像表示每吨的价格不变，不符合题意； B、图像表示用水到一定量后，每吨的价格下降，不符合题意； C、图像表示用水到一定量后，每吨的价格上升，符合题意； D、图像表示用水量在一定量以前，总价不变，用水到一定量后，每吨的价格上升，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 【跟踪专练2】某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 【跟踪专练3】我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)该户居民12月用了11吨水． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数的函数值，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； （2）可求出该户居民12月的用水量超过6吨，把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：∵， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在中，当时，，解得， 答：该户居民 月用了11吨水． 【题型5.一次函数应用:其他实际问题】 【典例】摩托车油箱中有升油，行驶时每小时耗油升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为______，自变量的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用， 根据行驶时每小时耗油升，则行驶小时耗油，剩余油量为，据此列出函数解析式写出自变量取值范围即可，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为：，自变量取值范围为：． 故答案为：；． 【跟踪专练1】某超市购进了一些食品，出售时要在进价的基础上加一定的利润．若其数量（单位：）与售价（单位：元）之间的关系如下表，则关于的函数解析式为____________． 数量 1 2 3 4 5 … 售价/元 … 【答案】 【分析】先观察表格中售价与数量的对应关系，发现售价由两部分组成，可分别提取规律，再合并得到函数解析式． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； 当时，； …… 可以看出，售价可拆分为两部分： 第一部分：； 第二部分：； 因此，． ∴关于的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点根据实际问题列一次函数解析式，解题关键是从表格数据中提取数量与售价的线性关系，通过拆分与合并得到函数表达式． 【跟踪专练2】蜡烛点燃后消耗的长度与燃烧时间之间的函数解析式为．已知长为的蜡烛燃烧后，蜡烛变短，求： (1)y与x之间的函数解析式； (2)此蜡烛点燃多长时间后可燃烧完． 【答案】(1) (2)此蜡烛点燃后可燃烧完 【分析】（1）根据蜡烛燃烧后，变短，代入求出k即可； （2）蜡烛燃烧完即，代入求出x即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 与x之间的函数解析式为； （2）解：当时，即， 解得， ∴此蜡烛点燃后可燃烧完． 【跟踪专练3】近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1) (2)建设座种换电站可使投资总额最少，为万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出一次函数关系式，即可求解； （2）根据种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，得，进而根据一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍， 所以，解得； 因为一次函数中，随的增大而减小， 所以当时，； 答：建设座种换电站可使投资总额最少，为万元． 【题型6.一次函数与几何综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x、y轴于点B、A．点C是直线上不同于点B的点，且．则点C的坐标______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，由及点C不同于点B，可知点A是线段的中点，由点A、B的坐标即可求出点C的坐标． 【详解】解：如图， 直线，当时，； 当时，由， 解得：， ∴，； ∵，且点C不同于点B， ∴点A是线段的中点，即点C与点B关于点A对称， ∴点C的横坐标为， 当时，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上，； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了一次函数的几何综合，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别令，即可求解； （2）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （3）先求出，设点的坐标为，根据的面积等于面积的2倍，列出方程，即可求解； 【详解】（1）解：令， 令， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：． （3）解：存在， 由（1）得：点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标为， ∵的面积等于面积的2倍， ， 整理得， 或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【解答题】 1．某学校积极响应号召，绿化校园．计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元. (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) （且为整数） (2) 当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设购买A种树苗x棵，则设购买B种树苗棵，根据总费用A种树苗单价A种树苗数量 B种树苗单价B种树苗数量列式求解即可； （2）根据购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（且x为整数）； （2）解：∵购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量， ∴， 解得， ∴（x为整数）， ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，最小为1690，此时， ∴当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元． 2．某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)5元；8元 (2)购进15张A书签，45张B书签；255元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每张A书签的进价是元，每张B书签的进价是元， 根据题意，得， 解得， 答：每张A书签的进价是5元，每张B书签的进价是8元； （2）解：设购进张A书签，则购进张B书签，根据题意，得   ． 解得． 设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为元，则 ， 即． ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值， 最大值为． 此时． 答：当购进15张A书签，45张B书签时，文具店在这批书签全部售出后获得利润最大，最大利润是255元． 3．写出下面两个问题中两个量的函数关系式，并判断是不是一次函数？是不是正比例函数？ (1)汽车以的平均速度从站出发，汽车离开站的距离和行驶时间之间的函数关系式； (2)汽车距离站，再以的平均速度行驶了，汽车离开站的距离与行驶时间之间的函数关系式． 【答案】(1)函数关系式为，它是正比例函数，是一次函数 (2)函数关系式为，它不是正比例函数，是一次函数 【分析】本题主要考查了函数关系式的建立以及正比例函数、一次函数的定义与判断．形如（为常数，）的函数是正比例函数，形如（、为常数，）的函数是一次函数，根据正比例函数、一次函数的定义去判断即可求解． 【详解】（1）解：根据路程速度时间，可得，符合正比例函数（为常数，）的形式，所以它是正比例函数，也是一次函数； （2）汽车出发时已距离站，总距离为，符合一次函数（、为常数，）的形式，所以它不是正比例函数，是一次函数． 4．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)写出与的函数表达式； (2)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)； (2)小丽家4月份所用煤气量为90立方米． 【分析】此题考查函数解析式，一元一次方程的应用，正确理解收费标准是解决此题的关键． （1）根据收费标准，分和两种情况，分别列出函数表达式即可； （2）设小丽家4月份所用煤气量为a立方米，先判断a是否大于50，然后代入对应的表达式中求解即可． 【详解】（1）解：当时， 由题意得； 当时， 由题意得， 所以y与x之间的表达式为； （2）解：设小丽家4月份所用煤气量为a立方米， 因为（元），而88元元， 所以小丽家4月份所用煤气量超过50立方米， 由（1）得， 解得， 答：小丽家4月份所用煤气量为90立方米． 5．综合与实践 问题情景： 如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为， (2)的面积为3 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的表达式求解、三角形面积的坐标法计算及坐标与图形的性质，关键是通过待定系数法确定函数解析式，结合坐标特征计算面积，再利用面积相等建立方程求解点的坐标． （1）考查待定系数法求一次函数解析式，以及求直线与轴的交点坐标，通过代入两点坐标解二元一次方程组得到解析式，再令求点坐标； （2）考查三角形面积的坐标法计算，先求出直线与轴交点的坐标，再利用坐标法或割补法计算的面积； （3）考查面积相等条件下的点坐标求解，设点坐标后，用底高法表示的面积，结合已知面积列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，把和代入得， ，解得． ∴直线的表达式为． 把代入，得：， ∴； （2）解：把代入，得， ∴． 把代入，得，解得， ∴． ∴． ∴； （3）解：设，则， ∵，∴． 解得或． ∴点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13一次函数应用同专项训练讲义 【题型01 一次函数应用:分配方案问题】..............................3 【题型02 一次函数应用:最大利润问题】..............................4 【题型03 一次函数应用:行程问题】..................................5 【题型04 一次函数应用:梯度计价问题】..............................7 【题型05 一次函数应用:其他实际问题】..............................8 【题型06 一次函数与几何综合】.....................................8 【解答题5题】....................................................10 ★知识梳理★ 知识点01:一次函数基本回顾 解析式：y=kx+b（k0，k,b为常数） 正比例函数：y=kx（b=0） 性质： k>0：y 随 x 增大而增大 k<0：y 随 x 增大而减小 知识点02:解题四步法（通用） 1.审：找变量，确定自变量 x、函数 y 2.设：设 y=kx+b 3.列：代入两组值，列方程组求 k、b 4.解：写解析式→求函数值 / 自变量→写实际取值范围 知识点03:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1. 行程问题 核心公式：路程=速度时间 一次函数模型： 匀速行驶：s=vt（正比例） 已有路程 + 匀速：s=vt+s0（一次函数） 2. 计费问题（话费、水费、电费、打车） 核心公式：总费用=基础费+超额部分费用 一次函数模型：y=kx+b b：基础费 / 固定费用 k：单价 / 费率 3. 销售利润问题 核心公式： 一次函数模型：y=(p−a)x y：总利润 p：售价，a：进价，x：销量 4. 工程问题 核心公式：工作量=工作效率工作时间 一次函数模型：W=vt+W0​ W0：已完成工作量 5. 几何图形问题 周长类（一次函数）： 面积类（一般不是一次函数）： 知识点04:必考考点 1.根据表格、图像、文字求解析式 y=kx+b 2.求自变量取值范围（实际意义：非负、整数等） 3.已知 x 求 y，已知 y 求 x 4.两个一次函数比较：哪种更省钱、更划算 5.图像交点的实际意义 知识点05:易错点 1.忽略实际意义，取值范围写错 2.求 k、b 计算错误 3.单位不统一 4.分段函数只写一段 【题型1.一次函数应用:分配方案问题】 【典例】本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司． 【跟踪专练1】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【跟踪专练2】某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 【跟踪专练3】某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【题型2.一次函数应用:最大利润问题】 【典例】某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【跟踪专练1】某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【跟踪专练2】为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【跟踪专练3】.某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进，两种类型的图书共套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示： 图书类型 进价/（元/套） 售价/（元/套） 设购进型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若购进两种图书的总费用不超过元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多?并求出最大利润． 【题型3.一次函数应用:行程问题】 【典例】元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个劣马先行的问题，其中良马与劣马行走路程单位：里关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，则良马的速度比劣马的速度快______里/日． 【跟踪专练1】在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；②；③当乙爬了分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（   ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【跟踪专练2】如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系． (1)B出发时与A相距 千米． (2)走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 小时． (3)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，多少小时与A相遇，相遇点离B的出发点多少千米． (4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式． 【跟踪专练3】在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【题型4.一次函数应用:梯度计价问题】 【典例】某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【跟踪专练2】某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【跟踪专练3】我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？ 【题型5.一次函数应用:其他实际问题】 【典例】摩托车油箱中有升油，行驶时每小时耗油升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为______，自变量的取值范围为______． 【跟踪专练1】某超市购进了一些食品，出售时要在进价的基础上加一定的利润．若其数量（单位：）与售价（单位：元）之间的关系如下表，则关于的函数解析式为____________． 数量 1 2 3 4 5 … 售价/元 … 【跟踪专练2】蜡烛点燃后消耗的长度与燃烧时间之间的函数解析式为．已知长为的蜡烛燃烧后，蜡烛变短，求： (1)y与x之间的函数解析式； (2)此蜡烛点燃多长时间后可燃烧完． 【跟踪专练3】近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【题型6.一次函数与几何综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x、y轴于点B、A．点C是直线上不同于点B的点，且．则点C的坐标______． 【跟踪专练1】定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答题】 1．某学校积极响应号召，绿化校园．计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元. (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 2．某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 3．写出下面两个问题中两个量的函数关系式，并判断是不是一次函数？是不是正比例函数？ (1)汽车以的平均速度从站出发，汽车离开站的距离和行驶时间之间的函数关系式； (2)汽车距离站，再以的平均速度行驶了，汽车离开站的距离与行驶时间之间的函数关系式． 4．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)写出与的函数表达式； (2)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 5．综合与实践 问题情景： 如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $