河北安平中学2025-2026学年高二年级下学期假期作业测试数学试卷

2025—2026学年第二学期寒假作业测试 高二数学试题 一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．若函数与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C．ln3 D． 6．关于等差数列和等比数列，下列说法错误的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则. B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则. D．若数列为等比数列，且，则0<. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分) 8.已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 9．如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 10．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 11．若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是______________. 12. 从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点．椭圆与轴正半轴交点为，椭圆与轴正半轴交点为，若（为原点），则椭圆的离心率等于________. 13. 设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当x＜0时，且，则不等式的 解集为________________. 四、解答题(本大题共2小题,共32分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 14．（15分）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 15．（17分）已知函数， (1)若函数在点处的切线与直线互相垂直，求实数的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学答案 1．D 【详解】由，，则， 所以，，而， 则点到直线的距离为. 故选：D 2．C 【详解】直线经过点，且与直线平行，则的方程为，化简得 3．A 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件， 故选：A 4．D 【详解】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 5．D 【详解】由函数与函数的图象关于直线对称，得， 求导得，所以. 故选：D 6．B 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，正确. 故选：B 7. 【答案】C 【详解】因为，所以要求的最小值，只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为. 8． 【答案】BCD 【详解】对于A，，，设，则得，显然无解， 故与不是共线向量，A错误； 对于B，与同向的单位向量是，B正确； 对于C，在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，，，即坐标为的向量， 与、都垂直，因此平面ABC的一个法向量是，D正确. 故选：BCD 9. C 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，故当，时，取得最小值为. 故选：CD. 10．ACD 【详解】对椭圆：焦点在轴上，且，，所以，所以椭圆的焦点为，离心率为. 对双曲线：焦点在轴上，其渐近线方程为. 所以，AC正确，B错误. 对D：由， 所以或或或. 即椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D正确. 故选：ACD 11. 【答案】【详解】根据题意可设椭圆的标准方程为：，. 则，解得：，， 所以椭圆的方程为. 12．【答案】 【详解】由题意可设(为半焦距)，则，又， 因为，所以，得，所以， 把代入椭圆方程得，得， 所以.    13．【答案】（﹣3，0）∪（3，+∞） 【解析】∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）， 令h（x）＝f（x）•g（x）， 则h（﹣x）＝﹣h（x）， 故h（x）＝f（x）•g（x）为R上的奇函数， ∵当x＜0时，f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0， 即x＜0时，h′（x）＝f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0， ∴h（x）＝f（x）•g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减， ∴奇函数h（x）在区间（0，+∞）上也单调递减， 如图： 由g（﹣3）＝0， ∴h（﹣3）＝h（3）＝0， ∴当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h（x）＝f（x）•g（x）＜0. 14.【解析】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 15.【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 得，由，解得. （2）由题意得，在上恒成立. ①当时，不等式可化为， 令，则， 当时， . 所以函数在上单调递增. 所以在处取得最小值 ， 故实数的取值范围. ②当 时，由得， 此时，不符合题意. 综上，的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $