精品解析：河北衡水市第二中学2025-2026学年度高二年级下学期开学检测数学试题

2025-2026学年度高二年级下学期开学检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2 和18的等比中项为（ ） A. - 6 B. 6 C. 12 D. - 6或6 2. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 3. 已知抛物线方程，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的实轴长为 D. 是上的点 10. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 11. 已知数列满足则下列说法正确的是（ ） A. 当时，（且n∈N⁺） B. 若数列为常数列，则 C. 若数列为递增数列，则 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为_____________元.（参考数据：） 13. 已知圆，直线，直线被圆截得最短弦长是_____________. 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数 . （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）求函数的图像经过点的切线方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面底面，四边形为直角梯形，，，，，. （1）求证：平面； （2）若点是线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知等比数列的前n项和为，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）令求数列的前n项和. 18. 已知函数． （1）若有两个极值点，求的取值范围； （2）若，，求的取值范围． 19. 椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级下学期开学检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2 和18的等比中项为（ ） A. - 6 B. 6 C. 12 D. - 6或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项定义即可得到答案. 【详解】2和18的等比中项为. 故选：D. 2. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导数定义计算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 3. 已知抛物线方程，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线化成标准方程得，根据抛物线的基本概念即可算出该抛物线的焦点坐标． 【详解】∵抛物线的方程为， ∴化成标准方程，得， ∴由此可得抛物线的，得， ∴抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 4. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及基本定理计算即可得． 【详解】由题可知，，， ， 所以， 故选：D． 5. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 6. 若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故选：B 7. 抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由点P在抛物线上，可得，又，故，，可得，进而可求得a+b的值. 【详解】由抛物线的准线方程为， 将点P代入抛物线C的方程，有，又，所以. 又由，有，又由a=b，可得a=8，a+b=16. 故选：C. 8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式构造两个互为反函数的不等关系，再结合反函数性质，必须且只需要， 然后再用分离参变量思想求解即可. 【详解】由，定义域 因为可变形为，所以的反函数为， 则要使得不等式恒成立，则必须且只需要恒成立， 因为，则分离参变量得，即，， 构造，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，又因为，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的实轴长为 D. 是上的点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 10. 定义：设是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 函数有三个零点 C. 过可以作两条直线与图像相切 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对称中心是，结合题中“拐点”的定义，求出和的值，再通过求导画出函数的图象，结合图象，判断各选项即可. 【详解】对于A中，由，可得，则， 因为点是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知， 且，解得，所以A正确； 对于B中，由，可知，则， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，则函数图象如图所示， 由图象可知，函数只有一个零点，所以B错误； 对于C中，因为，所以点恰好在的图象上， 画出函数的切线，如图所示， 由图象可知过点可作函数的两条切线，所以C正确； 对于D中，若在区间上有最大值，由上图可知，最大值只能是， 所以且，解得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列满足则下列说法正确的是（ ） A. 当时，（且n∈N⁺） B. 若数列为常数列，则 C. 若数列为递增数列，则 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】令，可得，计算可判断A；令，则，求解可判断B；数列为递增数列，可求得或，进而分类讨论可得或时，数列为递增数列，可判断C；对，，两边取对数，利用等比数列求得，进而可求得判断D, 【详解】对于A选项，当时，，令，则，， 故，即，故A选项正确； 对于B选项，若数列为常数列，令，则， 解得或或，故B选项错误； 对于C选项，令，则， 若数列为递增数列，则数列为递增数列， 则，解得或. 当时，，且，且， 此时数列为递增数列，即数列为递增数列； 当时，，且，且， 此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列； 当时，，， 此时数列为递增数列，即数列为递增数列. 综上，当或，即或时，数列为递增数列，故C选项错误； 对于D选项，令，则，， 两边同时取以2为底的对数，得，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 即，故D选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为_____________元.（参考数据：） 【答案】1590 【解析】 【分析】首先明确n个月后的本息和组成一个等比数列，进而可得其通项公式，减去本金即可得答案. 【详解】因为每个月以月收益率的复利计算收益， 所以n个月后的本息和组成一个等比数列，公比为， 所以的通项公式为. 所以10个月后能获得的收益为 元. 13. 已知圆，直线，直线被圆截得最短弦长是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求直线所过定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，由此即可求解. 【详解】由直线，得， 联立，解得，故直线过定点 ， 由圆，知圆心，半径, 因为， 所以点在圆 的内部， 故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线， 此时弦长为. 故答案为： 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先通过分析参数的正负排除不成立情况，再将不等式恒成立转化为两个函数最值问题进行求解即可. 【详解】要使不等式对恒成立， 需分析两个因式的符号关系，分情况讨论参数的取值范围： 排除：此时，不等式等价于， 但时，，不等式不能恒成立， 排除：此时不等式为，当时，，不等式不成立， 讨论：此时要使不等式恒成立，则对任意，有以下两种情况： ①若且对任意恒成立， 若在恒成立，即， 令， 令，可得，则在上单调递减， 令，可得，则在上单调递增， 故函数在处取得极小值， 故函数在区间上无最大值，不能满足恒成立，故情况①不成立； ②若且，对任意恒成立， 则恒成立，即的最小值， 由①得函数最小值为，故， 若恒成立，即的最大值， 令函数，， 令，可得，则在上单调递增， 令，可得，则在上单调递减， 故函数在处取得极大值，故， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数 . （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程. （2）分点为切点和不为切点两种情况讨论可求得函数的图像经过点的切线方程. 【小问1详解】 由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. 【小问2详解】 ①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面底面，四边形为直角梯形，，，，，. （1）求证：平面； （2）若点是线段的中点，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为，平面底面，平面底面， 平面，所以平面，平面，所以， 连接，因为，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，则，由（1）知两两垂直，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，解得， 设平面的一个法向量为， 所以 ，令，解得， 设平面与平面所成角为， 所以 ， 即平面与平面所成二面角的余弦值为； 17. 已知等比数列的前n项和为，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）令求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，求得首项与公比，即得数列的通项公式； （2）结合（1）求得数列的通项，利用裂项相消法和分组求和法即可求得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， ①当时，由题意得方程无解，不合题意； ②当时，由题意得， 由①②，可得， 解得，代入①，解得，则， 故数列的通项公式为 【小问2详解】 因 . 则 . 18. 已知函数． （1）若有两个极值点，求的取值范围； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先将有两个极值点转化为有两个不同实根，分离参数得，根据 函数的性质，可得的取值范围； （2）先将问题转化为在恒成立，再转化为函数的最小值大于或等于0，进而求的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 因为有两个极值点，则，即方程有两个不等实数根， 令，则， 知时，，单调递减， 时，，单调递增， 则时，取得极小值，也即为最小值， 且时，，时，， 时，，时，， 故，即时， 方程有两个实数根，不妨设为，． 可知时，，时，，时，， 即，分别为的极大值和极小值点． 所以有两个极值点时，的取值范围是． 【小问2详解】 令，原不等式即为， 可得，，， 令，则， 又设，则， 时，，可知在单调递增， 若，有，，则； 若，有，则， 所以，，，则即单调递增， ①当即时，，则单调递增， 所以，恒成立，则符合题意． ②当即时， ，， 存在，使得， 当时，，则单调递减，所以，与题意不符， 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 若恒成立，则； 若恒成立，则. 19. 椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）列关于的方程即可求解得到椭圆的标准方程. （2）（i）先求直线的斜率，设切线方程为，联立方程令 ，即可求解， （ⅱ）先证明，再证明四边形面积为定值2，所以的面积. 【小问1详解】 由题意可得， 又，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得：，， 设，，， 可知直线方程为：. 设切线方程为， 代入,得到 令，解得， 因 P 在第一象限，切线斜率为负，故 所以切线方程为：. （ⅱ）直线：，到直线的距离为 且， 当且仅当时等号成立. 因为在椭圆上，所以， 则：，令，， 则：，令，， 则， . 故四边形面积为定值2. 所以的面积， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $