专题03 正方形中的五种常考模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03正方形中的五种常考模型 题型归纳 目录 题型一：正方形中的翻折问题.1 题型二：正方形中的动点问题… 题型三：正方形中的最值问题 7 20 题型四：正方形中的十字架模型 .28 题型五：正方形中的半角模型.37 题型专练 题型一：正方形中的翻折问题 1.(25-26八年级上山西运城期中)如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm,点E是边AD的中点，将 这张正方形纸片折叠，使点C落到AD边上的点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F.则DF:DE 的值是() B A.3 B.V5 4 c. D 2.(25-26七年级上·浙江宁波·期末)如图，将一张正方形纸片ABCD折叠，CE、CF为折痕，点B、D 折叠后的对应点分别为点B'、D',若∠B'CD'=50°，则∠ECF的度数为 D 3.(2025·河南周口·一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，将正方形ABCD沿 1/10 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 EF折叠，使点B落在D边上的三等分点M处，点C的对应点为点N,若AB= =2,则线段AE的长为 M D 4.(25-26八年级上·福建漳州期中)如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm,点E是边AD的中点，将 这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F,请求出DF的长， E D B 5.(25-26八年级上四川成都期中)已知：如图，在边长10的正方形ABCD中，点E在边BC上，BE =3CE,将△DCE沿DE折叠至△DFE,延长EF交AB于点G,连接DG. D C E B G (1)求∠GDE的度数： (2)求AG的长度， 6.(25-26九年级上广东佛山月考)在边长为2的正方形纸片ABCD中，点E在AB边上，连接CE,将 △BCE沿CE折叠，得到△B'CE. G B 9 C B 图1 图2 图3 (I)如图1，若点B落在对角线AC上，求BE的长： 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若CB的延长线与AD相交于点F,猜想BE,AF,B'F的数量关系，并证明； (3)如图3，点G是AD的中点，连接GB',当GB的长最短时，求AE的长 题型二：正方形中的动点问题 1.(25-26八年级上·河北邯郸·期中)如图，在边长为5cm的正方形ABCD中，动点P以1cms的速度从点 B出发沿BC向点C运动，同时动点Q以SCm/s的速度从点A出发，沿折线AD-DC-CB向点B运动，当 点P,Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为s,当以点Q及正方形ABCD的某两个顶点为顶点的三角 形和△ABP全等时，t的值可能是() Q 6 A.5 B.5 c. 2.(24-25七年级下·河北保定·期中)如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且 AE=2cm,点F在边BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动：同时，点G在边CD上以xcm/s的速度由 点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接EF,FG.当△EBF与△FCG全等时，t的值为() A.1 B.2 C.2或3 D.1或2 3.(2425九年级上·江西抚州期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4Cm,点P是线段AB上一点，且 AP=3cm,点E是正方形边上一动点，运动路线为A→B→C→D→A,速度为每秒2cm,运动时间为 t,△DPE是等腰三角形，则t的值为 P B 4.(23-24八年级下·江苏扬州期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点E从点B出发沿线段BC运动， 到达C点时运动停止，以点E为中心，将线段EA绕着点E顺时针旋转90°，得到线段EF. 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E CG B E 备用图 备用图 (I)过点F作FG⊥BC于点G,求证：BE=FG: (2)连接AF交CD于点H,连接EH,△ECH的周长是否随点E的运动而变化，如不变，求△ECH的周长， 如变，请说明理由： (3)试求在整个运动过程中，点F的运动路径长. 5.(23-24八年级下·江苏宿迁·期中)在边长为4的正方形ABCD中， D C B E 图1 图2 (I)如图1，若点E从点B向点C运动，点F从点C向点D运动，它们运动速度相同，当点E运动到点C时 停止运动，点F也随之停止运动. ①求证：AE⊥BF; ②当点E运动到何处时，DM=DA?请加以证明. (2)如图2，若点E从点B向点C运动，点F从点D向点C运动，它们运动速度相同，当点E达到点C时停 止运动，点F也随之停止运动.在整个运动过程中，AF与DE的交点为M,请求出AF+DE的最小值. 6.(24-25八年级下·云南德宏·期末)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一个动点(E不与B,C重 合)，F是DC上的一个动点(F不与D,C重合). 图1 图2 图3 (I)如图1，当E,F分别是BC,DC的中点时，连接AE,AF.求证：AE=AF: (2)如图2，当∠EAF=45°时，连接EF,判断EF,BE,DF三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是AD上的一个动点，连接ME,AF,当AB=6,ME=210,∠AOM=45°时，求AF的长. 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：正方形中的最值问题 1.(25-26八年级上·重庆·周测)如图，正方形ABCD中，边长为8，E为线段AB上一点，将△ADE沿 DE翻折到△DEF,连接BF,则BF的最小值为()· D A.8√2 B.8√2-8 C.8V3-8 D.85 2.(25-26九年级上·贵州六盘水·期中)如图，正方形ABCD的边长为5，点E,F在对角线AC上（点E 在点F的左侧)，且EF=2.则DE+BF的最小值为· 3.(2026八年级下·全国·专题练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E、F分别是边AD、 CD上的动点，连接BE、EF,G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值是一。 A B E H F 4. (25-26八年级下·全国·课后作业)如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=12,AD=5,M,N分 别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E,F分别为DM,MN的中点，求EF 的最大值 B 5.(25-26九年级上·湖北武汉月考)如图1，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上两个动点，线 段AE、BF相交于点M且BE=CF. 5/10 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 F M 图1 图2 图3 (I)直接写出AE、BF的关系是_； 2如图2，N为DC延长线上一点，∠FBN-45,若8器-，求能的值： 、BE (3)如图3，AB=6,H为DM的中点，在E、F运动过程中，AH的最大值为_. 6.(24-25八年级下·吉林长春·期末)【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①， 在正方形ABCD中，AB=2,点M、N分别在边AD、CD上，且DM=CN,试探究线段MN长度的最小值， 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运 动路径，进而解决上述几何问题。 【问题解决】如图②，过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P,作射线CP.在【问题呈现】的 条件下，完成下列问题： 图① 图② 图③ (1)求证：NC=WP」 (2)∠DCP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 【方法运用】(3)如图③，在菱形ABCD中，AB=2,∠A=6O°，点E、F分别在边AD、CD上，且 DE=CF,则△DEF周长的最小值为 题型四：正方形中的十字架模型 1.(25-26九年级上·陕西咸阳·期末)如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且CE=CD,连接BE 并延长，交AD于点F,则∠AFE的度数是 D C 6/10 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026黑龙江哈尔滨·一模)如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动， DF⊥AE交AB于点F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,则下列结论：①AE=DF; ②A+CB=HD:③点E在运动过程中，AF -5:④an∠DCP=1:回∠DFE+∠EPC的度数始终保持 不变.其中正确的结论是 B E 3.(2026八年级下·全国·专题练习)【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在 正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M.那么AE与BF相等吗？ G E 图① 图② (1)请直接判断：AE BF(填“=”或“≠”)； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： (2)如图②，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF,垂足为M.那 么GE与BF相等吗？证明你的结论 4.(2026八年级下·全国·专题练习)如图①，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段 MN⊥AP于点E,交线段AB于点M,交线段CD于点N. M B 图① 图② (I)求证：AP=MW: (2)如图②，若线段MN垂直平分线段AP,分别交AP,BD于点E,F.求证：EF=ME+FN. 5.(25-26九年级下·甘肃武威开学考试)在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C,D重 合)，连接BE. 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图1 图2 (I)如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.求证：△ABF≌△BCE (2)如图2，取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G. ①求证：BE=FG ②连接CM,若CM=1,求FG的长 6.(2026八年级下·全国专题练习)【问题解决】 (I)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点G.求证： ∠AED=∠DFC D D G E G F B C 图1 图2 图3 【拓展提升】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使 CH=DE,连接DH,求证：∠ADF=∠H. 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=I1,DE=8,∠AED=60°，求 CF的长. 题型五：正方形中的半角模型 1.(25-26九年级上·黑龙江大庆·期末)如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上， ∠EAF=45°，已知AD=6,DF=2,则S。BF=」 B 8/10 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上辽宁丹东·月考)如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接EF,BD,则 BM,MN,ND之间的数量关系为 A D 459 M B E 3.(23-24九年级上·贵州贵阳·月考)(1)如图1，在正方形ABCD中，∠FAG=45°，请直接写出DG, BF与FG的数量关系，不需要证明 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E,F分别是BC上两点，∠EAF=45°.写出BE, CF,EF之间的数量关系，并证明： (3)如图3，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于G,且GF=2,GE=3,求△AEF的面积. G 图1 图2 图3 4.(25-26九年级上·江西宜春·月考)【发现问题】 图① 图② 图③ (I)如图①，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD边上的动点，且∠EAF=45°.试判断BE, EF,DF之间的数量关系.小明把△ABE绕点A顺时针旋转90至△ADG,使AB与AD重合，发现 EF=FD+BE.请你给出证明过程， 【类比延伸】 (2)如图②，在正方形ABCD中，若E,F分别是边CB,DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则(1) 中的结论还成立吗？请说明理由 (3)如图③，如果E,F分别是边BC,CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，直接写出EF,BE,DF之间 的数量关系 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上·黑龙江绥化·期中)(1)类比探究：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、 CD上，∠EAF=45°，连接EF,探究线段EF,BE,DF的关系？直接写出结论 图1 图2 图3 (2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°. 若∠B、∠D都不是直角，当∠B+∠D=180°时，求证：EF=BE+DF: (3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想BD、 DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程. 6.(25-26九年级上四川成都期中)【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上， ∠EAF=45°，延长CD至点G,使得DG=BE,得到△ABE≌△ADG,从而发现EF=BE+DF,已知 BE=3,DF=2,求正方形ABCD的边长. 【类比探究】如图2，正方形ABCD中，P,F,Q三点分别在边AD,CD,BC上，连接AF,PO,若 ∠FOQ=45°，AB=3,PQ=√13，求线段AF的长 【拓展迁移】如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的角平分线交于点O,点M、N分别在边AC、 BC上，且都不与点C重合，若∠MON=45°，连接MN,当AC=3,BC=4时，求△MCN的周长. G B D 图1 图2 图3 10/10 专题03 正方形中的五种常考模型 目录 题型一：正方形中的翻折问题 1 题型二：正方形中的动点问题 7 题型三：正方形中的最值问题 20 题型四：正方形中的十字架模型 28 题型五：正方形中的半角模型 37 题型一：正方形中的翻折问题 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：设为， 四边形是边长为的正方形， ， ， 正方形纸片翻折，使点落到点处， ， 点是边的中点， ， 在中，根据勾股定理，得到， ， 解得， ． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 6．（25-26九年级上·广东佛山·月考）在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点落在对角线上，求的长； (2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； (3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． (1)根据正方形的性质可知，当点落在对角线上时，由折叠的性质可知，，，，从而可知，根据折叠的性质可知； (2)连接交于点，延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的对边平行可证，根据等角对等边可知，可证结论成立； (3)连接，在中，，，利用勾股定理可以求出，当点落在上时，的长最短，根据，可知. 【详解】（1）解：在正方形中， ，，， ， 由折叠得，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，连接交于点，延长交于点， 由折叠得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，连接，在中，，， ， ， ， 当点落在上时，的长最短， 此时， 由（2）知，， ， 当的长最短时，． 题型二：正方形中的动点问题 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 2．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，，求出，由正方形的性质可得，，从而可得，再分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得； 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得：， 综上所述，当与全等时，t的值为或； 故选：D． 3．（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形中，，点是线段上一点，且，点是正方形边上一动点，运动路线为，速度为每秒，运动时间为，是等腰三角形，则的值为_________． 【答案】或或 【分析】求出，根据点E的位置分三种情况进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵， ∴ ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴ 此时 ②当时，如图， 设则 则 ∴， 即， 解得 ∴ ∴ ③当时，如图， 设则 则 即， 解得 ∴ 综上可知，的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，点从点出发沿线段运动，到达点时运动停止，以点为中心，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段．     (1)过点作于点G，求证：； (2)连接交于点，连接，的周长是否随点的运动而变化，如不变，求的周长，如变，请说明理由； (3)试求在整个运动过程中，点的运动路径长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长不变， (3) 【分析】本题主要老相正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）证明，根据证明即可得出结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，分别证明和，进一步得出的周长等于； （3）连接，在上截取，证明，得出，得出运动路径长为 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的周长不变 理由如下：将绕点顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴ 由旋转得， ∴，，， ∴， ∴点、、共线 ∵， ∴ ∴， ∴ 即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴的周长等于 ∴的周长不随点的位置而发生改变． （3）解：连接，在上截取，如图， 由（1）知， ∴ ∴ ∵，， ∴, ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 由此可知，点从到，点在线段上运动，如图， 所以，当从到时，点的运动路径长为． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在边长为4的正方形中，      (1)如图1，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点运动到点时停止运动，点也随之停止运动． ①求证：； ②当点运动到何处时，？请加以证明． (2)如图2，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点达到点时停止运动，点也随之停止运动． 在整个运动过程中，与的交点为，请求出的最小值． 【答案】(1)①见解析；②点运动到的中点处时，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①证明得出，由得出，最后由三角形内角和定理得出，即可得证；②连接，证明得出，证明点、、、四点共圆，得出，结合①中的，得出，再由平行线的性质得出，从而得出，即可得证； （2）连接，延长到点，使，连接交于，连接，证明，得出，从而得出，则当点在点处时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得：， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ②当点运动到的中点处时，， 理由如下：连接，   ， 点为的中点， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 点、、、四点共圆， ， 由①得：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，延长到点，使，连接交于，连接，   ，四边形为边长为4的正方形， ，， 由题意得：， 在和中， ， ， ， ， 当点在点处时，的值最小，即的值最小， ， ， 的值最小为． 6．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）延长至点N，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接，证明，得到，，再证明，在、和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴； （2）解：三条线段的数量关系为， 理由如下：延长至点N，使，连接． ∵， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三条线段的数量关系为； （3）解：过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M在上，G，E在上， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴． 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 题型三：正方形中的最值问题 1．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，根据折叠可得，则，即可得出当点三点共线时，最小，的最小值为． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，边长为8， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，的最小值为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为______． 【答案】 【分析】作，，连接，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：作，，连接，则：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 作于点，作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，进行等线段转化，是解题的关键． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，、分别是边、上的动点，连接、，为的中点，为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形中位线定理，关键是利用三角形中位线定理将求的最大值转化为求的最大值，通过分析动点的位置确定的最大值． 【详解】解：连接、， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，， ∴由勾股定理可得； ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， 根据三角形中位线定理得， ∴当有最大值时，有最大值； ∵点是边上的动点， ∴当点与点重合时，的长度等于的长度，此时取得最大值，则的最大值为． 故答案为：5． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】6.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键． 连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当的值最大时，的值最大． 当点与点重合时，的值最大， 此时， 的最大值为． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，正方形中，E、F分别为边上两个动点，线段相交于点M且． (1)直接写出的关系是 ； (2)如图2，N为延长线上一点，，若，求的值； (3)如图3，，H为的中点，在E、F运动过程中，的最大值为 ． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由正方形得到，证明出，即可得到结论； （2）过点作交于点，连接，证明出，得到，证明出，得到，设，表示出，然后利用勾股定理求出，然后代入求解即可； （3）延长至，使得，取的中点，连接，勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据，进而根据中位线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ，， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴设， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴； （3）解：如图，延长至，使得，取的中点，连接， ∵为的中点，， ， ， ， ， ， ，即的最大值为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）． 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论，再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用菱形的性质和平行线的性质得到，则为等边三角形，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得EF的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，则结论可求． 【详解】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：，； （3）解：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴, 根据勾股定理可得：, ， ∴的最小值为， 周长， 周长的最小值为， 故答案为：． 题型四：正方形中的十字架模型 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动，交于点，以为邻边构造平行四边形，连接，则下列结论：①；②；③点在运动过程中，；④；⑤的度数始终保持不变．其中正确的结论是__________． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作交的延长线于，证明，得，可以判断①②正确；证明是等腰直角三角形，可以判断③④正确；根据题意，证明是的角平分线，可判断⑤错误． 【详解】解：作交的延长线于， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； 四边形是平行四边形，， ，，， ∴，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ， ，即，故③正确； ， ， ，故④正确； ， 是的角平分线， 点的运动轨迹是的角平分线， ， 观察图象可得，当增加时，发生变化，故⑤错误， 正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到，结合（1）问结论即可求证． 【详解】（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． ，即， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：如图②，连接，，． 正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点， ，． 垂直平分， ， ， ． ， ， ， ， ． 由（1），知， ， ． 5．（25-26九年级下·甘肃武威·开学考试）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F．求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析；的长为2 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）由正方形的性质可得，，再由，利用同角的余角相等判断出，即可证明； （2）同（1）的方法判断出，即可得出结论；②利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，M是的中点， ∴， 由可知， ∴，即的长为2． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由矩形的性质可得则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 题型五：正方形中的半角模型 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则_______． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明得到，再由，然后代入即可解答． 【详解】解：如图：将逆时针旋转得， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）（1）如图1，在正方形中，，请直接写出，与的数量关系，不需要证明． （2）如图2，在中，，，E，F分别是上两点，．写出，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，中，，于G，且，，求的面积． 【答案】（1）．（2），证明过程见解答；（3）15 【分析】（1）证明，可得出结论； （2）将沿直线折叠，得，连接，证明，得出，证得，根据勾股定理可得出结论； （3）将沿折叠得到，将沿折叠得到，延长和相交于点．设，则，在中，运用勾股定理得出，列出关于的方程，解方程求出的值，即为的长，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）结论：． 理由如下： 如图1中，在正方形中， ∵， 把绕点逆时针旋转得到，则， ， 点G、D、E共线， ， 在和中， ， ， ． （2）∵, ∴， 如图，将沿直线折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 即． （3）证明：如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，延长和相交于点． ， ， ， ， 即， ∴四边形是正方形． 由折叠知，， ， ， ∴， 设，则． ， ， 解得（舍去）． ， 的面积， 故答案为：15． 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，旋转的性质，折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题． 4．（25-26九年级上·江西宜春·月考）【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 5．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）（1）类比探究：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，探究线段，，的关系？直接写出结论． （2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当时，求证：； （3）如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），推理过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；     （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；     （3）把绕点顺时针旋转到的位置，连接，证明，则，得到是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：正方形中，，，     把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1，     由旋转可得，，，， ，     ，点、、共线，     ， ， ，即，     在和中，     ，     ，     ， ， ； （2）证明：，，     把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，         ，，，， ，，     ，     ，即， ，     ，     ，点、、共线，     在和中，     ，     ，     ，     ， ；     （3） ，证明如下： 把绕点顺时针旋转到的位置，连接，     则，，，，        ，，     ，     又，     ， ，     在和中，     ，     ，     ， ，， ，     ，     是直角三角形，     ，     ． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，延长至点G，使得，得到，从而发现．已知，，求正方形的边长． 【类比探究】如图2，正方形中，P，F，Q三点分别在边，，上，连接，，若，，，求线段的长． 【拓展迁移】如图3，在中，，两锐角的角平分线交于点O，点M、N分别在边、上，且都不与点C重合，若，连接，当，时，求的周长． 【答案】初步发现：6；类比探究：；拓展迁移：2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 初步发现：如图：延长至点G，使得，连接,先利用正方形的性质证明可得,,进而证明可得,设正方形边长为a，则，然后运用勾股定理列方程求解即可； 类比探究：如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形，利用全等三角形的性质以及勾股定理可得，如图：延长至点H，使得，连接,利用初步发现中的方法可得：可得，再在利用勾股定理列方程求得，最后再运用勾股定理求解即可； 拓展迁移：如图：过O作,垂足分别为E、G、F，则，四边形是正方形，,设，运用等面积法可求得，即正方形的边长为1；如图：在上截取,连接,利用初步发现中的方法可得：,即；最后根据周长公式以及等量代换即可解答. 【详解】解：初步发现：如图：延长至点G，使得，连接, ∵正方形， ∴,即， ∵， ∴, ∴,, ∵， ∴, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴, 设正方形边长为a，则， 在中，,即，解得：或（舍去）， ∴正方形的边长为6； 类比探究： 如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形， ∴, ∵正方形中，， ∴,, ∴, 如图：延长至点H，使得，连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∵在，，,,, ∴，解得：, . 拓展迁移： 如图：过O作,垂足分别为E、G、F， ∵在中，，，,锐角的角平分线交于点O， ∴，四边形是矩形，, ∴四边形是正方形， 设， ∵, ∴，解得：， ∴正方形的边长为1，即 如图：在上截取,连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∴的周长为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $