专题02 菱形中的五种常考模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02菱形中的五种常考模型 题型归纳 目录 题型一：菱形中的翻折问题 题型二：菱形中的最值问题.10 题型三：含60°角的菱形问题.19 题型四：菱形中的面积问题29 题型五：菱形中的动点问题39 题型专练 题型一：菱形中的翻折问题 1.(2025八年级下河南·专题练习)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在 AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形.要 使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是() F A.30 B.40 C.45 D.50 2.(24-25八年级下·全国·单元测试)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF(折叠后 点B,D都落在AC的中点O处).若AB=3,则BC的长为 D B E B 3.(24-25八年级下·湖北荆门期中)如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上， 且折痕分别与边BC,AD相交于点E,F,折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,若AB=4,且四边形 CEGF的面积为20，则线段EF的长为· 1/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(23-24八年级下山东淄博·期中)(1)观察与发现 小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片（如 图①)；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后 得到四边形AEDF(如图②).小明认为四边形AEDF是菱形，你同意吗？请说明你的理由 (2)实践与运用 将矩形纸片ABCD(AB<BC)沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)： 再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG(如图④)：再展平纸片（如图⑤）.猜 想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的度数， 图1 图2 图3 图4 图5 5.(23-24八年级下·浙江杭州月考)综合与探究 D 图1 图2 图3 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形。 【操作判断】如图I,将口ABCD沿着对角线BD折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：BC=CD. 【类比探究】如图2，在口ABCD的一边AD上取一点E,沿着BE折叠△ABE,，点A的对称点！恰好落在对 角线BD上，若点A与点C,E共线，DE=1,求A'C的长. 【问题解决】如图3，在口ABCD的一边AD上取一点E,沿着BE折叠△ABE,点A的对称点A恰好落在 CD的中点处，若DE=1,求AE的长， 6.(24-25八年级下·河北承德期末)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展 数学活动，现有矩形纸片ABCD,其中AB=12,BC=8. 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D G 图1 图2 图3 (I)【操作发现】如图1，将矩形纸片ABCD纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点B处，将纸片展平后再 次折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,然后展平得到图2，则以点A,F,C,E为顶点的四边形是什么 特殊四边形？并说明理由. (②)【实践探究】如图3，在矩形纸片ABCD中，点G为AB的中点，将纸片沿CG折叠，使点B落在点B处， 连接AB'. ①AB'与折痕CG的位置关系为 ； ②求AB的长， (3)【拓展应用】将矩形纸片ABCD裁剪为AB=8,BC=6,在图3的情形下，若点G为AB上任意一点， 其他条件不变，当点A与点B的距离最小时，直接写出BG的长， 题型二：菱形中的最值问题 1.(24-25八年级下·全国·单元测试)如图所示，菱形ABCD的两条对角线相交于0点，AC=24,BD=10 ,点P是边AB上的一个动点，则DP的最小值为() D 30 60 A. 13 B. 13 C. D智 2.(24-25九年级上山东青岛月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,点M、N分别是边 BC、CD边上的动点，点P在BD上运动，在运动过程中，存在PM+PN的最小值，则这个最小值是() R M A.2.4 B.4.8 C.5 D.9.6 3.(25-26八年级·上海假期作业)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M为对角线BD上的一 个动点，点F在边BC上，CF=BF,则MA+MF的最小值为 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 4.(24-25八年级下，湖南郴州期末)如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC,点M是AB边上一动点， 从A出发沿AB边匀速运动，当M运动到点B时停止运动，过M作MN⊥AC,交CD边于点N,连接AN, CM.已知AD=2,AC=3AD. A B M B M 备用图 (I)求AB的长： (②)试求在运动过程中，AM长为何值时，四边形NMBC是菱形，请说明理由； (3)点M在运动过程中，AN+CM的长是否存在最小值，如果有请求出最小值；如果没有则说明理由. 5.(24-25八年级下·福建期中)如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点 B C 图① 图② 图③ (I)若F为对角线BD上一动点，E是AD的中点，请在图①中画出当EF+AF取得最小值时的点F,简单 写出点F的做法，不需要证明； (2)如图②，M为对角线BD上一动点，N为边AD上一动点，若MN+AM的最小值为3V3,这个值恰好与 (1)中EF+AF的最小值相等，求菱形的边长（要求画出必要的图形）： (3)在(2)的条件下，如图③所示，若点P是OB的中点，点Q为线段AD上的动点，在△ACD绕着点O旋 转过程中，点Q的对应点是2，直接写出P、9两点间的距离的最大值和最小值 6.(2025吉林长春·三模)【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角 ABC中，LBAC=90°，AB=AC=4,D、E分别是边AB、AC上的两个动点，AD=CE,连结BE、CD ,试探究BE+CD的最小值. 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用B、E、F三点共线，将上 述问题解决。 【问题解决】如图②，过C点作CF∥AB,且CF=AC,连结EF;在【问题呈现】的条件下，完成下列 问题： 4/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：△ACD≌△CFE; (2)BE+CD的最小值为 【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB=3,∠D=60°，E、F分别是边AB、AC上的两个动点， AE=CF,连结BF、CE,则BF+CE的最小值为 【拓展迁移】如图④，在等边ABC中，CD是高，点E在线段CD上，点F在边AC上，CE=AF,连结 AE,BF,若AB=2√5，则AE+BF的最小值为 D 图① 图② 图③ 图④ 题型三：含60°角的菱形问题 1.(23-24九年级上·重庆渝中期末)菱形ABCD,∠B=60°，E,F分别是CB,CD上两点，连接 AE,AF,EF,且∠EAF=60°，如果∠BAE=a,则下列说法错误的是() B C A.ZCEF=a B.∠FAD=60°-a C.∠EFC=60°-a D.∠AFD=90°-a 2.(24-25八年级下·江苏无锡月考)如图，已知菱形ABCD中，∠C=60°，AB=23,点E为CD中点， 连接BE,点P为线段BE上动点，连接PD、PA,若∠APD=60°，则PE= 3.(2025浙江杭州模拟预测)如图，菱形ABCD,LB=60°，点E为BC上一点，连接AE,将射线AE绕着 点E顺时针旋转60°交CD于点F,若DF=4,CF=2,则AE=· D B E 4.(24-25八年级下山东烟台·期中)在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别是边AB,BC上的点. 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 HD G 【尝试初探】 B F 图1 图2 (1)如图1，若∠EDF=60°，求证：DE=DF 【深入探究】 (2)如图2，点G,H分别是边CD,AD上的点，连接EG与FH相交于点O且∠EOF=60°，求证： EG=FH 5.（23-24八年级下·广东云浮期末)综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含60°角的菱形进行了以下探 究 DB DB D M C C C 图1 图2 图3 【背景】 在菱形ABCD中，∠B=60°，作LMAN=∠B,AM,AN分别交BC,CD于点M,N. 【感知】 (1)如图1，若M是边BC的中点，小智经过探索发现了线段AM与AN之间的数量关系，请你直接写出 这个关系： 【探究】 (2)如图2，当M为边BC上任意一点时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由. 【应用】 (3)如图3，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,在边BC上取一点P,连接AP,在菱形内部 作∠PAN=60°，AN交CD于点N,当AP=V13时，求线段DN的长. 6.(2023河南南阳一模)综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究. 【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B,AP、AQ分别交边BC、CD于点P、Q. B C C 图1 图2 图3 (I)【感知】如图1，若点P是边BC的中点，小南经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系_ 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)【探究】如图2，小阳说“点P为BC上任意一点时，(1)中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由： (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片ABCD,测得LABC=60°，AB=6,在BC边上取一点P,连 接AP,在菱形内部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q,当AP=2√万时，请直接写出线段DQ的长. 题型四：菱形中的面积问题 1.(25-26九年级上·广东佛山期末)在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,若AB=13,BD=10, 则菱形ABCD的面积是() A.24 B.60 C.120 D.240 2.(25-26九年级上山东青岛月考)如图，已知菱形ABCD的周长为8cm,∠ADC=30°，则菱形的面积是 A B 3.(2025陕西西安.一模)如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC,点E,F分别是AC,BC上的点， 且EF垂直平分BC,若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于 cm2. D B 4.(24-25八年级下·浙江金华期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0.在CD上取点 E,连接AE,将ADE沿AE折叠，点D的对应点为F, 4 图1 图2 图3 (I)如图1，若AB=6,AC=4,求菱形ABCD的面积. (2)如图2，若点F落在BC的延长线上，求证：GF=GC. (3)如图3，若点F落在BC上，连接DF,已知BF=2FC=2, ①求DF的长； ②直接写出四边形ADEF的面积. 5.(22-23八年级下·吉林长春·月考)【猜想】如图①，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点， 7/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点O的线分别交AD,BC于点E,F.若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是 【探究】如图②，在菱形ABCD中，对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,若 AC=5,BD=10,则四边形ABFE的面积是 【应用】如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D,使DC=BC,连接AD,若 AC=6,AD=13,则ABC的面积是 A E D C B F C 图① 图② 图③ 6.(24-25八年级下·四川泸州期中)体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程， 对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接PA,利用△PAD与△PAB面积之和是菱形面积的，，可求出 PE+PF的值. M E ■ B 图1 图2 图3 (1)如图1，在菱形ABCD中，对角线AC,BD的长分别为6和8，点P为对角线BD上一动点（不与点B、 D重合)，过点P分别作AD和AB的垂线，垂足为点E和F,求PE+PF的值，请你写出求解过程， (2)如图2，若ABCD为矩形，点M,N分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好 与点B重合，点C落在点C'处.点P为线段MN上一动点（不与点M,N重合），过点P分别作直线BM, BC的垂线，垂足分别为E和F,以PE,PF为邻边作平行四边形PEGF,若DM=13,CN=5,求平行 四边形的周长； (3)如图3，当点P是等边ABC外一点时，过点P分别作直线AB,AC,BC的垂线，垂足分别为点H, H2,H3,若PH-PH2+PH,=3,请求出ABC的面积，并写出推理过程 题型五：菱形中的动点问题 1.(24-25八年级下·广西贵港期末)如图，在菱形ABCD中，AB=8,动点M从A点出发，以每秒1个单 位长度的速度沿AB向B点运动；动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CD向D点运动.若运 动t秒后，四边形AMND是平行四边形，则t的值为() 8/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M A.2 2-3 B C.4 2.(23-24八年级下·全国·课后作业)如图，在菱形ABCD中，AB=6cm,∠A=60°，点P从点A出发，以 1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运 动时间为s,当△PDQ为等边三角形时，t的值为() D A.1 B.1.3 c.1.5 D.2 3.(24-25八年级下·云南昆明·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点D出发向 点A运动，运动到点A停止，同时，点？从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是 lcms,连接PO、AQ、CP,设点P、Q运动的时间为s,当t为时，四边形AQCP是菱形. 4.(24-25八年级下.云南丽江·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=4cm·点P从点A出发向 点B运动，运动到点B即停止；同时，点Q从点C出发向点D运动，运动到点D即停止，点P,Q的运动速 度都是lcm/s,连接PQ,PD,QB.设点P,Q的运动时间为s. (①)当t为何值时，四边形PQCB是矩形？ (②)当t为何值时，四边形BPDQ是菱形？ 5.(2425八年级上吉林长春.月考)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB=5,BC=9.动 点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C→D→A运动.同时，动点Q从点A出发，以每秒 3个单位的速度沿A→D→C→B→A运动.当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 9/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P的运动时间为t秒 A Q B (I)点P在BC上运动时，CP= ;点P在CD上运动时，CP=· (用含t的代数式表示) (2)点P在CD上，PQ∥BC时，求t的值 (3)当直线PQ平分平行四边形ABCD的面积时，求t的值， 速度政变为每秒a个单位，当)31≤7，平行四边形4BCD的某两个顶点与 四边形为菱形时，直接写出a的值. 6.(24-25八年级下·江苏南通·月考)如图1，在菱形ABCD中，AD=25cm,BD=30cm,DE,BF分别 是AB,CD边上的高. E E E B D C 图1 图2 备用图 (1)请直接写出AC的长度是 cm: (②)如图2，动点P,Q分别从D,B同时出发，点P由D-A-E-D运动，点Q由B-F-C-B运动.当一 个点到达终点时，另一个点随之停止运动.在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒9cm,点Q为每秒7cm,当运动时间为s时，点P在边AE上，点Q在边FC上， 且B,D,P,Q构成的四边形PBQD是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒xCm,点Q为每秒cm,当运动时间为8s时，B、D、P,Q为顶点的四边形为 平行四边形，求y与x的函数解析式. 10/10 专题02 菱形中的五种常考模型 目录 题型一：菱形中的翻折问题 1 题型二：菱形中的最值问题 10 题型三：含60°角的菱形问题 19 题型四：菱形中的面积问题 29 题型五：菱形中的动点问题 39 题型一：菱形中的翻折问题 1．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质、菱形的性质、矩形的性质，证出，即可求的度数． 【详解】解：由折叠的性质得， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键． 根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知，， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边，AD相交于点E，F，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，若，且四边形的面积为20，则线段EF的长为______． 【答案】 【分析】过作于，则，根据矩形的性质和平行线的性质可证得，进而可得，再根据折叠的性质得到，即，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定即可得出四边形为菱形，根据菱形的面积公式可求得的长，再利用菱形的性质和勾股定理求得，则有，再由勾股定理即可求得的长 【详解】解：方法1：如图，过E作于K，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵图形翻折后点G与点C重合，为折线， ∴， ∴， ∴， ∵图形翻折后与完全重合， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，． 方法2：由方法1得四边形是菱形， ∵四边形的面积是20， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，∴， ∴． ∵四边形的面积是20， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等角对等边证明边相等、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 4．（23-24八年级下·山东淄博·期中）（1）观察与发现 小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图① ）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到四边形（如图② ）．小明认为四边形是菱形，你同意吗？请说明你的理由． （2）实践与运用 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图③ ）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图④ ）；再展平纸片（如图⑤ ）．猜想的形状，证明你的猜想，并求图⑤中的度数． 【答案】（1）同意，理由见解析；（2）证明见解析， 【分析】本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称只是，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等． （1）连接，由两次折叠知，证明，即可解答； （2）由折叠知，四边形是正方形，再通过角度计算和转换得到，即可解答。 【详解】解：（1）同意． 如图， 由第一次折叠可知：为的平分线， ， 由第二次折叠可知：， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）的形状是等腰三角形． 理由如下：由折叠知，四边形是正方形， ， ， 由折叠知， ， ∵， ， ，即为等腰三角形． ， ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 6．（24-25八年级下·河北承德·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． (1)【操作发现】如图1，将矩形纸片纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，将纸片展平后再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由． (2)【实践探究】如图3，在矩形纸片中，点为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①与折痕的位置关系为________； ②求的长． (3)【拓展应用】将矩形纸片裁剪为，，在图3的情形下，若点G为上任意一点，其他条件不变，当点A与点的距离最小时，直接写出的长． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）连接，，设与交于点，证明四边形是平行四边形，由翻折性质可得，所以四边形是菱形； （2）①证明是的中位线，进而可以解决问题；②如图，连接交于点，由翻折可得垂直平分，利用三角形的面积求出的长，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图，连接，利用勾股定理求出的长，当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时，设，则，根据勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ∴， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：①，理由如下：连接交于点， 由翻折可知：垂直平分， ，， 点为的中点， 是的中位线， ∴， ∴； ②如图，连接交于点， 由翻折可知：垂直平分， ，， 在矩形纸片中，，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ∵，， ， ； （3）解：如图，连接， 在矩形中，，， ， ， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，翻折变换，三角形中位线定理，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型二：菱形中的最值问题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂线段最短以及轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找到最小时是解题的关键． 3．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，当的值最小时，、、三点共线，即求的长度，根据题意判断为等边三角形，且点为的中点，根据直角三角形的性质，求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接，，当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小，即为的长， 由菱形的性质可知，， 又， ∴为等边三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，在平行四边形中，，点是边上一动点，从出发沿边匀速运动，当运动到点时停止运动，过作，交边于点，连接，．已知，． (1)求的长； (2)试求在运动过程中，长为何值时，四边形是菱形，请说明理由； (3)点在运动过程中，的长是否存在最小值，如果有请求出最小值；如果没有则说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，四边形是菱形，理由见解析； (3)的最小值为． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则是直角三角形，根据平行四边形性质得，又则，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，即有； （）延长至，使得，连接，证明四边形是平行四边形，所以，则，当三点共线时，最小，即最小值为最小值，即的长，然后在中，通过勾股定理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理知； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 当时， ∴四边形是菱形， 即， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：延长至，使得，连接， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 即最小值为最小值，即的长， ∵，， ∴， ∵，， 在中，， ∴的最小值为． 5．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 6．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；[方法运用] ；[拓展迁移] 【分析】（1）由已知条件得，即可得． （2）连接，过点F作，交延长线于点G，求出，，,得，由，可得 ，故的最小值即为． [方法运用] 连接，设交于点O，证明，可得，可得，得，得，即得的最小值是． [拓展迁移]过点A作，使，连接，证明，可得，证明，，得，得的最小值是． 【详解】（1）证明：∵过点作，使，连接． ∴． ∵， ∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G． 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形． ∴．， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是的长． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． [拓展迁移] 过点A作，使，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是线段的长． ∵， ∴． ∴． ∵等边中，， ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，等边三角形性质，勾股定理，全等三角形的判断和性质，菱形性质，是解题的关键． 题型三：含60°角的菱形问题 1．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接，由菱形性质得是等边三角形，则可证明，有，则得是等边三角形，则可对各选项作出判断． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：D．    2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知菱形中，，点E为中点，连接，点P为线段上动点，连接、，若，则___________． 【答案】1 【分析】由菱形的性质可得，可证和是等边三角形，可得，可证≌，可得，由勾股定理列出方程组，即可求解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， 四边形是菱形，， ， 和是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ≌， ， 设， 是等边三角形，点E为CD中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，菱形，点为上一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交于点，若4，，则______． 【答案】 【分析】证明在上取点，使，连接，过作于点．则为等边三角形．证明，得到．，勾股定理求出则，再用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：四边形为菱形， ． ． ． 在上取点，使，连接，过作于点． 则为等边三角形． ． ． 由旋转，得． ， ． ． ． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识， 熟练掌握菱形的性质、旋转的性质是关键． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q， 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 5．（23-24八年级下·广东云浮·期末）综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）或 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；根据，求出；根据全等三角形的判定和性质，，即可； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，根据，等量代换则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，；根据勾股定理求出，；根据全等三角形的判定和性质，，；分类讨论：当点在点的右侧；当点在点的左侧，即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 ∴， ∴和是等边三角形 ∵是边的中点 ∴，即 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）仍然成立，理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在点的右侧， ∴， 当点在点的左侧， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 6．（2023·河南南阳·一模）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)同意，理由见解析； (3)或． 【分析】（）连接，证明即可得证； （）连接，同法()证明即可得证； （）过点作于点，分点在点的两侧进行讨论求解即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）解：连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：同意，理由如下： 连接， 同理（）可得， ∴； （3）解：过点作于点， 同理（）可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（）知，， ∴， ∴或． 题型四：菱形中的面积问题 1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，关键是对角线互相垂直且平分，面积等于对角线乘积的一半．利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，在中应用勾股定理求出，进而得到，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知菱形的周长为，，则菱形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、菱形面积的计算、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，结合含角的直角三角形的性质求出菱形的高，根据菱形面积公式即可解题． 【详解】 如图所示，过点作于点， 菱形的周长为， ， 在中，，， ， 菱形的面积是, 故答案为：． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点．在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若，，求菱形的面积． (2)如图2，若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，若点落在上，连接，已知， ①求的长； ②直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①；② 【分析】（1）根据菱形的性质可知，，，，利用勾股定理得到，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可； （2）由菱形的性质得出，由折叠的性质可知，，从而得到，再根据等角与等边求解即可； （3）①过点作于点，过点作于点，由已知条件可得，，根据菱形和折叠的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，求出 ，进而得出，证明四边形是矩形，得到， ，利用勾股定理求解即可； ②延长、交于点，令与得交点为，连接，由①可知，，，由折叠的性质可知，，，根据勾股定理可得，证明，推出，，再根据等高三角形面积比等于对应底之比，得到，从而求出，再根据对角线乘积的一半求面积即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ②如图，延长、交于点，令与得交点为，连接， 由①可知，，， 由折叠的性质可知，，， ， ， ，， ， ，， ，， 和是等高三角形，和是等高三角形，和是等高三角形， ，，， ， ， ， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，掌握相关知识点是解题关键． 5．（22-23八年级下·吉林长春·月考）【猜想】如图①，在平行四边形中，点O是对角线的中点，过点O的线分别交于点E，F．若平行四边形的面积是8，则四边形的面积是 　 　． 【探究】如图②，在菱形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点E，F，若，则四边形的面积是 　 　． 【应用】如图③，在中，，延长到点D，使，连接，若，则的面积是 　 　．    【答案】猜想：4；探究：12.5；应用：15 【分析】猜想：根据平行四边形的性质得到，，进而证明得到，再根据进行求解即可； 探究：根据菱形的性质得到，，进而证明，得到，再根据进行求解即可； 应用：延长到E使，则，证明，得到，利用勾股定理得到，则． 【详解】解：猜想：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4； 探究：∵四边形是菱形， ∴． ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 应用：延长到E使，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：15．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，图形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期中）体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． (1)如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． (2)如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程． 【答案】(1) (2)24 (3)3 【分析】（1）连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值； （2）连接，，，过点作于点，，交于点，利用折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质和直角三角形的性质求得，，再利用（1）的方法解答即可； （3）连接，，，过点作于点，设等边三角形的边长为，则，利用（1）的方法求得值，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，，与交于点，如图， 四边形为菱形， ，，，，菱形的面积． ， ，， ， 的面积是菱形面积的， ， ． （2）解：连接，，，过点作于点，，交于点，如图， 将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处， 垂直平分，，．， ，， 四边形为矩形， ， ． 在和中， ， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ，， 由（1）的方法可得：， ， ， 平行四边形的周长． （3）解：的面积． 连接, ，,过点A作于点K，如图， 设等边三角形的边长为a，则， ∵， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，三角形的面积公式，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 题型五：菱形中的动点问题 1．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得，可知当时，四边形是平行四边形，因为，所以，解方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，延长至点M，使，连接，易证，即可推出是等边三角形，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至点M，使，连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． ∵． ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为______时，四边形是菱形． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，能根据题意得出当时，四边形为菱形是解此题的关键．根据矩形的性质得出，，，先证明四边形为平行四边形，得出当时，四边形为菱形，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ∵点、的速度都是， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即当为时，四边形是菱形． 故答案为：6． 4．（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的运动速度都是，连接．设点的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，勾股定理．解决此题的关键是注意结合方程思想． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，根据勾股定理，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设t秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 5．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） (2)点在上，时，求的值． (3)当直线平分平行四边形的面积时，求的值． (4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． （1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，； （2）点在上，时，，即可求得； （3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值； （4）当时，则为菱形或菱形，据此可求得的值． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：，； （2）解：当点在上，时，点在上，且， ， ， 解得：， 的值为：9； （3）解：当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ； 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 综上所述：当直线平分平行四边形的面积时，的取值为：或； （4）解：， ， 点P在上，点Q在上， ①当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ②当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 6．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图1，在菱形中，，，，分别是，边上的高． (1)请直接写出的长度是______； (2)如图2，动点P，Q分别从D，B同时出发，点P由运动，点Q由运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．在运动过程中： ①若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，点P在边上，点Q在边上，且B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，求t的值； ②若点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求y与x的函数解析式． 【答案】(1)40 (2)①；② 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解； （2）①根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求解即可；②根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列方程整理即可； 【详解】（1）解：设与交于点， 四边形是菱形， ，且与互相平分， 则， 在中，根据勾股定理， ，， ． 则． （2）解：①四边形是菱形， ， ， 即， 解得． 在中，． 同理可得． ， 点在边上，点在边上，且四边形是平行四边形， 所以． 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则； 点的运动速度为每秒，运动时间为秒， 则． ， 移项可得， 即， 解得． B，D，P，Q构成的四边形是平行四边形，t的值是； ②点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形，有以下三种情况： 如图，当点在上，点在上时， ，， ， ， ， ； 当点在上时，点在上时， ，， ，， ， ； 当点在上，点在上时， ，， ，， ， ； 综上所述， 点P的运动速度为每秒，点Q为每秒，当运动时间为时，B、D、P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度较大．熟练掌握菱形的性质是正确解答此题的关键． 2 / 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