专题1.10 正方形（1大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.10正方形 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点】正方形 知识清单 题型1利用正方形的性质求角度 题型2利用正方形的性质求线设长 题型3利用正方形的性质求面积 正方形 题型4利用正方形的性质求折叠问题 题型精讲 题型5利用正方形的性质证明 题型6证明四边形是正方形 题型7利用正方形的性质与判定求解 题型8利用正方形的性质与判定证明 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解正方形定义，掌握其边、角、对角线性质与判定定理，能规范证明与推导。 2.理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，构建特殊四边形知识网络。 教学目标 3.熟练运用正方形性质与判定，解决几何证明、计算问题，提升逻辑推理与几何应用 能力。 1.重点 (1)掌握正方形核心性质（四边相等、四角直角、对角线相等且垂直平分）与判定方 法，明确定义与判定的逻辑关系。 教学重难点 (2)理解正方形是特殊矩形与菱形，掌握其与平行四边形、矩形、菱形的从属关系， 形成完整知识体系。 2.难点 (1)灵活选用性质与判定解决综合几何题，区分易混条件，规范推理表达。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)灵活选用性质与判定解决综合几何题，区分易混条件，规范推理表达。 知识清单 知识点01正方形 1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等正方形 菱形 一个角是直角正方形 3.性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等， 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角. 4.判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形， 题型精讲 题型01利用正方形的性质求角度 【典例1】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,则∠0AB的度数是 () B A.30° B.45° C.60° D.90° 【变式1】(25-26九年级上·陕西汉中·期末)如图，四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，连接 BD,BE,则∠DBE的度数为() D 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.15 B.20° C.25 D.30° 【变式2】(25-26九年级上·陕西咸阳·期末)如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且CE=CD,连 接BE并延长，交AD于点F,则∠AFE的度数是_ D E B 【变式3】(2024九年级上·全国专题练习)如图，四边形ABCD是正方形，E是CB延长线上的一点，且 BD=BE,则∠E的度数是 D E B 题型02利用正方形的性质求线段长 【典例2】(25-26九年级上·四川达州·期中)如图，正方形ABCD中，AD=1,以对角线AC为一边作菱形 AEFC,则AE的长为() B A.2 B.√2+1 C.√2 D.√2-1 【变式1】(25-26九年级上：内蒙古·期末)如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转与 CBF重合，若BE=√3，则EF长为() D A.2 B.√6 C.22 D.25 【变式2】(25-26九年级上·陕西咸阳·期末)如图，AC是正方形ABCD的对角线，延长CD至点M,连接 AM,若LCAM=67.5°，CM=2,则AD的长为」 3/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式3】(25-26八年级上·浙江温州月考)如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和小正方形 EFGH拼接而成.AC分别交DH,BF于点M,N.若AC=6,MN=2,则BN的长为 G B 题型03利用正方形的性质求面积 【典例3】(25-26八年级上·湖南邵阳·期末)如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20cm2和90cm2的两 个小正方形，则余下部分的面积为() 20cm 90cm2 A.110cm2 B.302cm2 C.60√2cm2 D.(45+6v10)cm 【变式1】(25-26九年级上·江西九江期中)如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起， 点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为() A.8cm B.10cm7 C.12cm2 D.16cm2 由题意知：四边形ABCD,四边形OMNP都是正方形， B ZEOF=ZDOC=90.OD-O0C,Z0DE=20CF=45,SAon=SAoc- ∠EOD=∠FOC, 4/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在AOED和△OFC中， ∠EOD=∠FOC OD=OC ∠ODE=∠OCF :.△OED≌△OFC(ASA), S△oED=S△ore, ·S达形OEDr=S△ocD, 1 .S重叠部分=)SE方形48cn=)×4=8(cm2）. 故选：A. 【变式2】(2026广东中山模拟预测)如图，边长分别为8,4,2的正方形拼接在一起，B、C、D三点分别 是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为一· 【变式3】(25-26八年级上湖南邵阳·期末)如图，从一个大正方形木板上裁去面积为18cm和12cm2的两 个小正方形木料. 18cm2 12cm2 (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为 cm和cm: (2)求剩余木料的面积： 题型04利用正方形的性质求折叠问题 【典例4】(25-26八年级上·山东济南·期末)如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E 的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=8,EF=4V5, 则AB=() 5/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B A.4 B.4+V6 C.2+2V6 D.4+2V6 【变式1】(25-26九年级上·湖北武汉·月考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上， 点A的坐标为-2，O),点E在边CD上.将aBCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为O,6), 则点E的坐标为() A.2,8 B.(3,10 C.4,6) D.3,8) 【变式2】(23-24八年级下·河南洛阳·月考)如图，四边形ABCD是边长为8的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A,且B'C=3,则AM的长是 D B B 【变式3】(25-26八年级上江苏苏州月考)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形 ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,求DP的长 D 题型05利用正方形的性质证明 【典例5】(25-26八年级下·全国周测)如下图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，F在边BC的延长 6/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线上，且CE=CF,连接BE,DF.求证：BE=DF, A D 【变式1】(25-26八年级下·全国周测)如下图，在正方形ABCD中，F是CD边上一点，DF=2.连接 AF并延长，交BC边的延长线于点E,∠EFC=3LE,连接AC.求证：AC=EC. D 【变式2】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，E是正方形ABCD边BC的中点，点F在正方形ABCD的 外角平分线上，连接AE,EF,∠AEF=90°，G为边AB的中点，连接GE.求证：EG=FC. A D B 【变式3】(25-26八年级上山东潍坊·期末)如图，在ABC中，AC=BC,点D、E、F分别是 AB、AC、BC的中点，以CD为对角线作正方形CGDH. D (1)判断四边形CEDF的形状，并证明； (②)当正方形CGDH与ABC面积相等时，连接AG,GH,HB,判断四边形ABHG的形状，并证明. 题型06证明四边形是正方形 【典例6】(25-26九年级上福建三明·期中)已知：如图，在ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分 线，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■ B 【变式1】(25-26九年级上安微宿州期末)如图，在▣ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，△AB0是 等腰三角形AO=BO,当ABC满足什么条件时？四边形ABCD为正方形，并说明理由. D 【变式2】(25-26九年级上·山东青岛·月考)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，过 点C作DA的平行线CE,且CE=CD,连接AE. D E B A (I)求证：四边形ADCE是菱形； (②)当ABC满足_时，四边形ADCE是正方形.请说明理由. 【变式3】(25-26九年级上·甘肃张掖期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=BC,∠A=90°， 点E在CD边上，点F是AD边的中点，且AB∥CF,FE⊥CD于点E,延长FE交BC的延长线于点G, 连接BF, B G E A D (I)求证：四边形ABCF是正方形： (2)若BF=4,求BG的长 题型07利用正方形的性质与判定求解 【典例7】(25-26九年级上河北沧州期中)如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB=90°，CE=5, CB=13,将Rt△CBE绕点C按顺时针方向旋转90°，得到CDF.延长BE交DF于点H,则DH的长为() 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A A.7 B.7.5 C.8 D.9 【变式1】(25-26九年级上全国期末)如图，E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上 的点，且AE=BF=CG=DH=AB,则图中S:SD的值为() 3 A D M O C B F A B. 2-3 c 【变式2】(2025江西九江·模拟预测)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,P是射线BC上一点， 将△ACP沿AP折叠，得到△ADP,连接DB,当△DPB为直角三角形时，∠DAP的度数为 D 【变式3】(25-26八年级上陕西西安期末)在正方形ABCD中，CD=6,点P在对角线AC上，AP=2PC ,点E、F分别在边AB、BC上，且BE=BF,连接EP、FP,则EP+FP的最小值为一 B 题型O8利用正方形的性质与判定证明 【典例8】(25-26九年级上·辽宁锦州月考)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4√2，点E为对角 线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC延长线于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG, 连接CG,在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=√2AD;③CG平分∠DCF;④CE=CF. 9/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 其中正确的结论有() D A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④ 【变式1】(25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末)如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一 点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG·若 AB=4,CE:AE=3:1,则CG=一· F 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,∠ACD=45°， CH⊥AB于点H,AD和CH交于点E,DF⊥CE于点G,交AC于点F,下列结论：①DB=DE;② ∠ADF=∠DCE,③若∠AFE=∠CFG,则点E是AD的中点，④若LAFE=∠CFG,则4H= BH 4 .其中正 确结论序号是」 E D 【变式3】(25-26九年级上江西景德镇期末)如图，己知四边形ABCD为正方形，AB=3v2,点E为对 角线AC上一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接 CG. D G B (I)求证：矩形DEFG是正方形. (②)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. (3)直接写出DG的最小值. 10/15 专题1.10 正方形 教学目标 1. 理解正方形定义，掌握其边、角、对角线性质与判定定理，能规范证明与推导。 2. 理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，构建特殊四边形知识网络。 3. 熟练运用正方形性质与判定，解决几何证明、计算问题，提升逻辑推理与几何应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握正方形核心性质（四边相等、四角直角、对角线相等且垂直平分）与判定方法，明确定义与判定的逻辑关系。 （2）理解正方形是特殊矩形与菱形，掌握其与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，形成完整知识体系。 2.难点 （1）灵活选用性质与判定解决综合几何题，区分易混条件，规范推理表达。 （2）灵活选用性质与判定解决综合几何题，区分易混条件，规范推理表达。 知识点01 正方形 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 题型01 利用正方形的性质求角度 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；由正方形的性质得，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型02 利用正方形的性质求线段长 【典例2】（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质． 由正方形的性质得，，则，因为四边形是菱形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古·期末）如图，E是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转与重合，若，则EF长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质得到是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， 绕点B顺时针旋转与重合， ，， 是等腰直角三角形， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理． 根据正方形的性质得到，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼接而成．分别交于点M，N．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合正方形的性质，得出，，，再证明，则，从而，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼接而成． ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，． 题型03 利用正方形的性质求面积 【典例3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 【变式3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）中结论求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：两个小正方形的面积为和， 两个小正方形的边长为，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知大正方形的边长为：； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 题型04 利用正方形的性质求折叠问题 【典例4】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相关性质是解题的关键． 连接，由正方形的性质得，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，可证明，则，根据勾股定理列方程得，求得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，， ∵点是的中点， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，解得， 的长度为2． 题型05 利用正方形的性质证明 【典例5】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在正方形中，点在边上，在边的延长线上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形性质，关键是对知识的掌握和运用． 利用正方形性质和三角形全等即可证明. 【详解】证明：在正方形中，，． 在和中， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在正方形中，是边上一点，．连接并延长，交边的延长线于点，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，关键是对正方形的性质的掌握和运用． 根据正方形的性质和三角形外角的性质证明即可； 【详解】证明：∵四边形是正方形， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是正方形边的中点，点在正方形的外角平分线上，连接，，，为边的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，外角平分线的性质，掌握利用正方形的中点条件构造相等的边，结合角度关系证明三角形全等是解题的关键． 利用正方形的性质及中点条件，得到边相等和角的关系，结合外角平分线的性质，证明与全等，从而推导出． 【详解】证明：四边形为正方形，，分别为边，的中点， ，，，， ，为等腰直角三角形， ． 为正方形的外角平分线， ， ． ，， ． 在和中， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形三线合一得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，即可证明结论成立； （2）设交于点，证明四边形都是矩形，则，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）四边形是矩形， 证明：设交于点，如图， 设 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴正方形的面积是， 在中，，点D是的中点， ∴ ∴的面积为， ∵正方形与面积相等， ∴， 解得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴四边形是矩形． 题型06 证明四边形是正方形 【典例6】（25-26九年级上·福建三明·期中）已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由． 【答案】当中时（答案不唯一），四边形为正方形，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定，根据平行四边形的性质可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知，当时，四边形是正方形． 【详解】解：当中时，四边形为正方形， 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， 是等腰三角形， ，， 四边形为矩形， 又， 矩形为正方形． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型07 利用正方形的性质与判定求解 【典例7】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质． 作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可． 【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 题型08 利用正方形的性质与判定证明 【典例8】（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，于点D，，于点H，AD和CH交于点E，于点G，交AC于点F，下列结论：①；②；③若，则点E是AD的中点，④若，则．其中正确结论序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，构造全等三角形是解题关键 根据等腰三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明①；根据同角的余角相等即可判断②；在上取一点M使，构造全等三角形，，即可证明③；根据全等三角形的判定得出，过点D作，得出，确定为等腰直角三角形，设，结合图形求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确； ②于点G， ， ， ， ，②正确； 在上取一点M使， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴E为中点，故③正确； ④由③可得E为中点， ， ∵， ∴， ， 过点D作，如图所示： ∴四边形为矩形， 由①得， ∴， ∴， ∴， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， 设， ， ， ， 由①中全等可得， ∴， ∴ ，④错误； 故答案为：①②③． 【变式3】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，点的坐标，连接，根据正方形的性质得到，，，再根据顶点在第四象限求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形的顶点， ∴，，， ∵顶点在第四象限， ∴顶点的坐标是， 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．36 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，先求，再根据直角三角形斜边中线的性质得，然后由勾股定理求出即可得出的面积，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 是直角三角形，， 是的斜边的中线， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 5．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接构造全等三角形． 连接，由得到点E是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴点E是的中点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为8，即， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为16． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，以正方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及正方形性质，根据题意得：D与C关于原点对称，进而得出答案． 【详解】解：∵以正方形的边的中点为原点建立坐标系，点的坐标为， ∴点D的坐标为，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 过点E作于点H，连接，根据正方形的性质得到、、，进而得到，根据平行线分线段成比例得到，进而得到，由折叠的性质可得，进而得到是等边三角形，则，根据勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点H，连接， 四边形是正方形 、、 点是的中点， 垂直平分 由折叠的性质得 是等边三角形 ， 即 ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：64 9．（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键． 连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为2的菱形，， ，是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 11．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形是正方形，对角线相交于，设分别是上的点，若，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过证明得出，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线相交于， ∴，，且，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 12．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理． 由正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，从而可证明，得出，进而得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴在中，． 13．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到，结合（1）问结论即可求证． 【详解】（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． ，即， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：如图②，连接，，． 正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点， ，． 垂直平分， ， ， ． ， ， ， ， ． 由（1），知， ， ． 14．（25-26九年级上·广西河池·期末）【问题情境】如图，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、． 【数学思考】（1）求证：； 【拓展研究】将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处． （2）求证：； （3）在（2）的条件下，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的大小不变，始终为，理由见解析 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质即可论证； （2）通过论证结合旋转即可得出结论； （3）过点作于点，通过角的等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：在正方形中，，，， 直线是线段的垂直平分线， 点在线段上， ； （2）证明：在和中，，，， ， ， 由旋转可知：， ， ； （3）答：的大小不变，始终为， 理由：过点作于点，则，且， ， ， ， 在中，， ，即， 的大小不变，始终为90°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定、正方形的性质，关键是灵活应用知识点解题． 15．（25-26九年级上·四川达州·期末）（1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 【答案】初步感知：，见解析；类比探究：，见解析；拓展应用： 【分析】初步感知：先证明、C、M在同一直线上，再证明，得出，根据，得出； 类比探究：在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； 拓展应用：在上取点M，连接，证明，得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：初步感知：∵将绕着点D逆时针旋转到， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴、C、M在同一直线上， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比探究：，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 拓展应用：在上取点M，使连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $