山东省济南市东南片区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025—2026 学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题(参考答案) 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D C C B D A B 二、填空题 题号 11 12 13 14 15 答案 6 三、解答题 16. 解： = 31 ……………………5分 = 4 ……………………7分 17.（1）x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， ……………………1分 则x＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝0，x2＝2 ……………………3分 （2）Δ＝42﹣4×1×（﹣3）＝28， ……………………4分 ， ……………………5分 ， ……………………7分 18. （1）300； ……………………2分 ……………………4分 （2）108°； ……………………6分 （3）20000＝3000（人） 答：估计该市成绩能达到优秀的中学生约有3000人。 ……………………8分 19.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ……………………1分 ∵∠EDB＝∠A， ∴∠EDB＝∠C， ……………………2分 ∵∠DBF＝∠CBD， ……………………3分 ∴△BDF∽△BCD； ……………………4分 （2）解：由（1）知：△BDF∽△BCD， ∴， ……………………5分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC=AB=4 ……………………6分 ∵， ∴， ……………………7分 ∴DF= ……………………8分 20.解：（1）延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，……………………1分 由题意可知：AG＝66m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°， ∵∠HFE是△OFE的一个外角， ∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°，……………………2分 ∴∠FOE＝∠OEF＝30°，……………………3分 ∴EF＝OF＝24m 答：EF的长为24m；……………………4分 （2）在Rt△AGO中，∠AOG＝70°， ∴OG23.63 ，……………………6分 在Rt△EFH中，∠HFE＝60°， ∴FH＝EF•cos60°＝2412，……………………7分 ∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝23.63+24+12≈59.6 m， 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为59.6m。……………………8分 21.（1）证明：如图，连接OB， ∵BD为⊙O的切线， ∴OB⊥BD （不写此步骤不扣分） ∴∠OBD＝90°， ……………………1分 ∵点B为的中点， ∴， ∴∠CAB＝∠BAE， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，……………………2分 ∴∠CAB＝∠OBA， ∴OB∥AD， ……………………3分 ∴∠D+∠OBD＝180°， ∴∠D=90°， ∴BD⊥AD； ……………………4分 （2）解：如图，连接CE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ……………………5分 ∴， ∵∠AEC＝∠ABC， ∴， ∴， ……………………6分 ∵AC＝9， ∴EC＝12， ……………………7分 在Rt△ACE中，∵∠ACE＝90°， ∴， ∴⊙O的半径为． ……………………8分 22．（1）y＝﹣4x+200 ……………………3分 （2）设利润为W元，则有： W＝（﹣4x+200）（x﹣10） ＝﹣4x2+240x﹣2000 ……………………5分 对称轴：直线x=30 且x ∵-4<0，∴抛物线开口向下，W有最大值 ………………………7分 ∴当x=30时，Wmax＝1600． 答：销售单价定为30元时，可使日销售利润最大，最大利润为1600元；……………8分 （3）25≤x≤35 ……………………10分 23.解：（1）把A（1，4）代入y得， 4， ∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为y；………………………….1分 把B（﹣2，n）代入y得：n=﹣2 ∴B（﹣2，﹣2） ………………………….2分 把A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b得： ， ………………………….3分 解得： ∴直线AB的解析式为y＝2x+2；………………………….4分 （2）x＜﹣2或0＜x＜1； ……………………………………..6分（只写一半不给分） （3）∵直线AB y＝2x+2与x轴交于点C， ∴C（﹣1，0）， 作CF垂直AC交A E于点F，作FH⊥x轴于点H， 作AG⊥x轴于点G，则∠FHC=∠AGC=90°， ∵∠FCH+∠ACG=90°，∠CAG+∠ACG=90°， ∴∠FCH=∠CAG ∴△ACG∽△CFH，………………………………..7分 ∴ ∴ ∴FH=1，HC=2 ∴F（﹣3，1）……………………………………………………………………..8分 设A E的表达式为y＝mx+t，把A（1，4），F（﹣3，1）代入得： 解得 ∴直线AE的解析式为：y＝x+，………………………………..9分 ∴E（﹣，0）………………………………………………………..10分 24. 解：（1）答案为：1，60°；…………………..4分 （2）如图2中，设BD交AC于点O， PC交BD于点M， ∵AC＝BC，∠ACB＝90° ∴，∠CAB＝45°， ∵PA＝PD，∠APD＝90° ∴，∠DAP＝45°， ∴，∠PAC＝∠DAB， ∴△DAB∽△PAC，………………………..6分 ∴，∠PCA＝∠DBA，………………………..7分 ∵∠MOC＝∠AOB， ∴∠BMC＝∠CAB＝45°， ∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°………………..8分 （3） 或3 ……………………………..12分 25. （1）∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+2上， ∴， ……………………2分 解得：， ……………………3分 ∴抛物线的解析式为：yx2x+2 ……………………4分 （2）存在这样的点P，理由如下： 从A , B两点分别向CP作高AE、BD， 又S△PAC＝S△PBC，则AE＝BD， ∵∠AFE＝∠BFD，∠AEF＝∠BDF， ∴△AFE≌△BFD， ∴AF＝BF， ……………………5分 所以F为AB中点， 因此F（，0）． ……………………6分 设直线CF的解析式为y＝kx+b，代入点F（，0），C（0，2）， 可得，解得， 故直线CF的解析式为y， …………7分 联立y与y， 解得x或0（舍去）， 即P（，）， ……………………8分 （3）∵B（4，0），C（0，2）， 绕Q（m，m）旋转180°后得到B'（2m﹣4，2m）、C'（2m，2m﹣2）． 情况一：设直线B'C'的解析式为y＝px+q，代入B'（2m﹣4，2m）、C'（2m，2m﹣2）． 即，解得， 故直线B'C'的解析式为y， ……………………9分 联立y与y， 可得x2﹣4x+6m﹣8＝0，令Δ＝16﹣4（6m﹣8）＝0， 解得m＝2， 故m＞2， ……………………10分 情况2：当点C'落在二次函数图象时 把C'（2m，2m﹣2）代入y， 2m﹣2 ……………………11分 ∴= ∴ ……………………12分 综上可得：或m＞2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.如图，该几何体的左视图是（) 正面 D 2.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标为() A.(0,3) B.(3,0) C.(1,0) D.(0,1) 3.如图，四边形ABCD∽四边形A'BCD,AB⊥BC,∠A=80, ∠D'=55°，则∠C的度数为() A.135 B.125° 第3题图 C.115 D.105 4.若关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，则m的值可以为() A.-1 B.0 c D.1 5.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠CBD=30°， D 过点O作OE⊥BC于点E,若CE=2,则OE的长为( A.2 B.4 B C.23 D.4v3 第5题图 6.如图，点A是反比例函数)-兰(x<0)的图象上的一点，过点A 作ABLx轴，垂足为B,点C为y轴上的一点，连接AC,BC。若 △ABC的面积为5，则k的值是() A.10 B.12 C.-10 D.-5 第6题图 九年级数学试题第1页共8页 7.《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行。如图，该邮票一套4枚，图案名称分别 为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带。现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余 均相同)背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机 抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为() .中意80120照政 …中150 A.6 B.4 C.3 8.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F为⊙O上一点， 则∠EFC的度数为() A.36° B.45° C.60° D.72° 第8题图 9.如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接DE,AF相交于点G,连接 CG。若AB=4,BC=6,则tan∠GCF的值是() D B. 2 c.vio B D. 310 E F 10 10 第9题图 10.抛物线y=2+bx+c(a0)与x轴的一个交点为A（-3,0), 与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x=-1,其部分图象如图所示，则 以下4个结论： ①abc>0;②a+b+c=O;③E(x1,y1),F(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两 个点，若x1<x2,且x1十x2<-2,则y1<y2;④若关于x的方程 2+b(x-2)+c=-8(0)无实数根，则b的取值范围是 r=- 0<b<2。其中正确的结论有() A.1个 B.2个 D C.3个 D.4个 第10题图 九年级数学试题第2页共8页 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。） 1.若号=号， 12.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干个黑球，任意摸出一个球， 摸到白球的概率是0.6，则袋中黑球有个。 13.如图是6×4的小正方形网格，小正方形的边长为1，点A和B是 格点，连接AB,在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O, 点C是格点且在半圆上，连接BC,则图中阴影部分的面积 第13题图 是 14.如图，点A,B在x轴上，分别以OA,AB为边，在x轴上方作正方形OACD,ABEF。 经过点E的反比例函数y=(c>0)的图象交边AC于点G。若OA=4,AB=2FG,则k的 值为 B 第14题图 第15题图 15.如图，矩形ABCD,AB=12,AD=5,点E是边AB上一点，点G是边BC上一点，连接 DE,DG,若∠ADE=∠EDG,DG2DE,则CG的长为 。 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.(7分)计算：(3)1+V-2sin60+(-2026°-V⑧ 17.(7分)解方程： (1)x2-2x=0 (2)x2+4x-3=0 九年级数学试题第3页共8页 18.(8分)层出不穷的硬核科技引起人们的热烈讨论，例如“太空电梯、数字生命、人造 太阳、量子计算机、人工智能、机械外骨骼等。为了解学生对现代科学知识的知晓程度， 某区县随机抽查部分中学生，进行现代科学知识测试，得分用x表示，数据分组为： A:50sx<60,B:60x<70,C:70x<80,D:80x<90,E:90sx≤100，将测试成绩 绘制成如下统计图。请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)随机抽查的学生有 人，并补全条形统计图； (2)扇形统计图中“D”组所对应的圆心角度数为 (3)若该区县有20000名中学生，成绩大于或等于90分为优秀，请估计该区县成绩能达 到优秀的中学生约有多少人？ 测试成绩频数分布直方图 测试成绩扇形统计图 频数 90 90 D 60 60 25% -“30 E 30 B 20% 10% 05060708090100成绩x(分) 19.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，连接DB,F是边BC上一点，连接DF并延长， 交AB的延长线于点E,且∠A=∠BDE。 (1)求证：△BDF∽△BCD: D (2)如果BD=3V5,BC=9,AB=4,求DF的长。 第19题图 九年级数学试题第4页共8页 20.(8分)随着科技的发展，无人机己广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离 和角度。某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离，他们借 助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处，点O距地面 AC的高度为65米，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角 为30°，沿水平方向由点O飞行24米到达点F,测得点E处俯角为60°，其中点A,B, C,D,E,F,O均在同一竖直平面内。 (1)求EF的长： (2)求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到0.1米）。 (参考数据：sin70≈0.94，c0s70≈0.34，tan70≈2.75，V3≈1.73)。 70 309 B 21.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE的中点，过点B的 切线与AC的延长线交于点D。 (1)求证：BD⊥AD: (2)若4C=9,tam∠ABC-子求⊙0的半径。 A 九年级数学试题第5页共8页 22.(10分)某商店购入一批进价为10元/个的商品进行销售，经市场调查发现，销售单价 不低于进价，且日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，当销售单 价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个。 (1)y与x的函数表达式为 (2)当商品销售单价定为多少元时，可使日销售利润最大，并求出最大利润： (3)要使得销售利润不低于1500元，则销售单价应控制在什么范围内？（请直接写 出结果) 23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=+b(a0)与反比例函数-(0)的 图象交于A,B两点，与x轴交于点C。已知点A,B的坐标分别为(1,4)和(-2，n)。 (1)求直线AB和反比例函数的解析式： (2)请根据图象，直接写出a+b<时，x的取值范围； (3)点E在x轴的负半轴上，若an∠BAB=分求点E的坐标。 y 九年级数学试题第6页共8页 24.(12分)(1)问题呈现：如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,线段 BD与CE的数量关系是 ,直线BD,CE相交所成的较小角的度数是 ； (2)类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°， BD 直线BD,CE相交于点M,请写出。二的值及直线BD,CE相交所成的较小角的度数，并就 CE 图2的情形说明理由： (3)拓展提升：如图3，在△ABC中，CA=CB=8,∠ACB=120°，点D,E分别是AB, AC的中点，连接DE。如图4，将△AED绕着点A顺时针旋转角α(0°<a<180°)，直线 BF DE交AB于点F,连接CE,当射线CE将∠AED分成的两个角度之比为1：3时，求，一的值 Af 是多少？请直接写出答案。 D M D E B B 图1 图2 B D B 图3 图4 九年级数学试题第7页共8页 25.(12分)如图1，已知抛物线y=2+bx+2(a0)与x轴交于A(-1,0),B(4,0) 两点，与y轴交于点C。 (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2所示，连接AC,BC,点P为抛物线上第四象限内一点，且满足SAc=SAPC, 求点P的坐标； (3)将线段BC绕平面内一动点Q(,m)旋转180°后得到线段B'C',若线段B'C与 该抛物线没有公共点，求m的取值范围。 图1 图2 九年级数学试题第8页共8页