多边形的内角和（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

多边形的内角和（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1.核心概念回顾（综合运用前提） 三角形内角和： 任意三角形的三个内角之和都是 180°。这是计算多边形内角和的基础。 四边形内角和： 任意四边形（包括长方形、正方形、平行四边形、梯形等）的内角和都是 360°。可以通过量角器测量或将其分成两个三角形（180°×2）来验证。 多边形的定义： 由三条或三条以上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形。 2.多边形内角和的核心规律 核心公式： 多边形的内角和 = (边数 - 2) × 180°。 核心意义： 本知识点是苏教版四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”单元的拓展与延伸。核心是通过“分割法”（将多边形分割成若干个三角形），理解并掌握多边形内角和的计算方法。它不仅是几何初步知识的重要组成部分，也是后续学习平面几何图形性质的基础。 3.常见场景 分割求和： 已知多边形边数，求其内角和（如五边形、六边形）。 逆向推导： 已知多边形的内角和，求该多边形的边数。 组合图形： 在复杂的组合图形中，通过分割或补全，求特定角度的度数。 易错场景： 分割三角形时重复计算或遗漏顶点、混淆边数与三角形个数的关系（三角形个数 = 边数 - 2）、计算时忘记减2直接用边数乘180°。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.角度测量基础： 熟练使用量角器测量角的大小，理解平角（180°）的概念。 2.图形认知基础： 能准确识别三角形、四边形、五边形等基本多边形，知道它们的边数和顶点数。 3.运算基础： 熟练掌握加减乘除四则运算，特别是乘法运算。 （二）核心应用方法（苏教版重点，2类核心场景） 1.方法一：分割法（基础，苏教版核心重点） 核心思路： 从多边形的一个顶点出发，向其他不相邻的顶点画线段，将多边形分割成若干个三角形。多边形的内角和就等于这些三角形内角和的总和。 关键规律： 从一个顶点出发，可以画出 (边数 - 3) 条对角线，将多边形分割成 (边数 - 2) 个三角形。 步骤： 1. 观察多边形边数；2. 选择一个顶点进行分割，数出分割出的三角形个数；3. 列式计算：三角形个数 × 180°；4. 检查：核对分割线是否正确，计算是否准确。 示例： 求五边形的内角和。解：1. 五边形有5条边；2. 从一个顶点出发，可以分割成3个三角形（5-2=3）；3. 计算：3 × 180° = 540°；4. 结论：五边形内角和是540°。 2.方法二：公式法（进阶，苏教版常考） 核心思路： 直接运用公式 (n-2) × 180°（n为边数）进行计算。这种方法适用于已知边数求内角和，或者已知内角和求边数的逆向问题。 关键： 准确记忆公式，理解“-2”的含义（即分割出的三角形比边数少2）。 步骤： 1. 审题，提取边数n；2. 代入公式；3. 计算结果；4. 检验。 示例： 一个多边形的内角和是900°，它是几边形？解：1. 设边数为n；2. 根据公式：(n-2) × 180 = 900；3. 推导：n-2 = 900÷180 = 5，所以n = 5+2 = 7；4. 结论：这是一个七边形。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.分割错误： 画对角线时没有从同一个顶点出发，或者画成了交叉线，导致分割出的三角形个数不对。 2.公式混淆： 误记公式为“边数 × 180°”或“边数 × 180° - 180°”，导致计算结果错误。 3.逆向思维障碍： 在已知内角和求边数时，不知道先用内角和除以180°，再加2。 4.特殊图形混淆： 混淆正多边形（各边相等、各角相等）与普通多边形，误以为所有多边形的内角都相等。 5.计算粗心： 180°乘法计算错误，或者在逆向计算中加减法算错。 三、多边形内角和的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型： 明确题目类型（已知边数求和、已知和求边数），提取已知条件（边数或内角和）和所求问题。 2.准备工作： 回顾对应的公式“(边数-2)×180°”，确定是否需要画图辅助（对于复杂图形）。 3.解题过程： 画图（可选）： 对于不规则或复杂多边形，画出示意图并进行分割。 列式： 根据公式列出算式。 计算： 准确计算出结果，标注单位（度）。 4.核对检查： 检查分割图：三角形个数是否等于（边数-2）。 检查算式：是否符合公式逻辑。 检验结果：用结果除以180°，看商是否比边数少2。 5.规范作答： 清晰写出算式、结果和答语。 四、常见多边形内角和问题的题型及解题示例 1.场景一：求特定多边形的内角和（基础题） 例： 一个六边形的内角和是多少度？ 解： 分析： 六边形有6条边。根据公式，内角和 = (6-2) × 180°。 计算： (6-2) × 180 = 4 × 180 = 720（度）。 检验： 从六边形一个顶点出发，可画3条对角线，分成4个三角形。4×180=720，正确。 答： 六边形的内角和是720度。 2.场景二：已知内角和求边数（进阶题） 例： 一个多边形的内角和是1260度，它是几边形？ 解： 分析： 根据公式：内角和 = (边数-2) × 180。逆推：边数 = (内角和 ÷ 180) + 2。 计算： 1260 ÷ 180 = 7；7 + 2 = 9。 检验： (9-2) × 180 = 7 × 180 = 1260，符合题意。 答： 这是一个九边形。 3.场景三：剪去一个角后的内角和（拓展题） 例： 一个四边形剪去一个角后，剩下的图形内角和是多少度？（提示：有三种情况） 解： 分析： 剪法不同，剩下的边数不同。 情况一：沿对角线剪，剩下三角形（3边），内角和180°。 情况二：从一个顶点剪到对边，剩下四边形（4边），内角和360°。 情况三：从一边剪到另一边（不经过顶点），剩下五边形（5边），内角和540°。 结论： 剩下的图形内角和可能是180°、360°或540°。 答： 可能是180度、360度或540度。 培优练习 一、选择题 1．一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 2．学习了三角形内角和及四边形内角和之后，在探究“六边形的内角和是多少度”的过程中。三位同学给出了如图的方法，你认为正确的有（    ）。 A．甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．甲、乙和丙 3．计算五边形内角和，符合算式“180°×4－180°”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 4．已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 5．如图，把四边形ABCD沿OA、OB、OC、OD剪开，得到4个小三角形。这4个小三角形的内角总和与原来四边形的内角和相比，（    ）。 A．比原来四边形的内角和多360° B．比原来四边形的内角和少360° C．与原来四边形的内角和相等 D．比原来四边形的内角和少180° 6．徽州古建有“无宅不雕花”的美誉。下面是徽派建筑的八角窗，还有3位同学研究它内角和的想法。想法正确的同学（    ）。 宸宸：把八边形分成了6个三角形（如图1），它的内角和就是6个三角形的内角之和。 响响：把八边形分成了8个三角形（如图2），它的内角和就是8个三角形的内角之和。 静静：把八边形分成4个三角形和1个四边形（如图3），它的内角和就是这5个图形的内角之和。 A．宸宸 B．宸宸和响响 C．响响和静静 D．宸宸和静静 二、填空题 7．选一选，填一填。（填序号） 内角和是180°         内角和是360°        内角和是540°       内角和是720° 8．梯形的一条对角线把它分成( )个三角形，每个三角形的内角和是( )°，所以梯形的内角和是( )°。 9．如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 10．在探究五边形的内角和时，小丽把五边形分成了5个三角形（如图），所以她认为：五边形的内角和是900°。小丽说得( )（填“对”或“不对”）。因为( )。 11．如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝( )°，∠4＝( )°。 12．如图，已知三角形ABC中，∠1＝45°，∠2＝20°，沿虚线剪下一个三角形，剩余部分图形的内角和是( )°。 三、解答题 13．如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 14．根据以上的分析，六边形的内角和是多少度呢？在图上画一画，表示出自己的想法。 15．八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 16．四边形的内角和是（    ）°，下面是同学们探索四边形内角和的方法，你看懂了吗？请你任选一种说一说是怎么证明的。 17．分别剪出一个三角形和平行四边形纸片。把三角形的各个角撕下来拼在一起，你发现了什么？把平行四边形的各个角撕下来拼在一起呢？ 18．正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 19．如图，已知，那么在三角形中是多少度？若沿图中的虚线剪去，则的度数是多少？ 20．如下图，在正方形中剪去一个等腰直角三角形，剩下五边形的内角和是多少度？（请先在图上画一画，再解答。） 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 多边形的内角和（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1.核心概念回顾（综合运用前提） 三角形内角和： 任意三角形的三个内角之和都是 180°。这是计算多边形内角和的基础。 四边形内角和： 任意四边形（包括长方形、正方形、平行四边形、梯形等）的内角和都是 360°。可以通过量角器测量或将其分成两个三角形（180°×2）来验证。 多边形的定义： 由三条或三条以上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形。 2.多边形内角和的核心规律 核心公式： 多边形的内角和 = (边数 - 2) × 180°。 核心意义： 本知识点是苏教版四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”单元的拓展与延伸。核心是通过“分割法”（将多边形分割成若干个三角形），理解并掌握多边形内角和的计算方法。它不仅是几何初步知识的重要组成部分，也是后续学习平面几何图形性质的基础。 3.常见场景 分割求和： 已知多边形边数，求其内角和（如五边形、六边形）。 逆向推导： 已知多边形的内角和，求该多边形的边数。 组合图形： 在复杂的组合图形中，通过分割或补全，求特定角度的度数。 易错场景： 分割三角形时重复计算或遗漏顶点、混淆边数与三角形个数的关系（三角形个数 = 边数 - 2）、计算时忘记减2直接用边数乘180°。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.角度测量基础： 熟练使用量角器测量角的大小，理解平角（180°）的概念。 2.图形认知基础： 能准确识别三角形、四边形、五边形等基本多边形，知道它们的边数和顶点数。 3.运算基础： 熟练掌握加减乘除四则运算，特别是乘法运算。 （二）核心应用方法（苏教版重点，2类核心场景） 1.方法一：分割法（基础，苏教版核心重点） 核心思路： 从多边形的一个顶点出发，向其他不相邻的顶点画线段，将多边形分割成若干个三角形。多边形的内角和就等于这些三角形内角和的总和。 关键规律： 从一个顶点出发，可以画出 (边数 - 3) 条对角线，将多边形分割成 (边数 - 2) 个三角形。 步骤： 1. 观察多边形边数；2. 选择一个顶点进行分割，数出分割出的三角形个数；3. 列式计算：三角形个数 × 180°；4. 检查：核对分割线是否正确，计算是否准确。 示例： 求五边形的内角和。解：1. 五边形有5条边；2. 从一个顶点出发，可以分割成3个三角形（5-2=3）；3. 计算：3 × 180° = 540°；4. 结论：五边形内角和是540°。 2.方法二：公式法（进阶，苏教版常考） 核心思路： 直接运用公式 (n-2) × 180°（n为边数）进行计算。这种方法适用于已知边数求内角和，或者已知内角和求边数的逆向问题。 关键： 准确记忆公式，理解“-2”的含义（即分割出的三角形比边数少2）。 步骤： 1. 审题，提取边数n；2. 代入公式；3. 计算结果；4. 检验。 示例： 一个多边形的内角和是900°，它是几边形？解：1. 设边数为n；2. 根据公式：(n-2) × 180 = 900；3. 推导：n-2 = 900÷180 = 5，所以n = 5+2 = 7；4. 结论：这是一个七边形。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.分割错误： 画对角线时没有从同一个顶点出发，或者画成了交叉线，导致分割出的三角形个数不对。 2.公式混淆： 误记公式为“边数 × 180°”或“边数 × 180° - 180°”，导致计算结果错误。 3.逆向思维障碍： 在已知内角和求边数时，不知道先用内角和除以180°，再加2。 4.特殊图形混淆： 混淆正多边形（各边相等、各角相等）与普通多边形，误以为所有多边形的内角都相等。 5.计算粗心： 180°乘法计算错误，或者在逆向计算中加减法算错。 三、多边形内角和的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型： 明确题目类型（已知边数求和、已知和求边数），提取已知条件（边数或内角和）和所求问题。 2.准备工作： 回顾对应的公式“(边数-2)×180°”，确定是否需要画图辅助（对于复杂图形）。 3.解题过程： 画图（可选）： 对于不规则或复杂多边形，画出示意图并进行分割。 列式： 根据公式列出算式。 计算： 准确计算出结果，标注单位（度）。 4.核对检查： 检查分割图：三角形个数是否等于（边数-2）。 检查算式：是否符合公式逻辑。 检验结果：用结果除以180°，看商是否比边数少2。 5.规范作答： 清晰写出算式、结果和答语。 四、常见多边形内角和问题的题型及解题示例 1.场景一：求特定多边形的内角和（基础题） 例： 一个六边形的内角和是多少度？ 解： 分析： 六边形有6条边。根据公式，内角和 = (6-2) × 180°。 计算： (6-2) × 180 = 4 × 180 = 720（度）。 检验： 从六边形一个顶点出发，可画3条对角线，分成4个三角形。4×180=720，正确。 答： 六边形的内角和是720度。 2.场景二：已知内角和求边数（进阶题） 例： 一个多边形的内角和是1260度，它是几边形？ 解： 分析： 根据公式：内角和 = (边数-2) × 180。逆推：边数 = (内角和 ÷ 180) + 2。 计算： 1260 ÷ 180 = 7；7 + 2 = 9。 检验： (9-2) × 180 = 7 × 180 = 1260，符合题意。 答： 这是一个九边形。 3.场景三：剪去一个角后的内角和（拓展题） 例： 一个四边形剪去一个角后，剩下的图形内角和是多少度？（提示：有三种情况） 解： 分析： 剪法不同，剩下的边数不同。 情况一：沿对角线剪，剩下三角形（3边），内角和180°。 情况二：从一个顶点剪到对边，剩下四边形（4边），内角和360°。 情况三：从一边剪到另一边（不经过顶点），剩下五边形（5边），内角和540°。 结论： 剩下的图形内角和可能是180°、360°或540°。 答： 可能是180度、360度或540度。 培优练习 一、选择题 1．一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意，四边形沿一条直线剪一刀后，新图形的形状取决于切割方式：可能为三角形（内角和180°）、四边形（360°）或五边形（540°），因此内角和各有可能。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 沿对角线切割：四边形被分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°。 切割线从顶点到非顶点的边：分割为一个三角形（内角和180°）和一个四边形（内角和360°）。 切割线穿过两条边且不经过顶点：分割为一个五边形（内角和540°）和一个三角形。 一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是以上都有可能。 故答案为：D 2．学习了三角形内角和及四边形内角和之后，在探究“六边形的内角和是多少度”的过程中。三位同学给出了如图的方法，你认为正确的有（    ）。 A．甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．甲、乙和丙 【答案】D 【分析】通过将六边形分割成多个三角形或四边形，利用三角形和四边形的内角和公式来计算六边形的内角和。 图甲将六边形分割为4个三角形，则六边形的内角和为，方法可行； 图乙将六边形分割为2个四边形，则六边形的内角和为，方法可行； 图丙将六边形分割为1个四边形和2个三角形，则六边形的内角和为，方法可行。 【详解】由分析知：甲乙丙三位同学的方法都能计算出六边形的内角和。 故答案为：D 3．计算五边形内角和，符合算式“180°×4－180°”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的内角和是180°，先用180°×4则先将五边形分成了四个三角形，再减去180°则代表多算了180°，据此选择即可。 【详解】A．将五边形分成了三个三角形，用180°×3即可求出五边形的内角和，不符合题意； B．将五边形分成了一个四边形和一个三角形，用360°＋180°即可求出五边形的内角和，不符合题意； C．将五边形分成了四个三角形，但是多算了180°，所以用180°×4－180°即可求出五边形的内角和，符合题意； D．将五边形分成了五个三角形，但是多算了360°，所以用180°×5－360°即可求出五边形的内角和，不符合题意； 因此，符合思考方式的是。 故答案为：C 4．已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 【答案】C 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180度，先根据直角三角形的性质，求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1＋∠2的值。以此选择即可。 【详解】根据分析可知： ∠B＝90° ∠A＋∠C＝90° ∠A＋∠C＋∠1＋∠2＝360° ∠1＋∠2＝360°－90°＝270° 已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝270°。 故答案为：C 5．如图，把四边形ABCD沿OA、OB、OC、OD剪开，得到4个小三角形。这4个小三角形的内角总和与原来四边形的内角和相比，（    ）。 A．比原来四边形的内角和多360° B．比原来四边形的内角和少360° C．与原来四边形的内角和相等 D．比原来四边形的内角和少180° 【答案】A 【分析】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，用4个小三角形的内角总和减去1个四边形的内角和即可。 【详解】 所以这4个小三角形的内角总和与原来四边形的内角和相比，比原来四边形的内角和多360°。 故答案为：A 6．徽州古建有“无宅不雕花”的美誉。下面是徽派建筑的八角窗，还有3位同学研究它内角和的想法。想法正确的同学（    ）。 宸宸：把八边形分成了6个三角形（如图1），它的内角和就是6个三角形的内角之和。 响响：把八边形分成了8个三角形（如图2），它的内角和就是8个三角形的内角之和。 静静：把八边形分成4个三角形和1个四边形（如图3），它的内角和就是这5个图形的内角之和。 A．宸宸 B．宸宸和响响 C．响响和静静 D．宸宸和静静 【答案】D 【分析】求多边形的内角和时，可以将多边形分割成若干个三角形或四边形。然后根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°来推算多边形的内角和即可。这个过程中，如果有新增的角，在计算多边形的内角和时，需要减去这部分角的度数，据此分析每个选项选择即可。 【详解】宸宸：把八边形分成了6个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°×6＝1080°，想法正确； 响响：把八边形分成了8个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°×8＝1440°表示8个三角形内角的和，但不是八边形的内角和，从图中可以看出多了一个周角360°，所以这个八边形的内角和是1440°－360°＝1080°，想法错误； 静静：把八边形分成了4个三角形和1个四边形。180°×4表示4个三角形的内角和，360°是四边形的内角和，180°×4＋360°＝720°＋360°＝1080°，1080°是八边形的内角和，想法正确。 想法正确的同学宸宸和静静。 故答案为：D 二、填空题 7．选一选，填一填。（填序号） 内角和是180°         内角和是360°        内角和是540°       内角和是720° 【答案】①④；②③；⑥⑦；⑤⑧ 【分析】多边形内角和公式为（边数-2）×180°。三角形有3条边，内角和为；四边形有4条边，内角和为；五边形有5条边，内角和为；六边形有6条边，内角和为。根据题目中给出的图形序号对应的边数分类填写即可。 【详解】三角形（内角和180°）：①④ 四边形（内角和360°）：②③ 五边形（内角和540°）：⑥⑦ 六边形（内角和720°）：⑤⑧ 8．梯形的一条对角线把它分成( )个三角形，每个三角形的内角和是( )°，所以梯形的内角和是( )°。 【答案】 2 180 360 【分析】梯形是四边形，连接其一条对角线，可将其分割为2个三角形；三角形的内角和固定为180°，梯形的内角和等于这2个三角形的内角和之和。 【详解】对角线分割的三角形数量：2个； 每个三角形的内角和：180°； 梯形的内角和： 梯形的一条对角线把它分成2个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以梯形的内角和是360°。 9．如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝( )°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是( )°。 【答案】 25 360 【分析】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【详解】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 10．在探究五边形的内角和时，小丽把五边形分成了5个三角形（如图），所以她认为：五边形的内角和是900°。小丽说得( )（填“对”或“不对”）。因为( )。 【答案】 不对 五边形的内角和是540°，不是900° 【分析】根据多边形内角和公式（n－2）×180°算出五边形的内角和，对比小丽说的：五边形的内角和是900°可判断说法是否正确。 【详解】根据多边形内角和公式（n－2）×180°，当n＝5时， （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的内角和是540°，不是900° 故小丽说得不对，因为五边形的内角和是540°，不是900°。 【点睛】 11．如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 50 100 【分析】梯形可以分成2个三角形，所以梯形内角和是360°，所以∠1、∠2、∠3、∠4度数之和是360°，∠4＝2∠2，∠4＋∠2＝3∠2，∠4＋∠2＝360°－（∠1＋∠3），据此先计算出∠4＋∠2的和，然后再除以3即为∠2的度数，∠2的度数乘2即为∠4的度数，据此解题。 【详解】180°×2＝360° 360°－210°＝150° 150°÷3＝50° 50°×2＝100° 如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝50°，∠4＝100°。 12．如图，已知三角形ABC中，∠1＝45°，∠2＝20°，沿虚线剪下一个三角形，剩余部分图形的内角和是( )°。 【答案】360 【分析】由题意得，在三角形ABC中沿虚线剪下一个三角形，剩余部分是一个四边形。求这个四边形的内角和，可以将这个四边形分成两个三角形（如下图）。 由图可知，这个四边形的内角和等于两个三角形的内角和。据此解答。 【详解】180°×2＝360° 故剩余部分图形的内角和是360°。 三、解答题 13．如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【答案】； 【分析】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为360°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。 【详解】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=90°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°， 可得 在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=90°，根据平角为180°， 可得 在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=90°，根据四边形内角和为360°。 可得 = 答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。 14．根据以上的分析，六边形的内角和是多少度呢？在图上画一画，表示出自己的想法。 【答案】作图见详解；720° 【分析】求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角之和。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，这个六边形可以分成4个三角形。 180°×4＝720° 答：六边形的内角和是720°。 15．八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】图见详解； 1080°； 【分析】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【详解】 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 16．四边形的内角和是（    ）°，下面是同学们探索四边形内角和的方法，你看懂了吗？请你任选一种说一说是怎么证明的。 【答案】360；见详解 【分析】方法一：用测量工具测量，如三角板、量角器等，测出四个内角的度数，相加即可求出四边形内角和是多少度；方法二：将四边形的四个角撕下，将四边形内角沿着一个顶点能拼成一个周角，即可知道四边形内角和是多少度；将四边形分成两个三角形，三角形内角和是180°，用180°×2即可求出四边形内角和是多少度，据此解答即可。 【详解】方法一：经过测量可知四个角度数相加是360°。 方法二：周角＝360°，四边形内角和是360°。 方法三：180°×2＝360°，四边形内角和是360°。 答：四边形的内角和是360°。 17．分别剪出一个三角形和平行四边形纸片。把三角形的各个角撕下来拼在一起，你发现了什么？把平行四边形的各个角撕下来拼在一起呢？ 【答案】把三角形的各个角撕下来拼在一起，形成的是平角，把平行四边形的各个角撕下来拼在一起，形成的是周角。即三角形的内角和是180°，平行四边形的内角和是360°。 【分析】先在三角形和平行四边形上标出各角，再把角撕下来看拼的结果。三角形上的三个角撕下来拼在一起组成一个平角，平角是180°。平行四边形四个角撕下来拼在一起组成一个周角，周角是360°。 【详解】三角形上的三个角撕下来拼在一起组成一个平角，平行四边形四个角撕下来拼在一起组成一个周角。即三角形的内角和是180°，平行四边形的内角和是360°。 如下图： 18．正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 【答案】 6 720 【分析】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，找出它的对称轴，要使对称轴左右两边的图形完全相同。可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，或过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度。 【详解】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。 因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2）180°×4＝720° 因此这个正六边形的内角和是720°。 19．如图，已知，那么在三角形中是多少度？若沿图中的虚线剪去，则的度数是多少？ 【答案】122°；238° 【分析】 根据三角形内角和是180°，用三角形的内角和度数减去的度数，即可求出的度数；将三角形剪去后得四边形，如图：连接EN，四边形MNGE分成两个三角形，用三角形的内角和×2即可求出四边形的内角和，再用四边形的内角和减去的度数和，即可求出的度数和。据此解答即可。 【详解】＝180°－58°＝122° 180°×2＝360° 360°－122°＝238° 答：是122°，的度数是238°。 20．如下图，在正方形中剪去一个等腰直角三角形，剩下五边形的内角和是多少度？（请先在图上画一画，再解答。） 【答案】画图见详解；540°； 【分析】先将五边形分成3个三角形，一个三角形的内角和为180°，因此五边形的内角和为3个180°，依此画图并计算即可。 【详解】画图如下： 180°×3＝540° 答：剩下五边形的内角和是540°。 【点睛】熟练掌握多边形内角和的计算方法，是解答此题的关键。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 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