精品解析：安徽桐城中学2025-2026学年高二年级下学期第一次学情调研数学试题

桐城中学2025-2026学年度第二学期第一次学情调研 高二数学学科试卷 命题单位：桐城中学学科发展中心 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，当m与n满足下列哪种关系时，向量与x轴垂直（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直满足的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以， 取x轴的方向向量为， 若向量与x轴垂直，则，解得. 故选：A． 2. 在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解． 【详解】这5个数分别为，则， 又这5个数成等比数列，，. 故选：D. 3. 若函数在处的切线平行于直线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由函数，得， 因为函数在处切线平行于直线， 所以且，得. 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 5. 设等差数列的前n项和为，且（），若，则（ ） A. 的最大项是 B. 的最小项是 C. 的最大项是 D. 的最小项是 【答案】D 【解析】 【分析】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为. 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 6. 已知数列的通项公式为为其前项和，则（ ） A. 1012 B. C. 1013 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，，，再分组求和可得结果. 【详解】， ，． ． 则 ， 故选：D． 7. 已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标求得判断A；根据焦点弦长公式求解判断B；设直线的方程为，与抛物线联立，韦达定理判断D；利用求得判断C. 【详解】因为抛物线的焦点，所以，所以，故A错误； 抛物线为，焦点为， 因为抛物线的准线为，则，， 所以，故B正确； 设直线的方程为，与抛物线联立， 消去可得，可得，，故D错误； 因为，所以， 所以，所以，故C错误. 故选：B 8. 函数有两个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为与直线有两个交点，求导画出大致图象即可判断. 【详解】由题函数定义域为， 函数有两个零点，等价于方程 有两个解， 即 与直线有两个交点. ， 因为，所以， 令， 易知在单调递增， 当时，，当时，， 令，则存在唯一的， 所以，即, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得最小值， ， 代入，， 当时，当时， 所以大致图象如图所示， 所以， 即. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（　　） A. 若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B. 若两直线方向向量不平行，则两直线不平行 C. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量判断空间线面的位置关系，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为两个不重合的平面法向量平行，则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面，即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面，所以这两个平面平行，故A正确； 对于B，因为两直线的方向向量不平行，所以这两直线不平行，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，所以，所以或，故D错误． 故选：ABC 10. 设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若，则为等差数列 C. 若为等差数列，则是等差数列 D. 若，则为等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】举出反例，如，即可判断A； 根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等差数列的定义即可判断B； 根据等差数列的前项和公式表示出，求出，再结合等差数列的定义即可判断C； 根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的定义即可判断D； 【详解】对于A，若，则是等差数列，但不是等比数列，A错误； 对于B，当时，， 当时，， 当时，适合上式， 所以，则为常数， 所以为等差数列，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 则，所以， 所以为常数， 所以是等差数列， C正确； 对于D，当时，， 当时，， 所以， 所以，所以数列不是等比数列，D错误； 故选：BC 11. 已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在区间上单调递增 C. 点是曲线的对称中心 D. 若方程有三个不同实根，则实数取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得和，得到函数的单调区间和极值，以及的根，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，且， 对于A：当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 且当时，，当时，， 所以函数的值域为，所以A正确； 对于B，函数在单调递减，在单调递增，所以B错误； 对于C，令，可得，解得，且， 所以点是曲线的对称中心，所以C正确； 对于D，由在单调递增，在单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，， 要使方程有三个不同实根，即方程有三个不同实根， 即函数与的图像有三个不同的交点，所以， 所以实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线经过点，则点到的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合数量积的坐标表示，得到，结合向量模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以即为点到的距离，. 故答案为： 13. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面平面. （1）证明：平面平面PAB. （2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，得到，结合得到平面，再由线面平行的性质得到，故平面，进而证明出面面垂直； （2）在（1）基础上得到直线PD与直线BC所成的角为，由线面垂直得到，故，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 小问1详解】 底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB. 【小问2详解】 ，直线PD与直线BC所成的角为， 底面，平面， ，即， 设，则， 以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面PCD的法向量为，则， 取，则，得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为. 16. 已知圆：，直线过点. （1）当与圆相切时，求的方程； （2）设线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明动点的轨迹 【答案】（1）或 （2），轨迹为以为圆心，1为半径的圆 【解析】 【分析】（1）分析直线斜率是否存在两种情况讨论求解切线的方程. （2）法一：设点，，可得，利用点在圆上运动，可求点的轨迹方程；法二：利用中位线性质得出的值，求出点坐标，根据圆的定义得到点的轨迹方程. 【小问1详解】 已知圆的圆心是，半径是2， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 （解法1）设点，，则由点是线段的中点得， 所以①， 因为点在圆上运动，所以②， 将①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆. （解法2）连接，，取中点，连接， 因为为中点，所以， 因为，所以， 所以动点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为 17. 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可； (2)通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可； (3)运用错位相减的方法求解即可. 【小问1详解】 当时，，得． 当时，， ， 两式相减得，则． 当时，符合上式， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 故． 【小问3详解】 由（1）得， 则， ， 两式相减得， ， 所以． 18. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设，直接建立方程组，即可求出结果； （2）解法1：设出直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，根据条件，可直接求出直线方程为，从而求出点到直线的距离，当斜率存在时，设直线方程为，联立椭圆方程得到，利用韦达定理，结合条件，即可找出与的关系，从而求出结果；解法2：根据条件，巧妙的构造齐次式，从而得出，即可解决问题. 【小问1详解】 由题意可得解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解法1：韦达定理 设点，，由（1）易求得， 当直线的斜率不存在时，设其方程为（且）， 所以由，且，得到， 即，解得或（舍） 此时点到直线的距离为， 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立消去并整理得. 则，，， 所以，即. 所以， ， 整理得，即， 所以或. 若，则直线的方程为， 所以直线过点，不合题意； 若，则直线的方程为， 所以直线过定点. 又因为，所以点在椭圆内. 则点到直线的距离为. 所以点到直线距离的最大值为. 解法2：齐次式法 易求得，设点，，则， 椭圆的方程为，即， ， 设直线的方程为，联立并齐次化，得 整理得， 即， 方程的两根为，，由韦达定理得， 从而，与对照， 则解得故直线过定点， 、JKK;显然，点到直线距离的最大值为. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可； （2）（ⅰ）对函数两次求导，根据三种情况分别讨论函数的零点个数；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得到，然后令对不等式进行化简即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以切线斜率为， 由，则曲线在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以． 令，则． a.当时，因为，所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点． b.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，所以单调递增．， 此时，在内无零点． c.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，所以． 因为，所以在区间内有1个零点， 所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当且时，，所以， 即． 令，则， 所以，，…，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城中学2025-2026学年度第二学期第一次学情调研 高二数学学科试卷 命题单位：桐城中学学科发展中心 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，当m与n满足下列哪种关系时，向量与x轴垂直（　　） A B. C. D. 2. 在1与81之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. 9 C. D. 3 3. 若函数在处的切线平行于直线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前n项和为，且（），若，则（ ） A. 的最大项是 B. 的最小项是 C. 的最大项是 D. 的最小项是 6. 已知数列的通项公式为为其前项和，则（ ） A. 1012 B. C. 1013 D. 7. 已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数有两个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（　　） A. 若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B. 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 10. 设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确命题有（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若，则为等差数列 C. 若为等差数列，则是等差数列 D. 若，则为等比数列 11. 已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在区间上单调递增 C. 点是曲线的对称中心 D. 若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线经过点，则点到的距离为__________. 13. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 14. 已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面平面. （1）证明：平面平面PAB （2）若，，且异面直线PD与BC所成角正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 16. 已知圆：，直线过点. （1）当与圆相切时，求方程； （2）设线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明动点的轨迹 17. 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求； （3）若，求数列的前项和． 18. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $