精品解析：四川渠县中学2025-2026学年八年级下学期学情自测数学试题

四川省达州市渠县中学2025-2026学年八年级下学期开学考试 数学试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各数：、、、，、中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如果，那么下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 4. 一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长为（ ） A. 13 B. 12 C. D. 13或 5. 点P关于y轴对称点M的坐标为，那么点P关于x轴对称点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在计算一组数据的方差时，数学老师列出以下公式：，根据公式信息，下列说法中，错误的是（ ） A. 数据个数是5 B. 数据平均数是5 C. 数据众数是3 D. 数据方差是18 7. 在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ） A. m=3 B. m＞3 C. m＜3 D. m≥3 10. 如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 一个正数的平方根分别是m和，则m的值为______． 12. 已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第___象限． 13. 如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则_________． 14. 关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. （1）解方程组： （2）计算： 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 解不等式组请按以下步骤完成解答： （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为___________． 19. 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 20. 如图，∠1=∠2，∠BAE=∠BDE，EA平分∠BEF． （1）求证：AB∥DE； （2）BD平分∠EBC吗？为什么？ 21. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 23. 如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． （1）图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． （2）图1风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） （3）图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． （4）图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 24 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：． 解原式． ②，利用配方法求M的最小值． 解． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据以上材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）若，求M的最小值； （3）已知a、b、c是三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； 25. 在中，，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足． （1）如图1，点H为线段上一点，若，证明：是等腰三角形； （2）如图2，若，，求的长； （3）如图3，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县中学2025-2026学年八年级下学期开学考试 数学试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 在下列各数：、、、，、中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根，掌握无理数的概念，求一个数的立方根的计算是解题的关键． 根据无理数的概念“无限不循环小数”及常见无理数的形式“含的式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如相邻两个2之间1的个数逐渐增加”，立方根求值得到实数，进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴无理数有，共2个， 故选：B ． 3. 如果，那么下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ，A错误； ，B正确； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 由，两边同乘，得 ，C错误； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变， ∴ 由，两边同除以，得 ，D错误； 综上，正确答案是B． 4. 一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长为（ ） A. 13 B. 12 C. D. 13或 【答案】D 【解析】 【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】当12和5均为直角边时，第三边； 当12为斜边，5为直角边，则第三边， 故第三边的长为13或． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理分类讨论和计算是解题的关键． 5. 点P关于y轴对称点M的坐标为，那么点P关于x轴对称点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可得点P的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可得答案． 【详解】解：点P关于y轴对称点M的坐标为， 点P的坐标为， 点P关于x轴对称点N的坐标为， 故选：A． 6. 在计算一组数据的方差时，数学老师列出以下公式：，根据公式信息，下列说法中，错误的是（ ） A. 数据个数是5 B. 数据平均数是5 C. 数据众数是3 D. 数据方差是18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了样本容量、平均数、众数、方差，根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， 数据个数是5，故A选项正确； 数据平均数是，故B选项正确； 出现次数最多的是3，则数据众数是3，故C选项正确； 数据方差是：，故D选项错误； 故选：D． 7. 在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和三角形的三边关系，等腰三角形的定义．利用因式分解，把原式变形为，再结合三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵在中，它的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故选：A 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 9. 关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ） A. m=3 B. m＞3 C. m＜3 D. m≥3 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式组得：， ∵不等式组的解集为x＜3 ∴m的范围为m≥3， 故选D． 10. 如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点A关于的对称点，过点作，交于点D，则是线段的垂直平分线，根据角平分线的性质得，，从而可得的最小值是的值，证明，可得，利用面积公式求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，过点作，交于点D， 则是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即的最小值是的值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 一个正数的平方根分别是m和，则m的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得：， 故答案为：． 12. 已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第___象限． 【答案】一． 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的方程mx+3=4的解为x=1，∴m+3=4，∴m=1，∴直线y=（m﹣2）x﹣3为直线y=﹣x﹣3，∴直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第一象限，故答案为一． 考点：一次函数与一元一次方程． 13. 如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质等知识点，掌握30度角所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键． 设，由垂直平分线的性质以及等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，然后由直角三角形两锐角互余可得，解得：，即；最后根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：设， ∵线段的垂直平分线分别交于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，先求得解集，然后根据“同小取小”和已知解集得到m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中， ∴， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. （1）解方程组： （2）计算： 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求解即可； （2）先化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解：（1）方程组整理为， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 原方程组的解为； （2）原式 ． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据提公因式法分解因式，进行作答，即可求解； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解，即可求解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：. 18. 解不等式组请按以下步骤完成解答： （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为___________． 【答案】（1） （2） （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】（1）按照解不等式的步骤和方法，即可解答； （2）按照解不等式的步骤和方法，即可解答； （3）根据解集，在数轴上表示即可； （4）根据解不等式组的口诀：大大取大，即可解答． 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：； 【小问2详解】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问3详解】 解：如图所示： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 19. 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：根据△ABC和△BDE都是等边三角形可得AB=BC，BE=BD，∠ABE=∠DBE=60°，即可证得△ABE≌△CBD，从而得到结论. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=60° 又∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠DBE ∴在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE=CD. 考点：等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质 点评：全等三角形的判定和性质的应用是平面图形中极为重要的知识点，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注. 20. 如图，∠1=∠2，∠BAE=∠BDE，EA平分∠BEF． （1）求证：AB∥DE； （2）BD平分∠EBC吗？为什么？ 【答案】（1）见解析（2）平行，见解析 【解析】 【分析】（1）根据角的关系证明同位角∠1=∠ABE即可; （2）先证明AE//BD，根据平行线的性质和角平分线的定义可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵∠2与∠ABE是对顶角， ∴∠2=∠ABE． ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠ABE， ∴AB∥DE； （2）解：BD平分∠EBC． 理由：∵由（1）知AB∥CD， ∴∠BDE=∠DBC,∠BEF=∠EBC, ∵∠BAE=∠BDE， ∴∠BAE=∠DBC， ∴AE∥BD， ∴∠AEB=∠DBE． ∵EA平分∠BEF，∠BEF=∠EBC， ∴BD平分∠EBC 考点：平行线的判定与性质． 21. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 【答案】（1）A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．（2）每台A型号家用净水器的售价至少是200元． 【解析】 【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据条件列二元一次方程组解答即可； （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台， 由题意得，解得； 答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台． （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元， 由题意得100a+60×2a≥11000，解得a≥50， 150+50=200（元）． 答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元． 【点睛】考点：1.二元一次方程组的实际运用2.一元一次不等式组的实际运用 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 【答案】（1） （2）点Q坐标为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式． （2）联立两直线方程求出点P的坐标，作轴于点F，先由直线解析式求出点B坐标，再由求解． 【小问1详解】 解：将与代入得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：联立两直线方程得， 解得， ∴点P坐标为． 作轴于点F， 把代入得， ∴点B坐标为， ∴， 又∵，， 则 ， 解得， ∵点Q在y轴负半轴， ∴点Q坐标为． 23. 如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． （1）图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． （2）图1风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） （3）图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． （4）图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转一次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【小问1详解】 解：答案见图2，图3； 【小问2详解】 解：观察图形可知，旋转一次循环， ， 所以风叶①到达了图4位置． 【小问3详解】 解：图1所示风车绕中心逆时针旋转度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：； 【小问4详解】 解：由如图5可知，最少翻折次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：． 24. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：． 解原式． ②，利用配方法求M的最小值． 解． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据以上材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）若，求M的最小值； （3）已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由； 【答案】（1） （2） （3）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性、等边三角形的判定，读懂题意，掌握配方法是解题关键． （1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出的值，然后判断三角形的形状即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 则M的最小值为； 【小问3详解】 解：△ABC是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即是等边三角形； 25. 在中，，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足． （1）如图1，点H为线段上一点，若，证明：是等腰三角形； （2）如图2，若，，求的长； （3）如图3，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若，．求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明，推出，即可证明是等腰三角形； （2）过点A作于点E，证明，可得，求出的长即可利用勾股定理求解； （3）如图所示，在上取一点H，使得，连接，证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可得，同理，即可推出，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点E， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理， ∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $