第6章 综合·融通 圆周运动中的临界问题（Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版 江苏专用）

本讲义聚焦圆周运动中的临界问题这一核心知识点，系统梳理竖直面内轻绳（无支撑）和轻杆（有支撑）模型的建立、弹力特征及临界条件，同时涵盖水平面内圆周运动的绳弹力、支持力、静摩擦力等临界状态分析，通过典例解析与题点练习构建完整知识支架。 该资料以模型建构为特色，通过对比表格清晰呈现轻绳与轻杆模型的力学方程及临界差异，体现科学思维。典例结合2025年期中真题，练习题融入跳绳、转盘等生活场景，培养科学探究能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过实例巩固，有效查漏补缺。

综合·融通　圆周运动中的临界问题 　　　　(融会课——主题串知综合应用) 圆周运动中临界状态及临界条件的分析是圆周运动中的一类重要问题，也一直是高考的热点问题，此类问题分为竖直平面与水平面内的圆周运动，其主要涉及临界速度、临界受力、临界约束等。通过本节课的学习要掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法；知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件。 主题(一)　竖直面内的圆周运动及临界问题 [知能融会通] 1.模型建立 在竖直平面内做圆周运动的物体，根据其受力特点可分为两类： (1)轻绳模型——无支撑 小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻绳”模型。 (2)轻杆模型——有支撑 小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动，如图丙所示；小球在竖直放置的光滑管道内做圆周运动，如图丁所示，都称为“轻杆”模型。 2.模型对比 “轻绳”模型 “轻杆”模型 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg+FT=m mg±FN=m 临界特征 FT=0，即mg=m，得v= v=0，即F向=0，此时FN=mg v=的意义 物体能否过最高点的临界点 FN表现为拉力还是支持力的临界点 　　 [典例]　(2025·南京高一期中)图甲和图乙分别是竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，甲、乙两模型中小球A和B的质量均为m，绳长和杆长均为L，小球过最高点时，轻绳恰好对小球没有作用力，而轻杆对小球的作用力大小F=，其中g为当地的重力加速度，不计空气阻力。求： (1)小球A在最高点的加速度； (2)小球A和B在最高点时的速度大小之比。 [解析]　(1)对处于最高点的小球A受力分析， 由牛顿第二定律有mg=ma 解得a=g，方向竖直向下。 (2)对轻绳模型中处于最高点的小球A，由牛顿第二定律有mg=m 对轻杆模型中处于最高点的小球B，根据牛顿第二定律，若F为支持力，则有mg-F=m 解得小球A和B在最高点时的速度大小之比为= 若F为拉力，有mg+F=m 解得小球A和B在最高点时的速度大小之比为=。 [答案]　(1)g，方向竖直向下　(2)或 [思维建模] 两类模型的运动特点 (1)轻绳模型和轻杆模型中小球都是在竖直平面内做圆周运动，在最高点、最低点时由小球竖直方向所受的合力充当向心力。 (2)轻绳模型和轻杆模型在最低点的受力特点是一致的，在最高点轻杆模型可以提供竖直向上的支持力，而轻绳模型不能。 [题点全练清] 1.(2025·苏州高一阶段练习)如图，一个细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球从最高点p以一个微小初速度开始运动，途中经过a、b、c、d四个位置，其中a与d等高，b与c等高，小球直径略小于圆管内径，则小球与圆管无作用力的位置可能是 (　 ) A.a和b　　　　　 B.a和d C.b和c D.c和d 解析：选B　小球在b、c位置的合力提供向心力，由于向心力指向圆心，则小球与圆管一定有作用力；若小球在a、d位置受重力的分力提供向心力，设重力方向与a、O连线的夹角为θ，当mgcos θ=m时，小球与圆管无作用力。 2.如图所示，长度均为l=1 m的两根轻绳，一端共同系住质量为m=0.5 kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为l，重力加速度g取10 m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点的速率为v时，每根绳的拉力恰好为零，则小球在最高点的速率为2v时，每根绳的拉力大小为 (　 ) A.5 N　　　　　　 B.20 N C.15 N D.10 N 解析：选A　小球在最高点的速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，由牛顿第二定律得mg=m，由几何关系可知，小球在最高点时，绳与竖直方向的夹角为30°，当小球在最高点的速率为2v时，由牛顿第二定律得mg+2FTcos 30°=m，解得FT=mg=5 N。 主题(二)　水平面内的圆周运动及临界问题 [知能融会通] 1.水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内。 2.临界状态：物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 3.水平面内的圆周运动常见的临界条件 (1)与绳的弹力有关的临界条件：绳的弹力恰好为0或不被拉断的最大值。 (2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。 (3)因静摩擦力而产生的临界条件：静摩擦力达到最大值。 [典例]　如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=45°，一条长为L的轻绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看成质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。重力加速度为g，求： (1)当v1=时，绳对物体的拉力大小； (2)当v2=时，绳对物体的拉力大小。 [解析]　当物体刚要离开锥面时，锥面对物体没有支持力，对物体受力分析， 由牛顿第二定律得FTsin θ=m， FTcos θ=mg， 解得v0=。 (1)因v1<v0，此时锥面对物体有支持力，设为FN，对物体受力分析，如图甲所示，则有 FT1cos θ+FNsin θ-mg=0 FT1sin θ-FNcos θ=m 解得FT1=mg。 (2)因v2>v0，则物体离开锥面，设绳与竖直方向的夹角为α，如图乙所示， 则FT2cos α-mg=0，FT2sin α=m 解得FT2=2mg。 [答案]　(1)mg　(2)2mg [思维建模] 水平面内圆周运动临界问题的三种解题方法 (1)极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的。 (2)假设法 有些物理过程中没有出现明显临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题。因此分析时先假设出临界状态，然后再分析判定。 (3)数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式，求得临界条件，具体步骤如下： ①对物体进行受力分析。 ②找到其中变化的力以及它的临界值。 ③求出向心力(合力或沿半径方向的合力)的临界值。 ④用向心力公式求出运动学量(线速度、角速度、周期、半径等)的临界值。 [题点全练清] 1.(2025·高邮高一期中)跳绳是比较受欢迎的健身运动，分为有绳跳绳和无绳跳绳两种方式。有绳跳绳绳子的长度为l1，质量为m1，无绳跳绳单根绳子的长度为l2、质量不计，下端连接一个质量为m2的绳球，跳绳的绳长可调节。跳绳时可认为绳子与绳球均做匀速圆周运动，下列说法正确的是 (　 ) A.无绳跳绳时，绳球在最高点的加速度最大 B.无绳跳绳时，绳球在最高点时受到绳子的拉力最大 C.无绳跳绳时，若感觉手柄对手的力太小，可适当增大绳子的长度 D.忽略重力的影响，若跳绳时有绳跳绳和无绳跳绳手柄对手的作用力相等，则= 解析：选C　跳绳时绳球做匀速圆周运动，加速度大小不变，故A错误；当绳球在最高点时F1+m2g=m2ω2l2，解得F1=m2ω2l2-m2g，在最低点时F2-m2g=m2ω2l2，解得F2=m2g+m2ω2l2，可知F2>F1，则绳球在最高点时受到绳子的拉力最小，故B错误；当绳球做匀速圆周运动的角速度一定时，绳子越长，绳球做匀速圆周运动需要的向心力越大，绳子对绳球的拉力越大，手柄对手的作用力越大，故C正确；忽略重力的影响，对无绳跳绳有F手=m2ω2l2，有绳跳绳绳子的重心到手柄的距离约为，则2F手=m1ω2×，可得=，故D错误。 2.(2025·连云港高一期中)如图所示，带有中心转轴的水平转盘上放置一质量为1 kg的小物块，物块与转轴通过轻质弹簧连接，小物块处于静止状态，弹簧伸长4 cm。已知弹簧的劲度系数为100 N/m、原长为36 cm，现让转盘从静止开始缓慢加速转动，下列说法中正确的是 (　 ) A.当物块与转盘间的摩擦力恰好为零时，转盘角速度为 rad/s B.当物块与转盘间的摩擦力大小为2 N时，转盘角速度一定为 rad/s C.当转盘角速度为2 rad/s时，物块与转盘间的摩擦力大小为4 N D.当转盘角速度由 rad/s增加到2 rad/s的过程中物块与转盘间的摩擦力逐渐增大 解析：选C　根据向心力表达式F=mω2r，当摩擦力f=0 N时，弹簧弹力F弹=F=4 N，解得ω= rad/s，故A错误；当f=2 N时，摩擦力方向可能指向圆心也可能背离圆心，故转盘角速度不确定，故B错误；当转盘角速度为2 rad/s时，向心力F=mω2r=8 N，而F弹=4 N，f=4 N，方向指向圆心，故C正确；综上所述，根据向心力表达式F=mω2r，当转盘角速度从 rad/s增加到2 rad/s 的过程中物块与转盘间的摩擦力从2 N先减小到0再反向增大到4 N，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $