精品解析：广西南宁银海三雅学校2025-2026学年度春季学期综合评价一 九年级数学

2025-2026学年度春季学期综合评价一 初三数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据“绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵互为相反数的两个数符号相反且绝对值相等， ∴的相反数是， 故选：． 2. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 3. 某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数”是解本题的关键． 【详解】解：在这组数据中位于中间数据为8， ∴中位数为8， 故选B． 4. 由五个相同小正方体搭成的一个几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从正面观察该几何体，确定其主视图的形状． 【详解】解：主视图有4列，每列小正方形数目分别为2，1，1，1， 故选：B． 5. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；③不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选A． 6. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 7. 若分式有意义，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即x+1≠0，解得x的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义， 则x+1≠0， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，熟记当分母不为0时，分式有意义，是解题的关键． 8. 用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点．根据垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短逐项分析判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直是利用了“两点之间线段最短”，故本选项不符合题意； 故选：A． 9. 一次函数y＝﹣3x﹣2的图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】k＜0，函数一定经过第二，四象限，b＜0，直线与y轴交于负半轴，所以函数图象过第三象限，所以函数图象不过第一象限． 【详解】解：∵k＝﹣3＜0，b＝﹣2＜0， ∴函数的图象不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，k＞0，函数一定经过第一，三象限，k＜0，函数一定经过第二，四象限，再根据直线与y轴的交点即可得出函数所过的象限，这是解题的关键． 10. 如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理， 根据圆周角定理解答，即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 11. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　） A. 12 B. ﹣12 C. 6 D. ﹣6 【答案】A 【解析】 【分析】△ABC的面积＝AB×yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m）， 则：△ABC的面积＝AB×yA＝•（﹣）•m＝6， 则k1﹣k2＝12． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题． 12. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】连接， ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子的值等于0，则x的值为________． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），结合二次根式有意义的条件（被开方数非负），联立求解x的值． 【详解】解：要使式子的值为0，需满足以下条件： 1. 分子为0且二次根式有意义：，即，解得， 2. 分母不为0：， 当时，，满足二次根式有意义的条件，且，满足分母不为0的条件， 因此，x的值为3． 14. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】观察原式结构，发现其为平方差形式，可利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 15. 如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据简单的概率计算公式计算即可． 【详解】解：随机抽取一张卡片有4种结果，是非金属元素的结果有两种，所以从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是． 故填：． 16. 如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，准确找到点的运动轨迹，证明是解题的关键． 延长到点M，使，连接，，,利用正方形性质和旋转全等模型证明，从而可得和是直角三角形，从而由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再由．即可得出结论． 【详解】解：延长到点M，使，连接，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是以为斜边作等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂与实数的乘法，再进行加减即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：去括号，得 移项，得 合并，得 ． 18. 小慧想在周末观看一部电影，准备从四部电影中选取一部，分别是：A《震耳欲聋》，B《毕正明的证明》，C《刺杀小说家2》，D《浪浪人生》．对此小慧围绕“你最喜欢的电影是什么？”在全年级同学中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表： 项目 内容 百分比 A 《震耳欲聋》 B 《毕正明的证明》 C 《刺杀小说家2》 D 《浪浪人生》 a 请结合统计图表，回答下列问题： （1）填空：__________；本次调查的学生总人数是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请你根据调查的结果初步估计全校同学中最受欢迎的电影应该是哪一部． 【答案】（1）10%，100人； （2）见解析 （3）《毕正明的证明》 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查，条形统计图， 对于（1），总单位1分别减去A，B，C三项的百分比，可得答案； 对于（2），先求出选择B电影的人数为，再补全统计图即可； 对于（3），根据抽样的人数比较可得答案. 【小问1详解】 解：， 所以； 观察统计图可知选择A电影的人数为25人， 所以本次调查的学生总人数为（人）. 故答案为：人； 【小问2详解】 解：补全统计图如下： 【小问3详解】 解：因为， 所以全校同学中最受欢迎电影是《毕正明的证明》. 19. 已知如图，在中，，． （1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线及线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质， （1）以B为圆心，任意长为半径画弧，交于F、N，再以F、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交于D，射线就是的平分线；分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与交于点E，点E就是的中点； （2）首先根据角平分线的性质可得的度数，进而得到，根据等角对等边可得，再加上条件，即可利用证明． 【小问1详解】 解：如下图，点D、E即为所求作； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ， ， ∴， ∴， 在和中， ∴. 20. 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． （1）求今年A型车每辆售价多少元？ （2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年销售价格 2000 【答案】（1）1600元 （2）30辆 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找准等量关系和不等关系． （1）设今年售价为元，则去年售价为元，根据数量相等列出方程求解即可； （2）设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据利润列出不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设今年售价为元，则去年售价为元，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴今年A型车每辆售价为1600元； 【小问2详解】 解：设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据题意得， ， 解得， ∴A型车至多进30辆． 21. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，的坡度为，， ∴， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则． ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 22. 综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．如图是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为（），对称轴为，且． （1）当与恰好相等时，求抛物线的解析式； （2）在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）在大棚内上不能找到一固定点，设计一根支撑柱，使得与平行，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件确定点的坐标，再利用抛物线的对称轴公式和点在抛物线上的性质，结合的条件，建立方程求解抛物线的解析式． （2）先求出直线的解析式，再根据平行关系得到直线的解析式，结合抛物线解析式求出点的横坐标，进而判断是否存在点． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵对称轴公式为， ∴①． 在中，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 把代入，得②． 由①得，将其代入②得， 解得， ∴, ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在大棚内上不能找到一固定点，设计一根支撑柱，使得与平行，理由如下： 设直线的解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 中，令，则， 解得或， ∵点在轴的正半轴上， ∴， 一次函数中，当时，， 解得， ∴在大棚内上不能找到一固定点，设计一根支撑柱，使得与平行． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括抛物线解析式的求解、一次函数解析式的求解以及平行直线的性质等，熟练掌握二次函数的性质、一次函数的性质是解题的关键． 23. 我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，平分，连接，．显然、是半直角三角形． （1）判断：_______半直角三角形（填“是”或“不是”）； （2）求证：； （3）若点D的坐标为，求的长； （4）在（3）的条件下，设交于点F，求与的面积之比． 【答案】（1）是 （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给“半直角三角形”的定义可直接进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据四点共圆可知，进而问题可求解； （3）连接，设的半径为r，然后根据勾股定理可建立方程，则有，最后根据勾股定理可进行求解； （4）由题意易得，则有，然后可得，延长交于点G，过点A作于H，如图2，进而通过证明，即根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，平分， ∴， ∴， ∴是半直角三角形； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D、B、A、E四点共圆， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图1，连接，设的半径为r， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点G，过点A作于H，如图2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度春季学期综合评价一 初三数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数中位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 由五个相同小正方体搭成的一个几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列式子正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若分式有意义，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A. B. C. D. 9. 一次函数y＝﹣3x﹣2的图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　） A. 12 B. ﹣12 C. 6 D. ﹣6 12. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子的值等于0，则x的值为________． 14. 因式分解：_________． 15. 如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是_______． 16. 如图，在正方形中，，为对角线上的一动点，以为斜边向右作等腰，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2）解方程： 18. 小慧想在周末观看一部电影，准备从四部电影中选取一部，分别是：A《震耳欲聋》，B《毕正明证明》，C《刺杀小说家2》，D《浪浪人生》．对此小慧围绕“你最喜欢的电影是什么？”在全年级同学中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表： 项目 内容 百分比 A 《震耳欲聋》 B 《毕正明的证明》 C 《刺杀小说家2》 D 《浪浪人生》 a 请结合统计图表，回答下列问题： （1）填空：__________；本次调查的学生总人数是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请你根据调查的结果初步估计全校同学中最受欢迎的电影应该是哪一部． 19. 已知如图，在中，，． （1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 20. 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． （1）求今年A型车每辆售价多少元？ （2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 21. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 22. 综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．如图是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为（），对称轴为，且． （1）当与恰好相等时，求抛物线的解析式； （2）在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 23. 我们知道：有一内角为直角三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，平分，连接，．显然、是半直角三角形． （1）判断：_______半直角三角形（填“是”或“不是”）； （2）求证：； （3）若点D的坐标为，求的长； （4）在（3）的条件下，设交于点F，求与的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $