精品解析：广西南宁市第三中学2024-2025学年下学期九年级开学考试数学试卷

【2025中考备考】 2024～2025学年度春季学期随堂练习（一） 九年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室温度为零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据零上为正，零下为负，即可求解． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室温度为零下，应记作． 故选：B 2. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据三视图的画法，俯视图是从上面看到的图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，几何体的俯视图是： 故选C． 3. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件． 故选：B． 4. 2024年11月10日，合肥马拉松比赛（全线共42.195公里）在骆岗公园燃情开跑，共有119000人参加报名此次比赛．其中数字119000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 5. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的识别，只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，有两个未知数，不是一元一次方程，故A不符合题意； 不是整式方程，不是一元一次方程，故B不符合题意； ，含有2次项，不是一元一次方程，故C不符合题意； ，是一元一次方程，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据矩形的对角线相等，得到即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握公式是解题的关键．同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方逐项分析即可． 【详解】解：A，，故该选项不正确，不符合题意； B，，故该选项不正确，不符合题意； C，，故该选项正确，符合题意； D，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， 故选：B ． 9. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和为622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，分别用2021年的高效节水灌溉面积表示出2022年、2023年的高效节水灌溉面积，利用总高效节水灌溉面积为622.28万列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：． 故选：B． 10. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 11. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 12. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 14. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 15. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 【答案】-4 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值． 【详解】∵△POM的面积等于2，∴|k|=2． ∵反比例函数图象过第二象限，∴k＜0，∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 16. 如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，先判断出当时，取得最小值，求出，利用角平分线的性质得到，推出，设，则，证明，则，得到，求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的化简，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则， （1）根据实数的运算法则即可解答； （2）先去括号再合并即可， 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移2个单位得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果）若是直接写出位似中心点M的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）和是位似图形，位似中心 【解析】 【分析】本题主要考查作图，平移变换； （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据相似比作图即可； （3）根据位似的概念即可得出． 【小问1详解】 如图所示； 【小问2详解】 如图所示； 【小问3详解】 解：如图， 和是位似图形， 位似中心． 19. 为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　 　； （2）图1中∠α的度数是　 　，并把图2条形统计图补充完整； （3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　 　． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）40；（2）54°，补图详见解析；（3）7000；（4）． 【解析】 【分析】（1）由统计图可得：B级学生12人，占30%，即可求得本次抽样测试的学生人数； （2）由A级6人，可求得A级占的百分数，继而求得∠α的度数；然后由C级占35%，可求得C级的人数，继而补全统计图； （3）首先求得D级百分比，继而估算出不及格的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）本次抽样测试学生人数是：＝40（人）； 故答案为40； （2）根据题意得：∠α＝360°×＝54°， C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8＝14（人）， 如图： （3）根据题意得： 35000×＝7000（人）， 答：不及格的人数为7000人． 故答案为7000； （4）画树状图得： ∵共有12种情况，选中小明的有6种， ∴P（选中小明）＝ 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣的快递．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）“6·18”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 【答案】（1）一台A型数控机器人每小时分拣件快递，一台B型数控机器人每小时分拣件快递 （2）共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；方案三：型号机器人2台，型号机器人9台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设一台B型数控机器人每小时分拣件快递，根据一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成，列出方程进行求解． （2）设需要台A型数控机器人，台型数控机器人，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设一台B型数控机器人每小时分拣件快递，由题意，得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ， 答：一台A型数控机器人每小时分拣件快递，一台B型数控机器人每小时分拣件快递； 【小问2详解】 设需要台A型数控机器人，台型数控机器人，由题意，得：， ∴， ∵为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故：共有3种方案： 方案一：型号机器人6台，型号机器人3台； 方案二：型号机器人4台，型号机器人6台； 方案三：型号机器人2台，型号机器人9台． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 【答案】（1）坡面的水平距离和垂直距离分别是和 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及解直角三角形、矩形性质等知识，数形结合，选择恰当的三角函数列式求解是解决问题的关键． （1）在中，由正弦函数、余弦函数定义列式求解即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，由矩形性质得到相关线段长，在中，由正切函数定义列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， ；； 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图所示： 则四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 22. 函数探究课上，小明在刘老师指导下对一个新函数进行研究，以下是他的研究过程，请补充完整． （1）绘制函数图 ①列表：下表是x与y几组对应值． … … … … 填空：______，______； ②描点：根据表中的数值描点，在如图的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图像． （2）探究函数性质 观察图像，请写出函数的两条性质：①______；②______． （3）运用函数图像及性质 ①根据函数图像，不等式的解集是______． ②若关于的方程有两个实数解，则的取值范围为______． 【答案】（1）①；②见解析；③见解析 （2）①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小 （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）①将，，分别代入函数解析式，即可求解； ②根据题意，在平面直角坐标系中描出各点； ③根据题意画出函数图像即可求解； （2）根据函数图像，根据增减性，对称性写出两条性质即可求解； （3）①根据函数图像与的交点，结合函数图像，即可求解； ②根据函数图像即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，， 故答案为：． ②描点，如图所示， ③连线，如图所示， 【小问2详解】 根据函数图像，可得①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小 故答案为：①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 ①根据函数图像可得不等式的解集是或； 故答案为：或． ②根据函数图像可知，关于的方程有两个实数解，则的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，列表描点画函数图像，根据函数图像求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 23. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）存在最小值，证明见解析；（2）；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）由，其中为常数，即可求解； （2）当点P和点C重合时，为最小，此时，，当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，即可求解； （3）由四边形面积最小值，即可求解； （4）由面积，即，而，，，则，即可求解． 【详解】解：（1）存在最小值，理由： 证明：连接，如图1： ∵是的切线， ∴， ∴，其中为常数， 故当直线l时，最小，此时最小； （2）连接，如图： 由（1）知，， ∴当最小时，取得最小值， ∴当点P和点C重合时，为最小，此时， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大， 故 故答案为：； （3）直线向下平移5个单位得到直线， 当，当，， 解得：， ∴点C、D的坐标分别为：， ∴， 设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接， ∴， ∴， 对于直线，当， ∴， ∴， ∴， 而的最小值， ∴同上可得：， ∵四边形面积最小值， 故答案为：； （4）设直线和x轴正方向的夹角为， 设点，过点作于点， ∴， 则， 如图，过点A作直线l， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴， ∴面积， ∵ ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 当直线l时，即点P、N重合时，最小， 此时， ∵，， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题为圆的综合题，切线的性质，勾股定理，涉及到解不等式、解直角三角形、一次函数与几何综合，正方形的性质等，按照题目顺序逐次求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2025中考备考】 2024～2025学年度春季学期随堂练习（一） 九年级数学学科 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室温度为零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 4. 2024年11月10日，合肥马拉松比赛（全线共42.195公里）在骆岗公园燃情开跑，共有119000人参加报名此次比赛．其中数字119000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 2021年我国新增高效节水灌溉面积188万，如果要使2021年至2023年三年新增高效节水灌溉面积总和622.28万，设2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（    ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 14 因式分解：_________． 15. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 16. 如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17 （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移2个单位得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果）若是直接写出位似中心点M的坐标． 19. 为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　 　； （2）图1中∠α的度数是　 　，并把图2条形统计图补充完整； （3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　 　． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 20. 某快递公司采用A，B两种型号数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣的快递．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）“6·18”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 22. 函数探究课上，小明在刘老师的指导下对一个新函数进行研究，以下是他的研究过程，请补充完整． （1）绘制函数图 ①列表：下表是x与y的几组对应值． … … … … 填空：______，______； ②描点：根据表中的数值描点，在如图的平面直角坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图像． （2）探究函数性质 观察图像，请写出函数的两条性质：①______；②______． （3）运用函数图像及性质 ①根据函数图像，不等式的解集是______． ②若关于的方程有两个实数解，则的取值范围为______． 23. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？ 小明探究后发现，当直线l时，的长最小． 请帮小明证明该结论： 【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______． 【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______． （4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $