6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础概念到综合应用再到拓展探究，适配不同能力学生，有效巩固直线方向向量与平面法向量知识，培养数学抽象、推理及应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|方向向量、法向量基本概念与计算|直接应用定义，如方向向量坐标求解（题1）、法向量判定（题3）| |B层|方向向量平行垂直、法向量综合应用|结合几何模型（四棱锥、三棱锥），设置多选题（题10、11）| |C层|空间平面方程、法向量拓展应用|类比平面到空间（题15），综合证明与面积计算（题16）|

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 A层 基础达标练 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 2.已知点A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0)都在平面α内,则平面α的一个法向量的坐标可以是(　　) A. B. C.(2,2,3) D.(2,-2,-1) 3.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量n=(1,y,3),若AB⊂α,则(　　) A.x=6,y=2 B.x=2,y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 4.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下关系可能不成立的是(　　) A. B. C. D. 5.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点,则直线OA的一个方向向量为　　　　,点P的坐标满足的条件为　　　　.  6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量. B层 能力提升练 7.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　) A.-1　　　 B.1或-1　 C.-3　　 D.1 8.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB的法向量的是(　　) A. B.(1,,1) C.(1,1,1)　　 D.(2,-2,1) 9.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是(　　) A.(1,-4,2)　　 B. C. D.(0,-1,1) 10.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的是(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D. 11.(多选题)已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c为平面α的一个法向量,则(　　) A.m=-1 B.m=1 C.n=2 D.n=-2 12.(多选题)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是(　　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 13.已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为坐标原点),则点E的坐标为　　　　　　　.  14.如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量. C层 拓展探究练 15.在平面几何中,直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个法向量为n=(A,B),同时平面内任意一点P(x0,y0)到直线l的距离d=.类似地,假设空间中一个平面α:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0),则它的一个法向量n=　　　　,空间任意一点P(x0,y0,z0)到它的距离d=　　　　　　　　　　　　　　.  16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:是平面ABCD的法向量; (2)求平行四边形ABCD的面积. 参考答案 1.A　因为=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量. 2.C　由A,B,C,得, 设n=是平面α的一个法向量, 则 取x=2,则y=2,z=3,故n=,则与n=共线的向量也是法向量, 经验证,只有C正确.故选C. 3.C　由题意可知,·n=0,可得3x+4y+2=0. 4.C　∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA. 又AC⊥BD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴BD⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC, ∴PC⊥BD. 故选项B成立,选项A和D显然成立. 5.(1,1,1)(答案不唯一)　x+y+z=3　由题意知,OA⊥α,直线OA的一个方向向量为=(1,1,1).因为P∈α,所以,所以(1,1,1)·(x-1,y-1,z-1)=0,所以x+y+z=3. 6.解 如图所示,建立空间直角坐标系. 依题意,可得D(0,0,0),E,B(1,1,0),于是=0,,=(1,1,0). 设平面EDB的法向量为n=(x,y,z), 则n⊥,n⊥,于是 取x=1,则y=-1,z=1, 故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).(答案不唯一) 7.A　由题意得a∥b,所以解得x=-1. 8.A　由题意,易得=(1,0,-2),=(-1,1,0), 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1), 由解得 所以n=(2,2,1). 又1,1,=n, 因此,平面PAB的一个法向量为1,1,. 9.D　由题意,设n是平面α的一个法向量,易得=(0,2,4),直线l平行于向量a,则必须满足把选项代入验证,只有选项D不满足.故选D. 10.ABC　∵=0,=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP,则A,B正确;又不平行,∴是平面ABCD的一个法向量,则C正确;由于=(2,3,4),=(-1,2,-1),∴不平行,故D错误. 11.AC　由题意,得c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面α的一个法向量,得 得解得 12.AD　因为|a|==6,所以x=±4.因为a⊥b,所以a·b=4+4y+2x=0,即y=-1-x.所以当x=4时,y=-3;当x=-4时,y=1.所以x+y=1或x+y=-3. 13.-,-　由题意,设=t,t∈R, 则+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t). 因为⊥b, 所以·b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=. 因此存在点E,使得⊥b, 此时E点的坐标为-,-. 14.解 以A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,0,0,S(0,0,1). (1)∵SA⊥平面ABCD, ∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. (2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SA⊂平面SAB,∴AD⊥平面SAB, ∴=,0,0是平面SAB的一个法向量. (3)在平面SCD中,=,1,0,=(1,1,-1). 设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n⊥,n⊥, ∴得方程组 令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1). ∴n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量.(答案不唯一) 15.(A,B,C)　 16.(1)证明 =(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0,=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0, 所以AP⊥AB,AP⊥AD. 又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. (2)解 因为||=, ||==2=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6,所以cos<>=, 故sin <>=, S▱ABCD=||·||sin<>=8. 学科网（北京）股份有限公司 $