专题03 三角形最值问题的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题03 三角形最值问题的三种考法 类型一将军饮马最值问题 1．如图，在中，，点D为BC上一点，点P，Q分别是点D关于的对称点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识 如图，连接．证明△PQA是等边三角形，推出可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵点P，Q分别是点D关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 2．如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时，______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；根据轴对称的定义可知：，则，利用外角的性质将转化为，再利用三角形内角和定理结合已知条件即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值； 根据轴对称的定义可知： ， 则 ． 故答案为：． 3．如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，当点与点重合时，则的最小值即为的长，由勾股定理以及含的直角三角形的性质求出的长度，进而可得的长度，即可得解． 【详解】解：作点关于线段的对称点，连接、，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图所示： 由轴对称的性质可知：，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 当点与点重合时，则的最小值即为的长， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为_____，若时，的最小值为_____． 【答案】 【分析】当时，取得最小值，利用等边三角形的性质即可求解； 作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即B、F、H共线时，的值最小，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：当时，取得最小值， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为； 如图，作，且，连接交于M，连接， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、F、H共线时，如图2，的值最小，即的长， 此时是等腰直角三角形，且， ∴， 故答案为：；． 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，确定点F的位置，有难度． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且，、是该直线上的两个动点，且，连接、，则周长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】如图作点O关于直线的对称点，作且，连接交于点D，连接， 则四边形为平行四边形，垂直平分，根据含30度的直角三角形性质得，得，由勾股定理得，即，即得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点O关于直线的对称点，作，且，连接交于点D，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， 即， ∴当点M到点D的位置时，即当、M、C三点共线，，取得最小值， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，含30度角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键． 6．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 【答案】40 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 7．在中，，平分，若，分别是，上的动点，，，当取得最小值时，则_______，与的数量关系为_______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质、角平分线的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称解决线段和最小值是解题的关键．过点作于点，作点关于的对称点，则，取得最小值，根据三角形的面积公式可求得的长，由角平分线的性质和直角三角形的两锐角互余可得，进而推出，最后根据含角直角三角形的性质等量代换即可得解． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ，平分， ， 作点关于的对称点，则点在上，， 此时，取得最小值， ，， ， 即， ，即的最小值为， ∵，， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：，． 8．如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为_______． 【答案】10 【分析】过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G，由角平分线的性质得到，根据可得；证明是等腰直角三角形，得到，，再证明都是等腰直角三角形，得到，则；证明，得到，，则；作点B关于的对称点M，连接，可证明，由轴对称的性质可得，，则当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，由勾股定理得，即的最小值为10， 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G， ∵，平分， ∴； ∵，，且， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，作点B关于的对称点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 类型二、瓜豆轨迹最值问题 1．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 2．如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． 延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 3．如图，是边长为2的等边三角形，D是的中点，F是线段上的动点，连接，以为边在的右侧作等边，连接，则________；当取得最小值时________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和含直角三角形的性质，掌握以上知识点并熟练运用是解决本题的关键． 在上找一点G，使，连接，根据等边三角形的判定和性质可得，，，，进而证明，则可得到的度数，当时，取得最小值，即也取得最小值，根据全等三角形的性质可得，最后结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：在上找一点G，使，连接，如下图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 根据题意得，当时，取得最小值，如下图： ∵， ∴当取得最小值，也取得最小值， ∵， ∴， ∵是等边三角形且， ∴，， ∴， ∴（符合条件）， ∵等边是边长为2且D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：；． 4．如图，直线于点，是上一点（点在点的上方），在右侧以为边作等边三角形，是上的一个动点，以为边作等边三角形，连接，则____；连接，若，则的最小值为_______． 【答案】 90 6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含角直角三角形的性质，解题的关键是找到图中的全等三角形并证明．根据全等三角形的性质可得，，，进而证得，从而证得，根据全等的性质可得，即可得解；根据，可得点在过点且垂直的直线上运动，当时，取最小值，中，根据含角直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 直线， ， ， 点在过点且垂直的直线上运动， 当时，取最小值， ， ， 在中，． 故答案为：；． 5．如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，即可求解． 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小，此时， ∴最小值为， 故答案为： ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，以为边作等边，过点作于，连接，可证，得到，可知当有最小值时，有最小值，根据垂线段最短知当轴时，有最小值，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，过点作于，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 当轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．如图，等边中，是边上的中线，点E是线段上一动点，连结，在右侧作等边，连结．若，则周长的最小值为____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，证明，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ∵ ， ， ， ∵是等边三角形 ， 则， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故答案为：． 类型三、胡不归最值问题 1．如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出点和点的坐标，得到，的长，利用勾股定理可求得的长，得到，从而得到，，连接，进而证得为等边三角形，过点作并延长与轴的交点即为所求的点，作点关于轴的对称点，连接，则有，为线段的垂直平分线，从而得到，，，进而推出，，则当、、三点共线时，值最小，最小值即为的长，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：直线与轴、轴交于，两点， 令，则有， 令，则有，解得， ，， 即，， ， ， ，， 如图所示，连接， 点为线段的中点， ，， ，为等边三角形， 过点作并延长与轴的交点即为所求的点，作点关于轴的对称点，连接， 则有，， 为等边三角形，， ， ，为线段的垂直平分线， ，，，， 当、、三点共线时，值最小，最小值即为的长， 轴，轴，， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 2．如图，是等边三角形，为边的中点，则___________度；当cm，为中线上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】①解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， 故答案为：； ②， ， ，， 根据面积可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．如图，中，，，，若D是边上的一个动点，连接，则的最小值是________． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点间线段最短，解直角三角形，作辅助线是解题的关键． 过点作，过点作交于，并延长至，且，连接，先计算，再得到为等边三角形，结合，，最后求得最小值即可． 【详解】过点作，过点作交于，并延长至，且，连接， ，，， ，， 又且， ，， ，， ，则为等边三角形， ， 又，当时取得最小值， 此时，， ， 所以的最小值是6． 4．如图，在中，，，，为边上一动点，连接．当取最小值时，的长为______． 【答案】 【分析】延长到点，使得，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，如图所示，得到，由垂线段最短得出当点与重合时，的值最小，由此可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，如图所示： ， ∴， ， 即垂直平分线段， ，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，为线段， 设此时， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则， ， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及含的直角三角形性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短、直角三角形两锐角互余、解方程等知识，解题的关键是依据动点最值问题的解法结合题意作出相应辅助线构造解决问题的几何图形． 5．如图，在中，，，，，若在边上取一点M，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了作轴对称图形，解含有的直角三角形，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线作轴对称图形转化边长． 作辅助线，以为对称轴，作点B关于的对称点，连接，作交于点M，可证明为等边三角形，转化边长，再由三点共线求解最小值即可． 【详解】解：以为对称轴，作点B关于的对称点，连接，作交于点M，如图， 在中，，，则， ∵，即， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∴， 若有最小值，则点，点M，点D三点共线时最小， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 6．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EPAP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．） 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转化，进而勾股定理求解即可 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于点， ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， EPAP 当三点共线时，点和点重合，重合，如图， EPAP的最小值为的长， ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， CD＝BC， 又∵ 是等边三角形 E为线段CD的中点， 在中 ∴EPAP的最小值 如图， 过点作于，过点作于，则 则 当三点共线时，取得最小值，即取得最小值 即此时重合， 是等边三角形， 在中，， 即最小值为 的最小值为 故答案为：； 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化是解题的关键． 7．如图，在中，，点为边上一动点，则的最小值为___________． 【答案】9 【分析】本题考查利用轴对称求线段的最值，含30度角的直角三角形的性质，将转化为是解题的关键． 作点C关于的对称点，连接，作于点H，由轴对称得，，，由含30度角的直角三角形的性质，得，进而可得，可知当点，D，H三点共线时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：作点C关于的对称点，连接，作于点H， ， ， 又， ， 点C和点关于对称， ，，， ， 当点，D，H三点共线时，取最小值，如图，的最小值为的长度， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为9， 故答案为：9． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形最值问题的三种考法 类型一将军饮马最值问题 1．如图，在中，，点D为BC上一点，点P，Q分别是点D关于的对称点，则的最小值是______． 2．如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时，______． 3．如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是______． 4．如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为_____，若时，的最小值为_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且，、是该直线上的两个动点，且，连接、，则周长的最小值为______． 6．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 7．在中，，平分，若，分别是，上的动点，，，当取得最小值时，则_______，与的数量关系为_______． 8．如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为_______． 类型二、瓜豆轨迹最值问题 1．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 2．如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 3．如图，是边长为2的等边三角形，D是的中点，F是线段上的动点，连接，以为边在的右侧作等边，连接，则________；当取得最小值时________． 4．如图，直线于点，是上一点（点在点的上方），在右侧以为边作等边三角形，是上的一个动点，以为边作等边三角形，连接，则____；连接，若，则的最小值为_______． 5．如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是________． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 7．如图，等边中，是边上的中线，点E是线段上一动点，连结，在右侧作等边，连结．若，则周长的最小值为____． 类型三、胡不归最值问题 1．如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为________． 2．如图，是等边三角形，为边的中点，则___________度；当cm，为中线上的动点，则的最小值是___________． 3．如图，中，，，，若D是边上的一个动点，连接，则的最小值是________． 4．如图，在中，，，，为边上一动点，连接．当取最小值时，的长为______． 5．如图，在中，，，，，若在边上取一点M，则的最小值为________． 6．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EPAP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．） 7．如图，在中，，点为边上一动点，则的最小值为___________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $