数学一模突破卷（湖南长沙专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) B 20.(8分) 个人数 48 在线 4 答题 在线 0 -24 在线 讨论 18 听课 在线 40% 阅读 1812 0 在线 在线在线 在线 方式 阅读听课 答题讨论 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B E A D C 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) M C 0回▣口 D E ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) N 古铜钱 良渚玉琮 中式窗棂 图1 图2 图3 ■ ■ ■ S IIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIII IIIII厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 6 7 8 9 10 A D C B ◇ C C C ◇ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.aa-2025 12.9013.3π 14.3 15.B16.26 三、解答题（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 【解折1解：原式64+2×2-R2-1+-22分) 21 元4+2-92+1-2(4分) 元3.(6分) 18.(6分) 【解析】2(x+2y)-(3x+y)-4y i2x+4xy-3x-y-4y(2分) i-x-y(4分) 当x=-1,y=2时，原式就-x-y=1-2=-1(6分) 19.(6分) 【解析】(1)解：如图即为所求作； A (2分) (2)解：.∠A=64°，∠C=80°， ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=36°，(4分) 1/8 态学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ,BD平分∠ABC, .∠ABD=1∠ABC=18°， ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=64°+18°=82°.(6分) 20.(8分) 【解析】(1)本次调查的学生总人数：(24+18+12÷1-40%=90， 故答案为：90；(2分) (2)在线听课的学生有：90-24-18-12=36（人）， 补全的条形统计图如下图所示； 个人数 48 42 6 36 30 24 24 18 12 (4分) 2 6 0 在线 在线 在线 在线 方式 阅读 听课 答题讨论 (3)扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：360° 12=-48°， 90 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；(6分) (4)3000 24=800(人)，(8分) 9 21.(8分) 【解析】(1)证明：，AE和BD相交于点O, ∴.∠AOD=∠BOE 又.'在△AOD和△BOE中，∠A=∠B, .∠BEO=∠2.(2分) 又，∠1=∠2， ∴.∠1=∠BEO, .∠AEC=∠BED.(3分) 在△AEC和△BED中， b, ∴.△AEC2△BED(ASA.(5分) 2/8 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：，△AEC≌△BED, ∴.EC=ED,∠C=∠BDE,(6分) 在△EDC中， :EC=ED,∠1=40°， kC=6EDc=180-∠1=09 ∴.∠BDE=∠C=70°.(8分) 22.(9分) 【解析】解：问题1：设选择套餐A的员工人数为X人，选择套餐B的员工人数为y人. 根据题意，列方程组：，解得：(.(2分) 答：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；(4分) 问题2，当0≤m≤50时， y=150-10-80m+200-110)300-m=-30m+27000;(6分) 当50<m≤300时， y=150-10-80×50+150-80m-50+200-110(300-m=-20m+26500.(8分) 综上所述y=i.(9分) 23.(9分) 【解析】(1)解：过点C作CH⊥AM于点H,(1分) M 名H D E ② 在Rt△BCH中，BC=1.5米，∠MBC=37°， ∴.CH=BC·s∈37°≈1.5×0.6=0.9（米），(2分) 答：点C到墙面AM的距离为0.9米.(3分) (2)延长DC交AM于点G. .∠ADC=45, .∠CGA=45°，AD=AG,(4分) 在Rt△GCH中，CH=GH=0.9, 3/8 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 Rt△BCH中，BH=BC·cos37°≈1.5×0.8=1.2米， ∴.BG=GH+BH=0.9+1.2=2.1米，(5分) 设AB=X,在Rt△ABE中，∠AEB=53°， ∴.∠ABE=37°， .AE=AB·tan37°≈0.75x,(6分) .AD=AG, ∴.5.2+0.75x=x+2.1, 解得：x=12.4(8分) 答：匾额悬挂的高度AB为12.4米.(9分) 24.(10分) 【解析】(1)证明：过O作OE⊥AD于E, D .四边形ABCD为正方形， .OD=OA,OD⊥OA ∴.OE平分AD,即DE=EA(2分) :.OE-DE-EA-AD, 即OE等于⊙O的半径， .⊙O与AD相切，(4分) (2)连接OE, BD与⊙O切于点E ∴.OE⊥BD 由切线长定理得，DN=DE,BE=BM .DN=BM=22 .DE=BE(5分) 4/8 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.OE为BD的垂直平分线上 在正方形ABCD中， AB=AD=4,CD=BC 由勾股定理得，BD=AB2+AD=42+4=42 且点C也在BD的垂直平分线上， .CE=22,且C,O,E共线，(7分) 0C=22-1, ∴.OE=1, .⊙O的半径为1.(8分) (3)⊙0任意移动后扫过的最大面积为42-4-π=16-4+π=12+π：(10分) 25.(10分) 【解析】1)解；：反比例函数.y=x>0图象在第一象限， X .设“等距点”的坐标为m,mm>0, m=2 m 解得：m=√2或m=-√2（舍去），(1分) :反比例函数.y=2x>0图象上的“等距点”坐标为2,2：（2分) X (2)解：设Ap,p,Bq,-q,则： p=jp+m.-q-qtm. 解得：p=2m,q=2 m,(3分) -22 ∴.A2m,2m,B 把y=0代入y=2x+m得：0 1 2+m, 解得：x=-2m, 1 直线y=2x+m与x轴交点C的坐标为-2m,0,(4分) 5/8 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 即4 -=3, 3 解得：m=±3 ：一次话数解折式：yx+号我y=x是《5分) (3)解：二次函数y=ax+bx+c(a、b、c为常数，ab<0)的图象经过点-b,c, ∴.c=a-b2+b-b+c, 即b2a-1=0, .ab<0, ∴.a≠0，b≠0， ∴.a-1=0, 解得：a=1, .ab<0, .b<0, ∴.二次函数解析式为：y=x+bx+c, 当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，X=x+bx+C, 整理得：x2+b-1x+c=0, 此时△=b-12-4c, 当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，一X=X2+bx+c, 整理得：x2+b+1x+C=0, 此时△=b+12-4c, b<0, .b-12-4c>b+12-4c,(7分) 6/8 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ,二次函数图象上有且仅有三个“等距点”， .b+12-4c=0,b-12-4c>0, .4c=b+12, .b-12-4c=b-12-b+12=-4b, .方程x2+b-1x+c=0的解为： X=1-b+=4b或x=1-b-8=4b 2 2 方程x2+b+1x+c=0的解为： x=-1-b 2， 1-b+-4b--1-b=2+8=4b0, 2 2 2 :1-b+-45、-1-b 2 2 1-b+8-4b1-b=4b,X<X,<x 2 2 x,=1-b+-4b 2 1-b--4b_-1-b=2--4b 2 2 (8分) 当-1<b<0时，2-4b30,即-b-4b3-1-b 2 2 2 此时x,=1-b-=4b,X=b, 2 2 X1+X3-2x2 6-1-b+1-b+=4b-2x1-b--46 2 2 2 i-4b-1, .-1<b<0, .0<-4b<2, .-1<V-4b-1<1, .当-1<b<0时，-1<x1+x3-2x2<1; 7/8 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5=时，24b=06-4bDX三X,只存在两个“等距点”，不符合思 2 2 当b41时，24b<0,即1-b-4b<1b, 2 2 2 此时x,=1-b-34b,X,=)b 2 2， X1+X3-2X2 :1-b-=4b+1-b+=4b-2×-1-b 2 2 2 i2, .当b←1时，X1+X3-2x2=2;(9分) 综上分析可知：当-1<b<0时，-1<x1+X3-2x2<1;当b←1时，x1+x3-2X2=2.(10分) 8/8 ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（   ） A． B． C． D． 2．近年来，中国芯片技术取得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁．已知，则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（    ） A．正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（    ） A．B．C． D． 5．在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（   ） A．98、93 B．96、96 C．96、95 D．95，96 6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 8．如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，记抛物线的图象与x正半轴的交点为A，将线段分成n等份，设分点分别为，，…，，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分. 13．若一个扇形的圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 14．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图像经过点B，则k的值是 ． 15．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在中，． (1)尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若（1）中，，求的度数． 20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：    (1)直接写出本次调查的学生总人数______； (2)补全条形统计图； (3)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； (4)该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 21．（8分）如图，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（9分）乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 23．（9分）某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． (1)求点C到墙面的距离； (2)求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 24．（10分）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环，设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点N，M，E，且，，求的半径； (3)如图3，半径为1的在边长为4的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为_____________． 25．（10分）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”. (1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标； (2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； (3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，理解正负数的意义是解题关键．根据以上的温度记作正数，以下的温度记作负数即可得． 【详解】解：∵在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数， ∴零下，记作， 故选：A． 2．近年来，中国芯片技术取得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁．已知，则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握相关知识点是解题的关键． 用科学记数法表示较小数的一般形式为（，为整数），将题目中的数值化简成对应形式，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 3．如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（    ） A．正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 【答案】C 【分析】此题考查了几何体的表面展开图，熟记掌握常见几何体的表面展开图是关键．根据常见几何体的表面展开图进行判断即可． 【详解】解：一个等边三角形连接各边中点形成的图形是三棱锥的表面展开图， 故选：C 4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，最后所得点的坐标是， 故选：B． 5．在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（   ） A．98、93 B．96、96 C．96、95 D．95，96 【答案】B 【分析】本题考查中位数，众数的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据众数，中位数的定义求解． 【详解】解：将各数从大到小排列后得：98、96、96、96、95、93，其中96出现次数最多，众数为96，处于中间的两个数为96、96，中位数为． 故选：B． 6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的 外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故选：． 7．已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法．首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可． 【详解】解：设方程的一根为，则另一根为， ， 解得：， 又， ， 解得：， 故选：C． 8．如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质定理，根据题意利用四边形的内角和，即可解答，熟知切线的性质是解题的关键． 【详解】解：是的切线， ， ， ， 故选：C． 9．如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，连接交于，可证，得，由勾股定理求得的长，求得的长，再根据，可得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接交于，如图，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 10．如图，记抛物线的图象与x正半轴的交点为A，将线段分成n等份，设分点分别为，，…，，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意，结合二次函数性质与三角形面积公式得出，，…，，进而表示出W，再根据条件n越来越大分析求解，即可解题． 【详解】解：当时，， 解得， ， 将线段分成n等份，设分点分别为，，…，， ，，，， ，，， 过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，， ，，，， 为， ， ， ， 则 ， 当n越来越大时，与越接近于零， 则W最接近的常数是， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分. 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的定义，熟练掌握加权平均数的定义是解答本题的关键． 根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：该名教师的综合成绩为（分）， 故答案为：． 13．若一个扇形的圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径是， 这个扇形的面积是， 故答案为：． 14．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图像经过点B，则k的值是 ． 【答案】 【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出k的值. 【详解】解：过点B作BC垂直OA于C， ∵点A的坐标是（2，0）， ∴AO=2， ∵△ABO是等边三角形， ∴OC=1，BC=， ∴点B的坐标是 把代入，得 故答案为：． 【点睛】考查求反比例函数的解析式也考查了等边三角形的性质和勾股定理，解题本题的关键是求出反比例函数图像上点B的坐标； 15．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以，且， 所以卡片上的数最大， 故答案为：． 16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ． 【答案】 【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论． 【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ． 则弦为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及立方根的定义分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先利用乘法分配律将算出来，然后经过去括号，合并同类项化简即可；最后再将值分别代入计算结果． 【详解】 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的加减运算，以及求代数式的值；熟记整式的加减运算法则是解题关键． 19．（6分）如图，在中，． (1)尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若（1）中，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握种基本作图是解题关键． （1）利用基本作图画出的平分线即可； （2）先根据三角形的内角和定理计算出，再根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：，， ， 平分， ， ． 20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：    (1)直接写出本次调查的学生总人数______； (2)补全条形统计图； (3)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； (4)该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) (4)人 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体． （1）利用已知数据的学生人数除以其所占百分比即得出总人数； （2）用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图； （3）求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以即得出答案； （4）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可． 【详解】（1）本次调查的学生总人数：， 故答案为：； （2）在线听课的学生有：（人）， 补全的条形统计图如下图所示；    （3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：， 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°； （4）（人）， 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人． 21．（8分）如图，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵和相交于点O， ∴． 又∵在和中，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 22．（9分）乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 【答案】问题1：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；问题2：． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； 问题2：分和列出函数关系式即可． 【详解】解：问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人． 根据题意，列方程组：，解得：． 答：选择套餐的员工40人，选择套餐的员工40人； 问题2，当时， ； 当时， ． 综上所述． 23．（9分）某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． (1)求点C到墙面的距离； (2)求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 【答案】(1)点C到墙面的距离为米 (2)匾额悬挂的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点C作于点H，在中，解直角三角形求出即可； （2）延长交于点G，先求出，，设，解直角三角形表示出，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H， 在中，米，， ∴（米）， 答：点C到墙面的距离为米． （2）延长交于点G． ， ，， 在Rt中，， 中，米， ∴米， 设，在Rt中，， ， ∴， ， ∴， 解得： 答：匾额悬挂的高度为米． 24．（10分）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环，设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点N，M，E，且，，求的半径； (3)如图3，半径为1的在边长为4的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为_____________． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为1； (3)． 【分析】（1）过作于，证明等于的半径即可； （2）连接，由切线长定理得，，，证明，为的垂直平分线上，且点也在的垂直平分线上，且，，共线，再进一步可得答案； （3）如图，设与正方形相切的切点为，证明四边形为正方形，可得，可得任意移动后扫过的最大面积为大正方形面积减去四个角的空余部分的面积；再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：过作于， 四边形为正方形， ， 平分，即 ， 即等于的半径， 与相切， （2）连接， 与切于点 由切线长定理得，， 为的垂直平分线上 在正方形中， ， 由勾股定理得， 且点也在的垂直平分线上， ，且，，共线， ∵， ， 的半径为1． （3）如图，设与正方形相切的切点为， ∴，，而， ∴四边形为正方形， ∴， ∴任意移动后扫过的最大面积为大正方形面积减去四个角的空余部分的面积； ∵的半径为1；正方形的边长为， ∴， ∴， ∴任意移动后扫过的最大面积为； 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，切线的判定，切线长定理的应用，扇形面积的计算，理解题意是解本题的关键． 25．（10分）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”. (1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标； (2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； (3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围. 【答案】(1) (2)或； (3)当时，；当时， 【分析】（1）设“等距点”的坐标为，根据反比例函数解析式得出，求出或（舍去），即可得出答案； （2）设，，根据函数解析式得出，，求出，，求出直线与x轴交点C的坐标为，根据，求出m的值即可得出答案． （3）根据二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 ，求出，，根据二次函数图象上有且仅有三个“等距点”，得出，，求出或，比较大小得出，分三种情况：当时，当时，当时，确定、，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数. 图象在第一象限， ∴设“等距点”的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴反比例函数. 图象上的“等距点”坐标为； （2）解：设，，则： ，， 解得：，， ∴，， 把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交点C的坐标为， 即， 解得：， ∴一次函数解析式为：或； （3）解：∵二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 ， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴二次函数解析式为：， 当“等距点”的坐标横纵坐标相同时，， 整理得：， 此时， 当“等距点”的坐标横纵坐标互为相反数时，， 整理得：， 此时， ∵， ∴， ∵二次函数图象上有且仅有三个“等距点”， ∴，， ∴， ∴， ∴方程的解为： 或， 方程的解为： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 当时，，即， 此时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，，，，只存在两个“等距点”，不符合题意； 当时，，即， 此时，， ， ∴当时，； 综上分析可知：当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，反比例函数的应用，新定义，解题的关键是掌握新定义，注意进行分类讨论． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =▣=一。一-一=-▣=■--==。-=一=。--一▣=一-▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【W][/】 第I卷（请用2B铅笔填涂） ■ 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.A1[B1IC1[D] 5.[A][B][C][D] 9.AJ[B][C1[D] 2.AJ[B][C1[D] 6.[A][B][C][D] 10.[AJ[B][C1[DJ 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4A1[B1[C1[D] 8.A][B1[C1ID1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(8分) 个人数 48 在线 答题 在线 36 讨论 在线 24 18 听课 在线 18 12 40% 阅读 6 0 在线 在线在线 在线方式 阅读 听课答题讨论 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) E 1 2 D 22.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) M B D E ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 口远 E 古铜钱 良渚玉琮 中式窗棂 图1 图2 D C 图3 ■ ■ ■ ■ (40)E 0000 IIIIIIIIIIIIIII IIII 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在温度计上，以上的温度记作正数，以下的温度记作负数．据天气数据显示，2024年1月23日长沙县的最低气温为零下，记作（   ） A． B． C． D． 2．近年来，中国芯片技术取得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁．已知，则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（    ） A．正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 4．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（    ） A．B．C． D． 5．在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（   ） A．98、93 B．96、96 C．96、95 D．95，96 6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（   ） A． B．2 C．5 D． 8．如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，记抛物线的图象与x正半轴的交点为A，将线段分成n等份，设分点分别为，，…，，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分. 13．若一个扇形的圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 14．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图像经过点B，则k的值是 ． 15．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，) 卡片编号 两数的和 16．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在中，． (1)尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若（1）中，，求的度数． 20．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：    (1)直接写出本次调查的学生总人数______； (2)补全条形统计图； (3)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； (4)该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 21．（8分）如图，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（9分）乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 23．（9分）某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． (1)求点C到墙面的距离； (2)求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 24．（10分）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环，设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点N，M，E，且，，求的半径； (3)如图3，半径为1的在边长为4的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为_____________． 25．（10分）定义：象限内到两坐标轴距离相等的点，我们称为“等距点”.比如：，， 都是“等距点”. (1)求反比例函数. 图象上的“等距点”坐标； (2) A、B是一次函数 图象上的“等距点”，O为坐标原点，若 的面积为3，求一次函数的解析式； (3)二次函数 (a、b、c为常数,) 的图象经过点 且其图象上有且仅有三个“等距点”，它们的横坐标依次记为 求 的值或取值范围. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $