数学一模提分卷（湖南长沙专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) B M 20.(8分) 人数 20f 16 14 12 公 A 10 8 8 4 E 0f-1 28% D A B )E 学校 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(9分) D O 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) E D PO C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) y B y A R Q B C A 图1 图2 备用图 II 101 IIII1I1IIIIIII 分窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 8 D B A B D 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(m+2)2 12.7 13.4 14.2W5 15. 16.6 三、解答题（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 【解析】解：|-V5+(V5-1)°-3tan30°-V25 =5+1-3×9-52分) =5+1-V5-5(4分) =-4.(6分) 18.(6分) 【解析】解：(a+1-寻)÷ -(学-寻)÷料 =a+2a2.1 (a+2 (2分) =(4分) :a≠1且a≠-2(5分) .当a=0时，原式=-1；(6分) 当a=2时，原式=0.(6分) 19.(6分) 【解析】解：：PAIQ N, 1/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠PNQ=B=37°，∠PMQ=a=60°，(1分) 在Rt△PMQ中， :∠PQN=90°， tan∠PMQ=器，(2分) :QM=22=器0==80N5N138,4(米，(3分) PQ 3 在Rt△PQN中，tan∠PNQ=器， PQ 240 QN=am=s7心320（米），(5分) MN=QN-QM=320-138.4≈182（米）. 答：这条河的宽度MN=182米.(6分) Q M N 20.(8分) 【解析】(1)解：总人数为14÷28%=50（人) .选择B大学的人数为50一10一14一2-8=16，补全统计图如图所示， 个人数 20H 16 16 14 1210 8 4 A B C D E 学校 (2分) (2)在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为品×360°=14.4°， 选择A大学的大约有1000×器=200（人） 故答案为：14.4°；200.(4分) (3)列表如下， 2/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 甲乙 A C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB Cc 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，(6分) :甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为.(8分) 21.(8分) 【解析】(1)解：设租赁大、小挖掘机分别为x台、y台， x+y=20 根据题意得： (2(80x+60y)=3000,(2分) (x=15 解得： 0y=5 故租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台.(4分) (2)解：设租赁大挖掘机m台， 根据题意得：600m+400(20-m)≤10000，(6分) 解得：m≤10， 答：最多可以租赁10台大挖掘机.(8分) 22.(9分) 【解析】(1)证明：四边形0CDE是菱形，理由如下：(1分) :矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, OC=OD=AC=支BD,(2分) :直线CE是线段OD的垂直平分线， :.CO=CD,EO=ED, .C0=CD=OD,即△COD是等边三角形， ∠OCD=∠CD0=∠D0C=60·,∠0CF=∠DCF=∠DC0=30°，(3分) CDIOE, .∠E0D=∠ED0=∠CD0=60°， :.△E0D是等边三角形，(4分) 3/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :.CO=CD=EO=ED, 四边形0CDE是菱形.(5分) (2)解：：直线CE是线段OD的垂直平分线，且∠DCF=30°， :.DF=CD=3,CF=CD2-DF2=33,(6 由(1)得四边形0CDE是菱形， ∴EF=CF=3V3,(7分) 在Rt△DGF中，∠GDF=90°-∠0DC=30°， :GF=DFtan30·=3×号-5， EG=EF-GF=25.(9分) 23.(9分) 【解析】(1)解：：对角线AC是⊙O的直径， ·∠ADC=90°， ÷∠EDC=180°-∠ADC=90°；(2分) (2)解：：AC=2W5DE, :设DE=X,则AC=2V5x.(3分) :EC⊥AC, ·∠ACE=90°， ÷∠ACE=∠ADC, 又：∠EAC=∠CAD, ·△EAC△CAD, ·8=,即AC2=AD·AE, ·(2N5x)=AD·(AD+x), 解得AD=4x或AD=-5x(舍)，(4分) :∠ADC=90°， ·AD2+CD2=AC2, :cD=Ac2-AD2=(25x)2-(4x)2=2x, 4/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :tan∠ACD=器=袋=2， :∠ABD=∠ACD, :tan∠ABD=tan∠ACD=2;(6分) (3)解：如图，连接OD,作OG⊥BD于点G, 由垂径定理得BG=DG,(7分) 设BG=DG=m,则PB=m-PG,PD=m+PG, :PD2+PB2=8, (m+PG)2+(m-PG)2=8, 整理得m2+PG2=4,(8分) :OG⊥BD,∠DPC=45°， ·∠GP0=∠G0P=45°， ÷PG=0G, ·0D2=DG2+0G2=m2+PG2=4, :0D=2, ∴AC=20D=4.(9分) 24.(10分) 【解析】(1)解：：A的坐标为(-V3m,0),点B(-V3mm),C(0,m),点0(0,0) ∴A0=V5m=BC,AB=0C=m .ABIIOC ,BCILAO, :四边形ABCO是平行四边形， :∠A0C=90°， .四边形OABC是矩形， :将四边形0ABC绕点O按顺时针方向旋转90度得到四边形0ABC, :点P与点C重合，四边形ABQP是矩形， 5/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BP=3m,PQ=m, :.BQ=3m+m BP 5m= 35 V3m+m 2 故答案为：矩形， 5,(1分) (2)解：：将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a度得到四边形0ABC, :.0A=0A=3 m,AB'=m, B0=VA02+AB2=2m, .0C=BC=m,(2分) :tan∠P0C=器=g ΓA0' :器=典 3m, .PC-m P8=29m4分) AOIB'C. :器=器=1， :cQ=Pc=号m 8Q=5, 器=克；(5分) (3)解：当点P在线段BC上时，由(2)可知，当PC=号m时，器=方， 点P(-号mm):(6分) 当点P在线段CB的延长线时，如图，过点Q作QN⊥AO,交AO的延长线于N,连接OQ, 6/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B' B 图3 :四边形OCQN是矩形， :OC=QN=OC=m, 若器=克，则设BP=aBQ=2a, .PQ=3a, :S△oPQ=PQ×0C=×P0×QN, .PQ=PO=3a :P02=PC2+0C2, 9a2=(a+5m)2+m2,(8分) a=5m+35m 8 (负值舍去)， ∴CP=5+9 8 -m 点P(-压5mm),9分) 综上所述：点P的坐标为一 压+e5mm)或(-号mm.a0分) 8 25.(10分) 【解析】(1)设点A(x0y)是抛物线L上的一点，则点一Xo一y。在抛物线L2上，分别将 A(xoy),B(-o-y。代入对应抛物线解析式，得， (-2x8-mxo+4=y0 nx8-2x0-k=-y0 解得m=-2,n=2,k=4;(2分) (2)由题意可得，抛物线L1:y=-6ax2+3bx-2c的“和谐抛物线”为L2:y=6ax2+3bx+2c, 将点(1,0)代入y=6ax2+3bx+2c中，得6a+3b+2c=0, 7/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :c=-3a-b, :0G=)+()2=()+()=厚.()+9+9，(3分) 设号=t :b2-4a≤0 :-2≤号≤2，即-2≤t≤2， :0G=厚2+9t+9=V里(t+是)2+碧，(4分) :t=-是时，0G取得最小值， :0G的最小值为医，(5分) (3):抛物线L:y=一px2+qx-t(p>0)的“和谐抛物线”L2的解析式为 y=px2+qx+t(p>0), 点P、点C、点D和点Q、点公、点F的坐标分别为P(号)，c(号，0)， (平，小Q(是等)，（小，（小， DB=-9pE_9hp=-pE,CF=-pE-9pE=-9gp,（6分) 2p 2p 悲=吉， 二9y924pt =5x-94旺 ∴V92-4pt=-号q, :点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称， .四边形PCQF是平行四边形， 当平行四边形PCQF是矩形时，∠CPF=90°， 如图，过点P作PH⊥CD于点H, F衣 8/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :PH⊥CF∠CPF=90°， ∴∠FPH+∠CPH=∠PCH+∠CPH=90o, ∴∠FPH=∠PCH,(7分) PH⊥CF, ∠PHC=∠FHP=90o .△PHCM△FHP, 開=器， ∴PH2=CH·FH,(8分) :PH=,CH=是-n-,PH=-帚=29g0 20 2p 2 代入PH2=CHH,符(0)2-.2g 2p :再将g2-4pt=-q代入上式得()=碧，过，解得9，=0（舍去.92=6（合去， 93=-6, :将93=-6代入V92-4pt=号9得pt=5, .当四边形PCQF为矩形时，q=-6,pt=5.(10分) 9/92026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =▣=一。一-一=-▣=■--==。-=一=。--一▣=一-▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【W][/】 第I卷（请用2B铅笔填涂） ■ 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.A1[B1IC1[D] 5.[A][B][C][D] 9.AJ[B][C1[D] 2.AJ[B][C1[D] 6.[A][B][C][D] 10.[AJ[B][C1[DJ 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4A1[B1[C1[D] 8.A][B1[C1ID1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（6分) P. M 20.(8分) 人数 20h 16 14 12 B A 10 8- 8 4 C 28% 0f-1- A B C D E学校 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(9分) G D 公 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) E A C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) y B' B' A B B Q B C P\C C C A A 图1 图2 备用图 ■ ■ ■ (40)E 00601 IIIIIIIIIIIIIII IIII ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D．2026 2．某市在一次扶贫助残活动中，共捐款元，将用科学记数法表示为（   ） A．元B．元 C．元 D．元 3．如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．面积相等的三角形全等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 5．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D．3 7．如图，等腰直角的直角顶点与坐标原点重合，分别过点作轴的垂线，垂足为，点A的坐标为，则线段的长为（   ） A．4 B．6 C．3 D．5 8．如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）    A．60° B．90° C．120° D．150° 9．“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（   ） A． B． C． D． 10．定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题： （1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧 （2）函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（　　） A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：＝ ． 12．已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ． 13．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为 ． 14．如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为 ． 15．如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为，若，则的值为 ． 16．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 20．（8分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 21．（8分）长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设． (1)已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？ (2)已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？ 22．（9分）如图，矩形的对角线与相交于点，直线是线段的垂直平分线，分别交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求的长． 23．（9分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接交于点P．    (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)若，，求的长． 24．（10分）如图平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，直线过点，且，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时分别与直线相交于于，． (1)四边形的形状是________，当时，的值是________； (2)如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴时，求的值； (3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点和点，使？若存在，请求出点的坐标（用含m的代数式表示），若不存在，请说明理由． 25．（10分）已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， (1)若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； (2)若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； (3)已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D．2026 2．某市在一次扶贫助残活动中，共捐款元，将用科学记数法表示为（   ） A．元B．元 C．元 D．元 3．如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．面积相等的三角形全等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 5．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D．3 7．如图，等腰直角的直角顶点与坐标原点重合，分别过点作轴的垂线，垂足为，点A的坐标为，则线段的长为（   ） A．4 B．6 C．3 D．5 8．如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）    A．60° B．90° C．120° D．150° 9．“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（   ） A． B． C． D． 10．定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题： （1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧 （2）函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（　　） A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：＝ ． 12．已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ． 13．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为 ． 14．如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为 ． 15．如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为，若，则的值为 ． 16．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 20．（8分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 21．（8分）长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设． (1)已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？ (2)已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？ 22．（9分）如图，矩形的对角线与相交于点，直线是线段的垂直平分线，分别交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求的长． 23．（9分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接交于点P．    (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)若，，求的长． 24．（10分）如图平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，直线过点，且，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时分别与直线相交于于，． (1)四边形的形状是________，当时，的值是________； (2)如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴时，求的值； (3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点和点，使？若存在，请求出点的坐标（用含m的代数式表示），若不存在，请说明理由． 25．（10分）已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， (1)若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； (2)若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； (3)已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的概念．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是2026． 故选：D． 2．某市在一次扶贫助残活动中，共捐款元，将用科学记数法表示为（   ） A．元B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，当该数的绝对值大于或等于10时，n为正整数；当该数绝对值小于1时，n为负整数． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的形式和定义是关键． 3．如图是一个放在水平桌面上的半球体，则该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 本题考查的是简单组合体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形． 【详解】解：从正面看，该几何体的主视图是为： ， 故选：A． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．面积相等的三角形全等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 【答案】D 【分析】本题考查了命题与真理，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，根据平行线的性质可判断A，根据全等三角形的性质可判断B，根据乘法法则可判断C，根据三角形外角定理可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故选项不符合题意； B、面积相等的三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意； C、若，则，原命题是假命题，故选项不符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 5．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象．由点，，在同一个函数图象上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而减小，即可求得答案． 【详解】解：∵点，，在同一个函数图象上， ∴点与点关于轴对称；故A、C选项不符合题意， ∵，在同一个函数图象上， ∴当时，随的增大而减小，故B选项符合题意，D选项不符合题意， 故选：B． 6．用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键． 利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径． 【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：， ∴底面周长为：， 解得：， 即：底面半径等于， 故选：C． 7．如图，等腰直角的直角顶点与坐标原点重合，分别过点作轴的垂线，垂足为，点A的坐标为，则线段的长为（   ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 8．如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）．    A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选D． 【点睛】考点：旋转的性质． 9．“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好得到不同馅的粽子的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好得到不同馅的粽子的结果有6种， ∴两人恰好得到不同馅的粽子的概率是． 故选：D． 10．定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题： （1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧 （2）函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（　　） A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 【答案】C 【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断． （2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论． 【详解】（1）∵P（a，b）在y=上， ∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧， ∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题． （2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax2+bx， ∴x=0时，y=0， ∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点， ∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：=， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． 12．已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了平均数与中位数，熟记相关定义和公式是解题的关键． 先利用平均数为7解出x的值，然后根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：∵数据7，5，，9，10的平均数是7， ∴，解得：， 把这些从小到大排列为：4，5，7，9，10， 则这组数据的中位数是：7． 故答案为7． 13．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，由题意得出，再结合反比例函数图象位于第一、三象限即可得出的值． 【详解】解：∵ 轴于点，的面积为2， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象位于第一、三象限， ∴， 故答案为：． 14．如图，是圆O的直径，垂直弦于点C，的延长线交圆O于点E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，由且过圆心，得到 再根据勾股定理即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 且过圆心， 在中， 在中， 在中，． 故答案为：． 15．如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，等式的性质，先根据中间数和日历的特征表示出其余8个数，然后根据方框内的9个数的和为，构建x、y之间的关系，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：其余八个数依次为，，，，，，，， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 16．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质、二次根式的化简，零次幂和特殊角三角函数值计算即可． 本题考查实数运算，熟练掌握运算法则以及特殊三角函数值是解题关键． 【详解】解： ． 18．（6分）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义．在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴（米）， 在中，∵， ∴（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度米． 20．（8分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．    (1)请将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】(1)见解析 (2)；． (3) 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，      （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． （3）列表如下， 甲乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（8分）长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设． (1)已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？ (2)已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？ 【答案】(1)租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台 (2)最多可以租赁10台大挖掘机 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设租赁大、小挖掘机分别为台、台，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设租赁大挖掘机台，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设租赁大、小挖掘机分别为台、台， 根据题意得：， 解得：， 故租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台． （2）解：设租赁大挖掘机台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可以租赁10台大挖掘机． 22．（9分）如图，矩形的对角线与相交于点，直线是线段的垂直平分线，分别交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形； （2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，在中，解直角三角形求得的长，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，理由如下： ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、线段垂直平分线的性质、矩形的性质等知识点，明确题意，找出所求问题需要的条件是解答本题的关键． 23．（9分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接交于点P．    (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)2 (3)4 【分析】（1）由直径所对的圆周角为90度可得，进而可得； （2）设，则．先证，推出，求出，根据勾股定理求出，则； （3）连接，作于点G，由垂径定理得，设，则，，代入，可得，再证，可得，最后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：对角线是的直径， ， ； （2）解： ， 设，则． ， ， ， 又 ， ， ，即， ， 解得或（舍）， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，作于点G，    由垂径定理得， 设，则，， ， ， 整理得， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正切函数的应用，等腰三角形的判定等知识点，能够综合应用上述知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 24．（10分）如图平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，直线过点，且，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时分别与直线相交于于，． (1)四边形的形状是________，当时，的值是________； (2)如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴时，求的值； (3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点和点，使？若存在，请求出点的坐标（用含m的代数式表示），若不存在，请说明理由． 【答案】(1)矩形，； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，求出，的长，可求解； （2）由勾股定理可求的长，可求，由锐角三角函数可求的长，由平行线分线段成比例可求的长，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵A的坐标为，点，，点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将四边形绕点O按顺时针方向旋转90度得到四边形， ∴点P与点C重合，四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， 故答案为：矩形，； （2）解：∵将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形， ∴ ∴, ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：当点P在线段上时，由（2）可知，当时，， ∴点； 当点P在线段的延长线时，如图，过点Q作，交的延长线于N，连接， ∴四边形是矩形， ∴ 若，则设 ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴点， 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，解本题的关键是根据勾股定理列方程求解． 25．（10分）已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， (1)若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； (2)若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； (3)已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 【答案】(1) (2)，详见解析； (3)，详见解析 【分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解； （2）根据“和谐抛物线”的定义，结合抛物线的“和谐抛物线”过点，可得，设，得出，进而即可得解， （3）根据“和谐抛物线”的定义，抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，求出点的坐标，根据矩形的性质可得，得出，将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，分别将，代入对应抛物线解析式，得， 解得； （2）由题意可得，抛物线：的“和谐抛物线”为：，将点代入中，得， ∴, ∴, 设， ∵ ∴，即， ∴， ∴时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）∵抛物线的“和谐抛物线”的解析式为， ∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，， ∴，, ∵, ∴， ∴, ∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是矩形时，， 如图，过点P作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴代入，得 ∴再将代入上式得，解得（舍去），（舍去），， ∴将代入得， ∴当四边形为矩形时，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、勾股定理和相似三角形的图象和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $