第07讲 认识三角形（知识详解+15典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 认识三角形（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形及相关元素的定义 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示法：用符号“△”表示三角形.如图4.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC， 读作“三角形ABC”. 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图4.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. 如图4.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC 的三条边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图4.1-1，∠A，∠B，∠C 是△ABC的三个内角. 【知识点02】三角形的内角和 1. 三角形三个内角的和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和的说明思路 思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图4.1-3 ①② . 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4.1-3 ③. 【知识点03】直角三角形的性质 1. 三角形按内角的大小分类 分类示意图如图4.1-4. 2. 直角三角形的表示 通常，我们用符号“Rt △ABC”表示 “直角三角形ABC”. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 3. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在△ABC中， 因为∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝90°. 【知识点04】三角形的三边关系 1. 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 如图4.1-6 . 2. 等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 3. 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形任意两边之和大于第三边 a＋b﹥c，b＋c﹥a，a＋c﹥b 两点之间线段最短 三角形任意两边之差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a，a－c﹤b (a﹥b﹥c) 【知识点05】三角形中三条重要的线段 1. 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 三角形的三条高所在的直线交于一点. 几何语言：如图4.1-7，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D. 线段AD是△ABC中BC边上的高. 2. 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC＝BC. 3. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC的角平分线； (2)AD平分∠BAC交BC于点D； (3)∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. 【题型一】三角形的识别与有关概念 例1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 变式1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例． 【答案】 三脚架、自行车车架、晾衣架等 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此举出在现实生活中的实例即可． 【详解】解：现实生活中三角形的实例包括：三脚架、自行车车架、晾衣架等． 【题型二】三角形的个数问题 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 _____个． 【答案】4 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 【答案】、、、、、、、 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此在图中找出所有的三角形即可． 【详解】解：图中的三角形有：、、、、、、、． 【题型三】与平行线有关的三角形内角和问题 例3．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 变式1．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【题型四】三角形的分类 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为：______三角形和不等边三角形；按角分为：______三角形、_____三角形和钝角三角形． 【答案】 等腰 锐角 直角 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）许多概念之间都是有关系的．三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系？画出表示它们之间关系的示意图． 【答案】见解析 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，解题的关键是掌握三角形之间的关系，会利用韦恩图来表示之间的关系． 【详解】解：如图． 【题型五】直角三角形的两个锐角互余 例5．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角的关系． 变式1．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【答案】(1)①② (2)A、D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余即可得解；②由①得，由邻补角的定义得到，最后根据平行线的性质即可得解； （2）根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：A，D． 【题型六】构成三角形的条件 例6．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，故A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：． 变式1．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知长度分别为和的两条线段．在长度为的线段中，哪些线段能和已知的两条线段构成三角形，哪些线段不能？ 【答案】 能和已知线段构成三角形的线段有：；不能构成三角形的线段有： 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键．根据已知长度分别为和的两条线段，则能和这两条线段构成三角形的线段长度必须大于且小于，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 则能和这两条线段构成三角形的线段长度必须大于且小于， 所以能和已知线段构成三角形的线段有：； 不能构成三角形的线段有：． 【题型七】确定第三边的取值范围 例7．（23-24七年级下·广西北海·期末）有一个三角形的两边长是3和5，则第三边可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，通过确定第三边的取值范围来选择符合条件的选项． 【详解】解：设第三边长为 三角形两边长为和 根据三角形三边关系，得 即 选项中只有在这个范围内 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为________． 【答案】5 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 变式2．（24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】、、、或 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为偶数， ∴第三边是，，，， 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 【题型八】等腰三角形的定义 例8．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形定义． 根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·山东济南·期末）四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 【答案】3 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 【答案】等腰三角形有3个，分别是，， 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键； 由在中，，根据等腰三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∴图中的等腰三角形有3个，分别是，，． 【题型九】画三角形的高 例9．（2026七年级下·全国·专题练习）下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是边上的高，故符合题意； C．是边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为_______. 【答案】/ 【知识点】画三角形的高 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示． (1)边上的高； (2)边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了与三角形有关的线段，熟练掌握三角形高的定义是解题关键． （1）过点B作，交延长线于点E，线段即为的边上的高； （1）过点A作于点D，线段即为的边上的高； 【详解】（1）解：如图，即为边上的高． ； （2）解：如图，即为边上的高． 【题型十】三角形角平分线的定义 例10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 变式2．（23-24七年级下·江西萍乡·月考）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 【题型十一】重心的概念 例11．（22-23七年级下·湖北·期末）有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（        ） A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】根据三角形重心的意义选择即可． 【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心， 由图可知点N为该三角形的重心． 故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键． 变式1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点O是的重心，则___________，___________，___________． 【答案】 / / / 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的重心的概念，熟练掌握三角形的重心的概念是解题的关键．根据三角形的重心的概念即可解答． 【详解】解：点O是的重心， 、、是的中线， ，，． 故答案为：；；． 【题型十二】三角形三边关系的应用 例12．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边满足“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”成为解题的关键． 首先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边长为偶数求得第三边的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得第三边长 又∵第三边是偶数，则第三边是． 则三角形的周长是． 故选B． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以为______（只填符合条件的一个即可）． 【答案】3（答案不唯一，还可以是5或7） 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行作答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于，而小于． 又因为三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，所以第三边应是奇数． 所以第三边为3或5或7． 故答案为：3（答案不唯一，还可以是5或7）． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有两根长度分别为和的木棒． (1)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (2)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 【答案】(1)不能，理由见解析； (2)不能，理由见解析； (3)大于且小于． 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系．三角形三边关系定理，第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和．据此求解即可． 【详解】（1）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （2）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形． 因为，，不满足三角形三边之间的关系； （3）解：，， 所以要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是大于且小于． 【题型十三】与三角形的高有关的计算问题 例13．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 变式1．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则_______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查四边形内角和的问题，熟练掌握三角形的高的性质是解题的关键．根据三角形的高的性质及四边形的内角和求解即可． 【详解】，H为高的交点， ， 在四边形内角和为， ， （对顶角相等）． 故答案为：． 变式2．（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【题型十四】利用网格求三角形面积 例14．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查三角形的面积，根据网格的特点，结合三角形面积计算公式找到底为1，高为2或底为2，高为1的即可得到答案． 【详解】解：C点所有的情况如图所示， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，，，． （1）面积为________； （2）在平面直角坐标系中，如果点在坐标轴的角平分线上，则的横纵坐标绝对值相等．即如果点位于坐标轴的角平分线上，则．已知点位于第一象限，且点在坐标轴的角平分线上，满足，且则点的坐标为________． 【答案】 8 【知识点】利用网格求三角形面积 【分析】本题考查坐标与图形，梯形的面积，三角形的面积，一元一次方程，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）分割法求出三角形的面积即可； （2）设，利用分割法列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）取，连接，如图所示： 面积为：； 故答案为：8； （2）设，，连接，如图所示： 由题意，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【知识点】画三角形的高、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 【题型十五】重心的有关性质 例15．（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 变式1．如图，AF和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE=CE；②O是△ABC的重心；③△ACF与△ABE面积相等；④过点C，点O的直线平分线段AB．其中正确的是_______（填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】重心的有关性质 【分析】利用三角形中线的定义可对①进行判断；根据三角形重心的定义可对②进行判断；利用三角形面积公式可对③进行判断；根据重心的定义可对④进行判断． 【详解】解：∵AF和BE是△ABC的中线， ∴AE=CE，CF=BF，所以①正确； 点O为△ABC的重心，所以②正确； ∵S△ACF=S△ABC，S△ABE=S△ABC， ∴S△ACF=S△ABE，所以③正确； ∵O点为△ABC的重心， ∴过点C、点O的直线平分线段AB，所以④正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 一、单选题 1．画出边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查画三角形的高．根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：画出边上的高为 故选：C． 2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线的性质以及三角形的面积和形状判断，解题的关键是熟练掌握这些性质并进行分析． 根据三角形的高、角平分线、中线的性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】是高， ， ，所以A说法正确； 是角平分线， ，所以B说法正确； 中， ， 锐角； 在和，和都小于， 因此一定是锐角三角形，所以C说法错误； 是中线， ， 和以和为底时，高相同， ，所以D说法正确． 故选：C． 3．已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，需牢记任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴，即， 选项A中1不在该范围内，故不可能 故选：A 4．已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（    ） A．13 B．13或17 C．17 D．12或16 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，3，7， ，故围不成三角形； 当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，7，7， ，能围成三角形； ∴它的周长为． 故选：C． 5．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 6．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 7．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 二、填空题 8．如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有___________个． 【答案】6 【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 【详解】解：于， 而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个， 以为高的三角形有6个． 故答案为：6． 9．一个三角形的两边长分别为1和2，第三边长为整数，则这个三角形的周长为_____． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是根据三角形三边关系确定第三边的取值范围． 先设第三边为，利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为整数确定的值，最后计算三角形周长． 【详解】解：设第三边的长为． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．可得， 即． ∵x为整数， ∴x的值为2． 那么这个三角形的周长为． 故答案为：5． 10．如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 【答案】71° 【分析】利用三角形内角和求出∠BAC，由角平分线的定义求出∠BAD，根据外角的性质可求∠ADC，进而求出∠EDC，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠E的度数． 【详解】解：∵∠B＝74°，∠ACB＝36°， ∴∠BAC=180°-74°-36°=70°． ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=35°． ∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=35°+74°=109°． ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDC=109°-90°=19°． ∵CE⊥BC， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°-19°=71°． 故答案为：71°． 【点睛】本题考查了三角形内角和，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，垂直的定义等知识，解题的关键是正确识图，分析清楚角与角之间的关系． 11．已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当为底时，三角形的三边为，，，由于，不能构成三角形； 当为底时，三角形的三边为，，，可以构成三角形，周长为：． 故答案为：． 12．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 13．的面积为，是边上的高，，，则______． 【答案】5或7 【分析】本题考查三角形的面积公式及应用，解题的关键是正确画出图形，根据题意分两种情况画出图形，运用三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时， 的面积为，是边上的高，， ， ， ； 如图，当是钝角三角形时， ， ． 故答案为：5或7． 14．如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有______个 【答案】5 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，则，再分，，和四种情况，求出对应情况下a的值，进而求出对应的周长即可得到答案． 【详解】解：∵a、b、c是一个三角形的三边长，， ∴， 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7或8， ∴此时该三角形的周长为或或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7， ∴此时该三角形的周长为或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值为6， ∴此时该三角形的周长为； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴此时不符合题意； 综上所述，该三角形的周长可以为13或14或15或16或17，共有5个不同的值， 故答案为：5． 15．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 三、解答题 16．如图，分别是的中线、角平分线和高线．请指出图中相等的角及相等的线段． 【答案】相等的角有，，相等的线段有． 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形的高，中线和角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴相等的角有，，相等的线段有． 17．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 18．如图方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B都在小正方形的顶点上． (1)画出，，使的面积为6，且点C在小正方形的顶点上； (2)画出钝角，，使的面积为4，且点D在小正方形的顶点上； (3)连接，直接写出四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形的面积公式，利用网格求三角形的面积等知识点． （1）在点的正上方取点使得，即可得到，的面积为； （2）在点右上方取点，使得的水平距离为1，铅垂距离为2，则，的面积为； （3）根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如上图，钝角即为所求； （3）解：四边形的面积为． 19．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 20．如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 【答案】(1)AC，BC (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查直角三角形中高线，利用面积公式求解高的方法，解题的关键是理解三角形的高的定义． （1）根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，判断即可； （2）根据三角形高的定义即可完成作图； （3）根据即可求出的值． 【详解】（1）解：图中边上的高为，边上的高为． 故答案为：，． （2）解：如图所示． （3）解：∵， ∴． 21．现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． (1)小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； (2)同学们一共可以组成_____________个三角形． 【答案】(1)或 (2)7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题的关键是： （1）分为腰和为腰两种情况讨论，先根据三角形三边关系验证三角形是否存在，然后根据三角形的周长公式求解即可； （2）根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解∶若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上，该三角形的周长为或； （2）解：设三角形的第三边长为， 根据题意，得， ∴， 又第三边长在内， ∴第三边的长为、、、、、、，共7条， ∴一共可以组成7个三角形， 故答案为：7． 22．有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为4和9 (1)请写出其中一个三角形的第三边长 ； (2)设组中最多有n个三角形，求n的值； (3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为奇数的概率． 【答案】(1) (2)的值为； (3)该三角形周长为奇数的概率是． 【分析】本题考查三角形三边的关系，概率的计算． （1）设三角形的第三边为，根据三角形的三边关系即可求解； （2）求出的所有整数值，即可得的值； （3）先求出该三角形周长为奇数的所有情况，再除以总个数即可． 【详解】（1）解：设三角形的第三边为， ∵每个三角形有两条边的长分别为和， ∴， ∴， ∴其中一个三角形的第三边的长可以为（答案不唯一）． 故答案为：． （2）解： ∵，它们的边长均为整数， ∴，，，，，，， ∴组中最多有个三角形， ∴． ∴的值为． （3）解：∵，为奇数， ∴当第三边长为，，，时，该三角形周长为奇数， ∴该三角形周长为奇数的概率是． 23．某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 【答案】(1)有三种规格的钢管可供选择 (2)元 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，有理数四则混合运算的应用，熟记：“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系即可求解； （2）根据等腰三角形定义以及三角形三边关系求出第三边长，进而可求解． 【详解】（1）解：已经购买的两根钢管的长度是和，根据三角形的任意两边之和大于第三边， ，即， 有三种规格的钢管可供选择； （2）三角形底座为等腰三角形， （不符合题意，舍去），， 总费用为（元）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 认识三角形（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形及相关元素的定义 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示法：用符号“△”表示三角形.如图4.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC， 读作“三角形ABC”. 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图4.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. 如图4.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC 的三条边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图4.1-1，∠A，∠B，∠C 是△ABC的三个内角. 【知识点02】三角形的内角和 1. 三角形三个内角的和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和的说明思路 思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角. 如图4.1-3 ①② . 思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角. 如图4.1-3 ③. 【知识点03】直角三角形的性质 1. 三角形按内角的大小分类 分类示意图如图4.1-4. 2. 直角三角形的表示 通常，我们用符号“Rt △ABC”表示 “直角三角形ABC”. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 3. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在△ABC中， 因为∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝90°. 【知识点04】三角形的三边关系 1. 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 如图4.1-6 . 2. 等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 3. 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形任意两边之和大于第三边 a＋b﹥c，b＋c﹥a，a＋c﹥b 两点之间线段最短 三角形任意两边之差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a，a－c﹤b (a﹥b﹥c) 【知识点05】三角形中三条重要的线段 1. 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 三角形的三条高所在的直线交于一点. 几何语言：如图4.1-7，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D. 线段AD是△ABC中BC边上的高. 2. 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC＝BC. 3. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点. 几何语言：如图4.1-8， (1)AD是△ABC的角平分线； (2)AD平分∠BAC交BC于点D； (3)∠BAD＝∠CAD＝∠BAC. 【题型一】三角形的识别与有关概念 例1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例． 【题型二】三角形的个数问题 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 变式1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 _____个． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 【题型三】与平行线有关的三角形内角和问题 例3．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 变式1．如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为___． 【题型四】三角形的分类 例4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为：______三角形和不等边三角形；按角分为：______三角形、_____三角形和钝角三角形． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）许多概念之间都是有关系的．三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系？画出表示它们之间关系的示意图． 【题型五】直角三角形的两个锐角互余 例5．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 变式1．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【题型六】构成三角形的条件 例6．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知长度分别为和的两条线段．在长度为的线段中，哪些线段能和已知的两条线段构成三角形，哪些线段不能？ 【题型七】确定第三边的取值范围 例7．（23-24七年级下·广西北海·期末）有一个三角形的两边长是3和5，则第三边可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为________． 变式2．（24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【题型八】等腰三角形的定义 例8．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 变式1．（24-25七年级下·山东济南·期末）四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 【题型九】画三角形的高 例9．（2026七年级下·全国·专题练习）下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为_______. 变式2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示． (1)边上的高； (2)边上的高． 【题型十】三角形角平分线的定义 例10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 变式2．（23-24七年级下·江西萍乡·月考）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【题型十一】重心的概念 例11．（22-23七年级下·湖北·期末）有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（        ） A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点 变式1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点O是的重心，则___________，___________，___________． 【题型十二】三角形三边关系的应用 例12．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以为______（只填符合条件的一个即可）． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有两根长度分别为和的木棒． (1)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (2)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？ (3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？ 【题型十三】与三角形的高有关的计算问题 例13．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则_______． 变式2．（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【题型十四】利用网格求三角形面积 例14．（24-25七年级下·重庆长寿·期中）如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，，，． （1）面积为________； （2）在平面直角坐标系中，如果点在坐标轴的角平分线上，则的横纵坐标绝对值相等．即如果点位于坐标轴的角平分线上，则．已知点位于第一象限，且点在坐标轴的角平分线上，满足，且则点的坐标为________． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【题型十五】重心的有关性质 例15．（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 变式1．如图，AF和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE=CE；②O是△ABC的重心；③△ACF与△ABE面积相等；④过点C，点O的直线平分线段AB．其中正确的是_______（填序号）． 一、单选题 1．画出边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C．不一定是锐角三角形 D． 3．已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（    ） A．13 B．13或17 C．17 D．12或16 5．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 二、填空题 8．如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有___________个． 9．一个三角形的两边长分别为1和2，第三边长为整数，则这个三角形的周长为_____． 10．如图，线段AD为△ABC的角平分线，DE⊥AD，过点C作CE⊥BC交直线DE于点E，若∠B＝74°，∠ACB＝36°，那么∠E的度数为____． 11．已知的两边长分别为和，且是等腰三角形，则的周长为______． 12．如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为____________. 13．的面积为，是边上的高，，，则______． 14．如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有______个 15．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 三、解答题 16．如图，分别是的中线、角平分线和高线．请指出图中相等的角及相等的线段． 17．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 18．如图方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B都在小正方形的顶点上． (1)画出，，使的面积为6，且点C在小正方形的顶点上； (2)画出钝角，，使的面积为4，且点D在小正方形的顶点上； (3)连接，直接写出四边形的面积为______． 19．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 20．如图，在中，． (1)图中边BC上的高为____________，边AC上的高为____________． (2)画出边AB上的高CD． (3)若，，，求边AB上的高CD的长． 21．现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． (1)小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； (2)同学们一共可以组成_____________个三角形． 22．有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为4和9 (1)请写出其中一个三角形的第三边长 ； (2)设组中最多有n个三角形，求n的值； (3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为奇数的概率． 23．某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $