精品解析：江西省九江市永修县第一中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题

永修一中2026春季学期高一数学开学考试 命题人：王少俊 2026.03.01 一、单选题（本题共8小题，共40分） 1. 下列函数相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项的正误. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，即函数不相等； B：的定义域为，的定义域为R，即函数不相等； C：的定义域为，的定义域为，即函数不相等； D：、的定义域和对应法则都相等，即函数相等. 故选：D 2. 若正实数满足，则的（ ） A. 最大值为9 B. 最小值为9 C. 最大值为8 D. 最小值为8 【答案】B 【解析】 【分析】由1的妙用结合基本不等式可得. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为9，无最大值. 故选：B 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可 详解】解：令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 在定义域内为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选：C 5. 已知函数图象关于轴对称，且在上单调递减，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性转化、利用指数函数和对数函数单调性比较大小，并与1进行大小比较，最后利用函数在上单调递减来作出判断即可. 【详解】由，得， 由对数函数的单调性可知：， 由换底公式可得：，则， 再由指数函数的单调性可知：， 因此， 而函数在上单调递减， 所以有， 即． 故选：D. 6. 甲乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合独立事件概率的乘法公式求出密码未被成功破译的概率，进而根据对立事件的概率和为1即可求出结果. 【详解】结合独立事件概率的乘法公式可得密码未被成功破译的概率， 则根据对立事件的概率和为1，可知密码被成功破译的概率为, 故选：B. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式结构特征可构造函数，再由指数函数单调性可得，可判断出选项. 【详解】由得， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ，则，故， ，则A正确，B错误； 与1的大小不确定，故C，D无法确定． 8. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案. 【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AB； 根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除C. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件相互独立，则事件也互斥 B. 若事件相互独立，则事件不互斥 C. 若事件互斥，则事件也相互独立 D. 若事件互斥，则事件不相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件与独立事件的概率公式，对各选项逐一分析判断即可. 【详解】对于AB，若事件相互独立，则， 所以事件不互斥，故A错误，B正确； 对于CD，若事件互斥，则，又， 所以，则事件不相互独立，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数和的图象关于直线对称 B. 若函数，则函数最小值为0 C. 若函数在上单调递减，则 D. 若函数，，都有 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点对称可判断A；换元法可判断B；根据单调性求出的范围结合单调性可判断C；利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，设为函数的图象上关于直线对称的函数图象上一点， 则的图象经过关于直线对称的点， 代入得的图象关于直线对称的函数为，故A错误； 对于B，，可得， 则函数的最小值为0，故B正确； 对于C，因为函数在上单调递减，则， 所以，，可得，故C正确； 对于D，因为， ，当且仅当等号成立，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】画出的图像，要使方程有六个相异实根，即使在上有两个相异实根，再由一元二次函数根的分布列出不等式组，即可求出答案. 【详解】的图像如图所示： 则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根; 则解得：. 故选：BD. 【点睛】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图像结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 函数的定义域为___． 【答案】且 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出满足的不等式，即可求得答案. 【详解】要使函数函数有意义， 需满足，解得且， 故函数的定义域为且， 故答案：且 13. 已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数定义得，解得或，再分别代入检验函数的单调性，即可得解. 【详解】由幂函数定义得，解得或， 当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减； 当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去. 综上，的取值为. 故答案为：. 14. 已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________. 【答案】0.8## 【解析】 【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可. 【详解】由. 故答案为：0.8 四、解答题（本题共3小题，共48分） 15. 设集合，． （1）若，求； （2）当时，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，解分式不等式和一元二次不等式表示出集合、,再进行并集运算. （2）根据，通过十字相乘分解因式，解出集合，再结合数轴确定参数取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以， ； 【小问2详解】 ，且当时，， ， 又“”是“”的必要不充分条件， ，解得， 故实数的取值范围为． 16 化简与计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知是定义在R上的奇函数，且. （1）求实数a，b的值； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质以及列方程求解； （2）先分析的单调性，再利用单调性解不等式. 【小问1详解】 由题意,解得，则， 经检验：，故，. 【小问2详解】 设R上任意实数，且， 则， 所以在R上是增函数, 则，故. 解得. 18. 开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； （2）若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 【答案】（1）；众数为87.5；中位数为85； （2）． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，所有小矩形的面积之和为1，可解得的值，由中位数的定义，找到频率之和为的点，众数估计值为最高小矩形的中点； （2）首先根据两个分组的人数之比，采用分层抽样的方法，得到每个分组抽取的人数，则采用列举法，罗列所有情况和符合题意的情况，根据古典概型的概率计算公式得到答案. 【小问1详解】 ∵第三组的频率为， ， 众数为， 又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为0.200， ∴前三组的频率之和为， ∴这200名业主评分的中位数为85； 【小问2详解】 由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为， ∴采用分层抽样法抽取5人，评分在的有3人，评分在有2人， 设评分在的3人分别为，，；评分在的2人分别为，， 从5人中任选2人的所有可能情况共10种：，，，，，，，，，， 其中选取的2人中至少有1人的评分的情况有：，，，，，，共7种． 故这2人中至少有1人的评分在的概率为． 19. 已知函数，. （1）当时，判断函数的奇偶性并证明； （2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）存在符合题意． 【解析】 【分析】（1）当时，函数为偶函数，结合对数的运算性质利用偶函数的定义证明即可； （2）假设存在直线满足题意，则，代入后利用对数的运算性质化简得，从而可求得符合题意． 【详解】解：（1）当时，，函数为偶函数，证明如下： ∴， 又函数的定义域为， ∴函数为偶函数； （2）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称， 则， ∴， 即，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵且， ∴， 故存在，使得函数的图像关于直线对称． 【点睛】本题主要考查对数型复合函数的奇偶性与对称性，考查对数的运算性质，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永修一中2026春季学期高一数学开学考试 命题人：王少俊 2026.03.01 一、单选题（本题共8小题，共40分） 1. 下列函数相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 若正实数满足，则的（ ） A. 最大值9 B. 最小值为9 C. 最大值为8 D. 最小值为8 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数图象关于轴对称，且在上单调递减，则，，大小关系是（ ） A. B. C D. 6. 甲乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A B. C. D. 8. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件相互独立，则事件也互斥 B. 若事件相互独立，则事件不互斥 C. 若事件互斥，则事件也相互独立 D. 若事件互斥，则事件不相互独立 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数和的图象关于直线对称 B. 若函数，则函数的最小值为0 C. 若函数在上单调递减，则 D. 若函数，，都有 11. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 函数的定义域为___． 13. 已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为______. 14. 已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________. 四、解答题（本题共3小题，共48分） 15. 设集合，． （1）若，求； （2）当时，若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 化简与计算 （1）； （2）． 17. 已知是定义在R上的奇函数，且. （1）求实数a，b的值； （2）若，求实数m的取值范围. 18. 开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； （2）若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 19. 已知函数，. （1）当时，判断函数的奇偶性并证明； （2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $