精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试题

2025-2026学年度下学期九年级期初数学测试 一、选择题（本题共30小题，每小题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形，故选项错误； B.不是中心对称图形，故选项正确； C.是中心对称图形，故选项错误； D.是中心对称图形，故选项错误． 故选：B． 2. 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成其主视图和左视图如图所示则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由主视图、俯视图可知，俯视图最多可能为2×3的长方形，再在俯视图上各个位置，摆放小立方体，即可得到a和b的值． 【详解】由主视图、左视图可知，俯视图最多可能为2×3的长方形， 在相应位置摆放小立方体，直至最少，如图所示： ∴， 在相应位置摆放小立方体，直至最多，如图所示： ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的意义和画法，主视图反映的是几何体长与高的关系、左视图反映宽与高的关系，画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”． 3. 如图，已知OB，OD是的半径，BC、CD、DA是的弦，连接AB，若，则度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的对角互补求出即可． 【详解】解：∵， ∴∠A=∠BOD=50°， ∴∠BCD=180°-50°=130°， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的对角互补． 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式得到，解得即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握：①，一元二次方程有两个不相等的实数根；②，一元二次方程有两个相等的实数根；③，一元二次方程无实数根；是解决问题的关键． 5. 点F在ABCD的边AD上，BA、CF的延长线交于点E，若，则四边形ABCF与的面积之比是（ ） A. 9：4 B. 8：3 C. 3：2 D. 2：1 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，．根据，AD∥BC，，，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，． 在平行四边形ABCD中， ，AD∥BC， ∴，， ∴，， ∴． ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6. 已知二次函数，当时，的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，0 B. 0， C. ， D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给二次函数顶点式，确定图像开口向上，对称轴为，当时，的值随着的增大而增大，从而确定当时，的最小值是；当时，的最大值是，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，的值随着的增大而增大， 当时，的最小值是；当时，的最大值是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质、求二次函数最值，熟练掌握二次函数图像与性质，灵活运用二次函数增减性求最值是解决问题的关键． 7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC，由垂径定理得CD=2CE，再由勾股定理求出CE，即可得出答案． 【详解】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BE=5，AE=1， ∴CD=2CE，∠OEC=90°，AB=AE+BE=6， ∴OC=OA=3， ∴OE=OA-AE=3-1=2， 在Rt△COE中，由勾股定理得：， ∴CD=2CE=， 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 8. 如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 即， 解得． 9. 如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明是等腰直角三角形，然后根据正弦的定义确定答案即可． 【详解】解：连接， 由题意可得，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判与性质以及三角形函数等知识，证明是等腰直角三角形是解题关键． 10. 已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②方程的两根是；③；④函数的最大值是．其中正确的是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口方向确定a，再根据对称轴的位置可知b，然后根据抛物线与y轴交点确定c，即可解答①，③；接下来根据抛物线与x轴的交点坐标解答②；最后根据对称轴确定最大值解答④即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵对称轴， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，则①正确，③不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， ∴方程的两个根是， 则②正确； 由抛物线开口向下， 可知当时，． ∵， ∴，则④正确． 所以正确的有①②④，共3个． 11. 如图，双曲线经过点与点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，把点A（2，4）代入双曲线确定k的值，再把点B（4，m）代入双曲线，确定点B的坐标，根据S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC−S△BOD和三角形的面积公式与梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， ∵双曲线经过点A（2，4）， ∴k＝2×4＝8， 而点B（4，m）在上， ∴4m＝8，解得m＝2， 即B点坐标为（4，2）， ∴S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC－S△BOD＝OC•AC＋×（AC＋BD）×CD−OD×BD＝×2×4＋×（4＋2）×（4−2）−×4×2＝4＋6－4＝6． 故选：D． 【点睛】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了利用坐标表示线段的长以及利用规则的几何图形的面积的和差计算不规则的图形面积． 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 12. 将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是_____． 【答案】y=﹣x2﹣4x﹣4 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y=-（x+2）2，即y=-x2-4x-4． 故答案为y=-x2-4x-4． 13. 布袋里有6个大小相同的乒乓球，其中2个为红色，1个为白色，3个为黄色，搅匀后从中随机摸出一个球是红色的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可求解. 【详解】解：摸出红色的概率是：. 故答案为：. 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 14. 若一个圆锥的底面积为4πcm2，高为4cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角为_____． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数． 【详解】解：∵圆锥的底面积为4πcm2， ∴圆锥的底面半径为2cm， ∴底面周长为4π， ∵高为4cm， ∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm， 设侧面展开图的圆心角是n°， 根据题意得：＝4π， 解得：n＝120， 故答案为120°． 【点睛】本题是对圆锥及扇形的综合考查，熟练掌握圆锥及扇形圆心角知识是解决本题的关键. 15. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】-1或2或1 【解析】 【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1 16. 如图，在矩形中，，E 为 中点，点 F 为 上一动点，将 沿所在直线折叠到 的位置，连接 ，则的最小值______． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，然后根据勾股定理求得，当点G在上时，此时的值最小，则此题可解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴． ∵点E是的中点，， ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴当点G在上时，此时的值最小， ∴． 17. 如图，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④、…，则三角形⑬的直角顶点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再求出的周长，再研究图形旋转的规律，每三次旋转为一个周期，相当于平移一个三角形的周长 12 个单位，利用 13除以 3 求余数 1 ，说明三个循环直角顶点回到坐标轴上，第 13 次绕直角旋转未动即可求出． 【详解】解：， ∴，， ， ， 由原图到图③，旋转一个周期，相当于向右平移了 12 个单位长度，每三个图旋转一个周期直角回到坐标轴上， ， 即经过个完整循环后，第⑬个三角形是下一个循环的第一个三角形，它的直角顶点与第个三角形的直角顶点重合， 三角形④的直角顶点的坐标为，像这样平移四次直角顶点是，即， 则三角形⑬的直角顶点的坐标为． 三、解答题（本大题共69分） 18. 计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（）﹣2+ ． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式=1+3-﹣4+3 =． 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． （2）利用因式分解法解方程； 【小问1详解】 解：移项，得， 因式分解，得，即， 或， 解得； 【小问2详解】 解： 因式分解，得， 或， 解得． 20. 如图，在中， 于 D，如果 ，，，E 为的中点，那么 的值为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据于，，，求得，由勾股定理得、，再利用直角三角形的性质求得，从而利用求解． 【详解】解： 于 D，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ． 21. 如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：如图， 在中，，， ，， 又，且 ， ， ； 【小问2详解】 解： ， 即， ， ， ， 又， ， 在中， 22. 如图，BD是⊙O的直径，A是延长线上的一点，点E在⊙O上，，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E为的中点． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AD＝4，，求BC的长． 【答案】（1）见解析; （2） 【解析】 【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等及等腰三角形的性质可得∠OEB＝∠CBE，从而OE∥BC，再由BC⊥AC可证得DE⊥AC，根据切线的判定定理可得答案； （2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOE中，由勾股定理可得关于x的方程，解得x的值，则可求得AB的长，由OE∥BC，可得△AOE∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式，解出BC的值即可． 【小问1详解】 解：证明：连接OE， ∵E是的中点， ∴∠OBE＝∠CBE． ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE． ∴∠OEB＝∠CBE． ∴OE∥BC． ∵BC⊥AC， ∴∠C＝90°． ∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴DE⊥AC． 又∵OE为半圆O的半径， ∴AC是⊙O的切线； 【小问2详解】 设⊙O的半径为x， ∵OE⊥AC，AD＝4，， ∴由勾股定理得：x2（x+4）2， 解得：x＝2． ∴AB＝AD+OD+OB＝4+2+2＝8． ∵OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC． ∴， ∴， ∴BC． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理在计算中的应用及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，，，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系； （2）如图2，当点P在CB长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若，，请直接写出BQ的长． 【答案】（1）CP＝BQ （2）成立，理由见解析 （3）BQ＝ 【解析】 【分析】（1）先判断出△POQ是等边三角形，进而判断出∠COP=∠BOQ，进而判断出△COP≌△BOQ，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）先求出BC，进而利用三角形中位线求出CH，OH，再利用等腰直角三角形的性质得出PH，同（1）的方法得出BQ=CP，即可得出结论． 【小问1详解】 解：CP=BQ， 理由：如图1，连接OQ， 由旋转知，PQ=OP，∠OPQ=60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP=OQ，∠POQ=60°， 在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC=OA=OB， ∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ， ∴∠COP=∠BOQ， 在△COP和△BOQ中， ， ∴△COP≌△BOQ（SAS）； 【小问2详解】 解：CP=BQ， 理由：如图2，连接OQ， 由旋转知，PQ=OP，∠OPQ=60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP=OQ，∠POQ=60°， 在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC=OA=OB， ∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ， ∴∠COP=∠BOQ， 在△COP和△BOQ中， ， ∴△COP≌△BOQ（SAS）， ∴CP=BQ； 【小问3详解】 解：BQ＝． 在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝， ∴BC＝AC·tanA＝， 如图③，过点O作OH⊥BC于点H， ∴∠OHB＝90°＝∠BCA， ∴OH∥AC， ∵O是AB中点， ∴CH＝BC，OH＝AC＝， ∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°， ∴∠BPO＝∠POH， ∴PH＝OH＝， ∴CP＝PH－CH＝－＝， 连接OQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝． 【点睛】本题考查了几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大． （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为；直线的解析式为， （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式； （2）设点的坐标为，连接，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． （3）首先利用勾股定理求得，，的长，然后分别从点为直角顶点、点为直角顶点、点为直角顶点去分析求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ，解得， ∴抛物线解析式为； 令，解得， ∴． 由直线经过两点，得 ，解得， ∴直线解析式为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为，连接， 因为对称轴为，， 所以，故， 因为，故， ， ∴当时，的面积最大，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：设， 又，， ，，， ①若点为直角顶点，则， 即：，解得：； ②若点为直角顶点，则， 即：，解得：， ③若点为直角顶点，则， 即：， 解得： ， ； 综上所述的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期九年级期初数学测试 一、选择题（本题共30小题，每小题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成其主视图和左视图如图所示则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，已知OB，OD是的半径，BC、CD、DA是的弦，连接AB，若，则度数为（ ） A. 100° B. 120° C. 130° D. 140° 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 点F在ABCD的边AD上，BA、CF的延长线交于点E，若，则四边形ABCF与的面积之比是（ ） A. 9：4 B. 8：3 C. 3：2 D. 2：1 6. 已知二次函数，当时，的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，0 B. 0， C. ， D. 0， 7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 8. 如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 10. 已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②方程的两根是；③；④函数的最大值是．其中正确的是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 11. 如图，双曲线经过点与点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 12. 将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是_____． 13. 布袋里有6个大小相同的乒乓球，其中2个为红色，1个为白色，3个为黄色，搅匀后从中随机摸出一个球是红色的概率是_____． 14. 若一个圆锥的底面积为4πcm2，高为4cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角为_____． 15. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 16. 如图，在矩形中，，E 为 中点，点 F 为 上一动点，将 沿所在直线折叠到 的位置，连接 ，则的最小值______． 17. 如图，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④、…，则三角形⑬的直角顶点的坐标为______． 三、解答题（本大题共69分） 18. 计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（）﹣2+ ． 19. 解方程 （1） （2） 20. 如图，在中， 于 D，如果 ，，，E 为的中点，那么 的值为多少？ 21. 如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，BD是⊙O的直径，A是延长线上的一点，点E在⊙O上，，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E为的中点． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AD＝4，，求BC的长． 23. 如图，在Rt△ABC中，，，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系； （2）如图2，当点P在CB长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若，，请直接写出BQ的长． 24. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大． （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $