精品解析：广东深圳市龙岗区实验学校2025-2026学年第二学期九年级学情自测数学试卷

2025-2026学年第二学期龙岗区实验学校开学学情反馈 九年级数学学科 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 3. 如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、分别切于、两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 8. 如图，的顶点B在反比例函数的图象上，边在x轴上，已知，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则______ 10. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________． 11. 一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 12. 如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________． 13. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′FCD时，的值为__________． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 计算：． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 17. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 18. 项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入．边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆． 活动任务一 若设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）；且的取值范围是______； 活动任务二 若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽． 活动任务三 求这块菜地的最大面积？ 19. 定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． （1）请你写出的其中一个互倒一次函数___________； （2）如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； （3）如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 20. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期龙岗区实验学校开学学情反馈 九年级数学学科 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 求出根的判别式的值，再根据判别式的意义即可判断根的情况． 【详解】解：方程的判别式为， 则方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的正切值求出，再求出即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； 根据反比例函数的性质，函数图象上需满足，其中，逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴， A、，所以，点在函数图象上，故本选项符合题意； B、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； C、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； D、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解：∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 6. 如图，、分别切于、两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质与圆周角定理，利用切线性质推导圆心角是解题关键．由切线性质得，结合求出圆心角，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， 、与相切， ， 又， ， 又∵ ． 故选：． 7. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数的图象得出有用的信息是解题的关键． 根据图象得到，，再结合二次函数在x轴上方下方的位置，进而判断每一个选项的正误即可． 【详解】解：根据图象可知：抛物线开口向上，∴， ∵对称轴为直线，∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴，∴， 对于A：∵，，，∴，∴不符合题意； 对于B：当时，，根据图象可知，当时，，∴，∴符合题意； 对于C：∵对称轴为直线，∴，∴，∴不符合题意； 对于D：根据图象可知，当时，存在一段，∴不符合题意； 故选：B． 8. 如图，的顶点B在反比例函数的图象上，边在x轴上，已知，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式求出B点坐标为，解直角三角形得出，，，根据，得出，求出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴B点纵坐标为4， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴当时，，即B点坐标为， ∴， 在中，，，， ∴，，， 设与y轴交于点D， ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得：， ∴阴影部分的面积是：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则______ 【答案】 1 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 10. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，通过计算新顶点坐标得到新解析式． 【详解】解：原抛物线向上平移3个单位长度，得到： ； 再向右平移5个单位长度，用替换，得到： ． 故答案为：． 11. 一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，即概率为，根据概率公式计算总球数，再求白球数n，即可作答． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为，红球有4个， 因此袋中球的总个数约为（个）， ∴袋中白球的个数． 故答案为：16． 12. 如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 由题意得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键． 13. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′FCD时，的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，∴∠D=180°﹣∠A=120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，∴∠CBM=∠M，∴BC=CM，设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°= ，∴x= y，∴ =．故答案为． 点睛：此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用． 三、解答题（共7题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质、、绝对值的性质将各项进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）提公因式法因式分解解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查因式分解法以及公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及熟记求根公式． 16. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 17. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠OCA ∵∠OAC＝∠DAC ∴∠DAC＝∠OCA ∵AD⊥CE ∴ ∴· 即 ∵C为⊙O上一点 ∴CE是 的切线· （2）9 【解析】 【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题； （2）证明△CDA∽△BCA，利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 ． ∵AB是的直径， ， ， ∵∠BAC＝∠CAD ∴△CDA∽△BCA ∴ ∴AC= AB=． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 18. 项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入．边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆． 活动任务一 若设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）；且的取值范围是______； 活动任务二 若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽． 活动任务三 求这块菜地的最大面积？ 【答案】任务一：，；任务二：米；任务三：平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意列代数式，根据的最大长度为列不等式求出的取值范围即可； （2）根据面积为平方米，结合、的长，列一元二次方程，求出的值即可； （3）设面积为，根据、的长，得出关于的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值即可． 【详解】解：任务一：设菜地的宽为米，则米， ∵边上设计了两个宽度为米的小门，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆． ∴米， ∵墙最大可利用长度为米，， ∴， 解得：． 任务二：∵，为米，围成的菜地面积为平方米， ∴， 整理得，， 解得：，， ∵， ∴， ∴此时的宽为米． 任务三：设这块菜地的面积， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为（平方米）， ∴这块菜地的最大面积为平方米． 【点睛】本题是一元二次方程与二次函数的综合题，求面积的最大值时，要注意的取值范围． 19. 定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． （1）请你写出的其中一个互倒一次函数___________； （2）如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； （3）如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2）见解析； （3）是定值，为，理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据“互倒一次函数”定义即可求解； （）设，求得，，所以，，则，，所以，又，则； （）由得，当时，，所以与轴相交于点，由，解得：，得，则，，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：由定义可得，的一个互倒一次函数为， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：设， ∵轴于点， ∴， ∵点在图像上，点在图像上， ∴点纵坐标为，点纵坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：是定值，为，理由： 由得，当时，， ∴与轴相交于点， 由，解得：， ∴， ∴，， ∴． 20. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $