精品解析：北京十一晋元中学2025-2026学年下学期九年级第十一学段开学活动试卷

北京十一晋元中学2025-2026学年度初三年级第十一学段开学活动 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上实数大小的比较，实数的运算法则，绝对值的意义．由图得，利用实数加法和乘法运算法则及绝对值的意义即可完成． 【详解】解:由图知：， ∴，，，， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 3. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了． 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 5. 根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是根据小数点位置的移动确定指数． 利用科学记数法的一般式求解．科学记数法的一般式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：A． 6. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可． 【详解】设多边形的边数为n，根据题意 （n-2）•180°=360°， 解得n=4． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°． 7. 已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先整理方程得到x关于k的表达式. 再根据x为正整数、k为整数，确定k的可能取值． 【详解】，解得， ∵为正整数，∴， ∴， 又∵为正整数，k为整数， ∴是4的正因数， ∴或或， ∴或或，共3个符合条件的整数值． 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】连接、、，根据旋转和等边三角形的性质可证明，得到，，进而证明，得到，即可判断①，根据三角形外接圆的性质可判断②，连接，当时，、、共线，、、共线，，求出，，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据勾股定理求出，，即可判断③． 【详解】解：如图，连接、、， 是等边三角形， ，， 由旋转可得：，，，， ，，即， ， ，， ，即， ， ， ， 对任意都有是等边三角形，故①正确； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，的外接圆的圆心到点，，的距离相等，且外接圆的圆心是唯一的， 存在唯一一点（的外接圆的圆心）到点，，的距离相等，故②正确； 如下图，连接，当时，、、共线，、、共线，， ，， ， ， ， ， ， 的周长是，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______________ ． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则且， 解得：且， 故答案为：且． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 11. 方程的解为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先去分母，将方程变形为一元二次方程，再求解并验根即可． 【详解】两边同时乘以 ，得 ， 即 ， 分解因式，得， 解得：，， 经检验，，时，， ∴方程的解为或． 12. 如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则___________． 【答案】50 【解析】 【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数 【详解】解：连接 ∵是的直径， ∴． 在中，∵，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴． ． 故答案为：50． 13. 如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．由过点作轴于点，利用反比例函数的几何意义表示出三角形与三角形面积，由三角形面积减去三角形面积表示出三角形面积，将已知三角形面积代入求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点， ，， ，即， 解得：， 故答案为：1． 14. 如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行）以及相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）．解题的关键在于利用平行四边形对边平行的性质找出相似三角形，准确求出相似比，再运用相似三角形面积比与相似比的关系计算所求三角形的面积．本题围绕平行四边形展开，已知和的面积，要求的面积．需要利用平行四边形对边平行的性质，找出相似三角形，再依据相似三角形的性质来建立面积关系求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，即． ∴，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ． ∵． ∴ ． ∴ ． 即， ∴ 故答案为：． 15. 已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 _____． 【答案】m≤1 【解析】 【分析】所给的一元二次方程中二次项的系数时一个字母，要根据字母的取值进行讨论，当m=0，m<0，m>0三种不同的情况进行讨论，得到结果． 【详解】解：①当m=0时，y=-3x+1．令y=0，则-3x+1=0， 得． ∵， ∴； ②当m<0时，令x=0，则y=1，即当二次函数的y=mx2+（m-3）x+1图象向下时，该抛物线与y轴交于正半轴， 所以方程mx2+（m-3）x+1=0有一正一负两个根，符合题意； ③当m>0，则， 解得，0<m≤1． 综上所述，得m≤1． 故答案为：m≤1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要分类讨论，以防漏解或错解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下： ①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有三个．其中正确的结论有___________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据函数图象可判断①②，根据平移前函数图象与x轴的交点坐标，以及平移方式可求出平移后的函数图象与x轴的交点坐标，据此可判断③；求出点P在直线的图象上，根据函数图象可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，该函数的图象在x轴上方， ∴当时，或，故①错误； 由函数图象可知，当时，有最小值，故②正确； ∵该函数的图象与x轴交于点， ∴将该函数图象向右平移1个单位长度后得到的函数图象与x轴交于点， 将该函数图象向右平移3个单位长度后得到的函数图象与x轴交于点， ∴将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点，故③正确； 令，， ∴， ∴点在直线的图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④正确； ∴正确的有②③④． 三．解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊三角函数的混合运算，解答此题的关键是熟练掌握运算法则，原式根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并； 【详解】解：原式 18. 解不等式组：. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成是解题的关键． 先把所求式子化简得到，再得出，由此即可得到答案． 【详解】解：原式 ∵， ∴． ∴原式． 20. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为； 【解析】 【分析】（1）在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，结合的性质和是角平分线的条件，推出，进而得到，由此证得且，先判定四边形是平行四边形，再结合邻边相等，证得平行四边形是菱形； （2）在中，由求出，进而得到，，结合证得是等边三角形，求出，再由角平分线的性质得，结合菱形的性质，证得是等边三角形，得到、，再结合、求出，由三角形内角和定理证得是直角三角形，最后利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 由（1）知四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴为直角三角形， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理得． 21. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】（1） （2）的最小值是； 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ； 【小问2详解】 解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 22. 列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【答案】 解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得， 解得， 这一次技术改进后，A类物质排放量为， 因为， 所以不符合“标准”． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据等量关系列出二元一次方程组，求出解，再判断即可． 【详解】略 23. 为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩(满分分，6分及6分以上为及格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，，9，8，5，8，7，6，7，9，7，，6 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7 八年级 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）在上述表格中：___________，___________； （2）根据上述数据，请写出掌握垃圾分类知识的情况较好的年级并给出理由______________________(写出一条理由即可)； （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 【答案】（1），； （2）八年级掌握垃圾分类知识的情况较好，理由：八年级测试成绩的众数为8，高于七年级的众数答案不唯一，合理即可)； （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，找出七年级成绩中出现次数最多的数即可得到；根据中位数的定义，将八年级成绩从小到大排列后，取中间两个数的平均数得到． （2）从众数、中位数、8分及以上人数占比等统计量入手，比较两个年级的数值大小，选择一个合理的统计量作为理由说明八年级情况更好． （3）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，再找出包含甲同学的结果数，根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：∵七年级名学生的测试成绩中，数字7出现的次数最多， ∴七年级成绩的众数； 对于八年级的成绩，将名学生的成绩从小到大排列后，第个数是7，第个数是8， ∴八年级成绩的中位数． 【小问2详解】 解：八年级掌握垃圾分类知识的情况较好，理由：八年级测试成绩的众数为8，高于七年级的众数(或八年级8分及以上人数所占百分比为，高于七年级的；或八年级测试成绩的中位数为，高于七年级的7，任选其一即可) 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) — (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) — (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) — 由表格可知，所有等可能的结果共有种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种，分别为(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，甲)、(丙，甲)、(丁，甲)； 可得． 24. 如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，过点作的垂线，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据为的切线得到，而，结合对顶角以及三角形内角和定理即可求证； （2）连接，由切线长定理得，则，，可求，再导角证明，则，可证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，切线长定理，圆周角定理，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识点，掌握切线的性质是解题的关键． 25. 如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为　 　cm．（保留一位小数） 【答案】（1）AD、PC、PD； （2）见解析； （3）2.3和4.0． 【解析】 【分析】（1）根据变量与函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量，即可求解； （2）描点画出如图图象； （3）PD＝，观察表格数据即可求解． 【小问1详解】 解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量； 故答案为：AD、PC、PD； 【小问2详解】 （2）描点画出如图图象； 【小问3详解】 从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，即AD的长度为2.3cm和cm； 故答案为：2.3和4.0． 【点睛】本题考查动点的函数图像，此类问题主要通过描点画出函数图像，根据表格和函数图像查出相应的近似数值，一定要仔细观察． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线两点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先将代入抛物线解析式，求解并比较即可； （2）在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，即在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，首先求出抛物线的对称轴为，再对a的大小进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， ∵在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大， ∴在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ①当时，抛物线开口向上时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当，即时， 则， 则点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，此时在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得， 则当时满足题意； 当，即时， 若，则，即此时点M、N都在对称轴左侧，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大； 若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴上，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大； 若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得，故不存在； ②当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ， ，， 即点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得， 则时满足题意； 综上所述，或． 27. 如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 解：，证明如下 如图，过点作的对称点，连接、，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由三角形外角的性质和等边对等角可得，则，由垂线的定义可得，则； （2）过点作的对称点，连接、，则，，可证明，，则，证明，得到，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，已知及外一点P，若上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线的对称点，与点P共线，则称点P为的“对称点”，直线为关于点T的“弦称线”，线段为关于点T的“弦称弦”． 的半径为2，点P为的“对称点”． （1）若点，直线为的“弦称线”，则k的取值可能是___________； ①； ②； ③． （2）直线是关于点的弦称线，则“弦称弦”的最大值是___________； （3）直线与x轴，y轴分别交于点M，点N．线段上存在点S，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则b的取值范围是___________． 【答案】（1）①② （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据“弦称线”的定义，结合圆的对称性质，判断不同k值的直线是否满足条件； （2）利用对称关系和圆的弦长公式，求出“弦称弦”的最大值； （3）根据“弦称线”的性质，确定点S的位置范围，进而得出b的取值范围． 【小问1详解】 解：由定义可知，上的弦关于对称得到， ∴当与相切时为极限位置， 如图，将沿着对称得到，为的弦，同理将沿着对称得到，为的弦， 此时当与相切时，k取得最大值，与相切时，k取得最小值， 当时，将代入得：，解得， ∴与有交点，，则是的“弦称线”， 当时，将代入得：，解得， ∴与有交点，，则是的“弦称线”， 当时，将代入得：，解得， ∴此时已超出，与相离， ∴k的取值不可能是2，即不是的“弦称线”． 【小问2详解】 解：由定义可知，直线是关于点的弦称线， 则点P，，在直线上， 如图，作出直线，与x轴，y轴分别交点F，H，过点T作，，过点O作， 当时，则有，解得， ∴，即， 当时，则有， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 由定义知，是对称轴， ∴， 要使有最大值，则需使有最大值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 即“弦称弦”的最大值为． 【小问3详解】 解：如图，将O关于对称得到， ∵点O到的距离， ∴， ∴所有可能的覆盖区域为以O为圆心，为半径的圆内， 又∵点S为线段上任意一点，且经过点S的所有直线都是的“弦称线”， ∴过点S的所有直线都需与以O为圆心，半径为6的圆相交， ∴点S必须在以O为圆心，半径为6的圆内部， ∴线段上所有点S满足， ∵线段在直线上，且与x轴，y轴分别交点M，N， ∴，， ∴，即， 又∵需要有交点M，N， ∴， 综上所述，b的取值范围是且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一晋元中学2025-2026学年度初三年级第十一学段开学活动 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A. B. C. D. 5. 根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 7. 已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点，，的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______________ ． 10. 分解因式：______． 11. 方程的解为___________． 12. 如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则___________． 13. 如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么_______． 14. 如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为______． 15. 已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 _____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为．关于该函数的四个结论如下： ①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有三个．其中正确的结论有___________． 三．解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：. 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 22. 列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 23. 为了了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩(满分分，6分及6分以上为及格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 七年级名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，，9，8，5，8，7，6，7，9，7，，6 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7 八年级 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）在上述表格中：___________，___________； （2）根据上述数据，请写出掌握垃圾分类知识的情况较好的年级并给出理由______________________(写出一条理由即可)； （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市现场垃圾分类知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 24. 如图，过外一点作的两条切线，切点分别为，连接并延长，交的延长线于点，点是的中点，过点作的垂线，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小卫根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小卫的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当时，AD的长度约为　 　cm．（保留一位小数） 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线两点． （1）当时，比较的大小，并说明理由； （2）当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知及外一点P，若上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线的对称点，与点P共线，则称点P为的“对称点”，直线为关于点T的“弦称线”，线段为关于点T的“弦称弦”． 的半径为2，点P为的“对称点”． （1）若点，直线为的“弦称线”，则k的取值可能是___________； ①； ②； ③． （2）直线是关于点的弦称线，则“弦称弦”的最大值是___________； （3）直线与x轴，y轴分别交于点M，点N．线段上存在点S，若经过点S的所有直线都是的“弦称线”，则b的取值范围是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $