突破讲练四 最大公因数与最小公倍数（第三单元 因数与倍数）知识梳理+四大题型讲练+优选题拔尖练 共41题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项培优讲练

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理“最大公因数与最小公倍数”单元内容，涵盖定义、求法（列举法、短除法等）、特殊关系（互质、倍数）及符号表示，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如用最大公因数解决“分香囊粽子”、最小公倍数解决“三人训练时间”等实际问题，结合短除法口诀培养数学思维与应用意识，助力不同学生提升，支持教师精准教学。

突破讲练四 最大公因数与最小公倍数 （第三单元 因数与倍数） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：最大公因数 1 知识点二：最小公倍数 1 重点难点 题型讲练 2 题型一：公因数与最大公因数 2 题型二：用最大公因数解决实际问题 2 题型三：公倍数与最小公倍数 3 题型四：用最小公倍数解决实际问题 4 培优检测 能力提升 4 知识点一：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点二：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 题型一：公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·山东枣庄·期中）M＝3×5×2，N＝2×3，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练1】（24-25五年级下·江苏南通·期中）下面说法中正确的有（    ）个。 ①3和11没有公因数 ②两个不同的质数，积的因数有且仅有4个。 ③任意连续5个非零自然数的和一定是奇数。 ④4的倍数一定是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏南通·期中）a和b是两个非零自然数，b÷a＝1……1，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练3】已知A＝2×2×2×3×m，B＝2×n×3，如果A和B的最大公因数是12，最小公倍数是48，那么，m＝( )，n＝( )。 题型二：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·河南信阳·期末）端午节前，欣欣和乐乐一共做了18个香囊和30个粽子，准备送给敬老院的爷爷、奶奶。如果每人分得的香囊同样多，每人分得的粽子也同样多，且都没有剩余，最多可以分给多少人？ 【变式训练1】（24-25五年级下·山西忻州·期中）观看中国空间站的太空授课时，李老师想把五年级的15名男生和20名女生分成几个小组，使每组中男生人数相等，女生人数也相等，则每组至少有（    ）人。 A．7 B．5 C．12 【变式训练2】（24-25五年级下·天津和平·期末）阳光小学举办剪纸活动，赵老师把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形，边长为整数且没有剩余。剪成的正方形的边长最大是( )cm，一共可以剪成( )个。 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 题型三：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）文化路小学机器人社团的总人数在30－50人之间，无论是分成4人一组、6人一组还是8人一组，都能恰好分完，机器人社团共有( )人。 【变式训练1】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）24和40的最大公因数是( )；12和30的最小公倍数是( )。 【变式训练2】编程兴趣小组制作了一款“青蛙跳跳跳”的游戏。游戏设定，甲、乙两只青蛙同时从起点开始跳跃，每秒跳1次。甲青蛙每次跳10厘米，乙青蛙每次跳15厘米，两只青蛙都能跳到的点位称为相同距离点。每只青蛙跳到相同距离点时，这个点位都会出现一片荷叶，跳离这个点位时，荷叶就会消失。当乙青蛙跳到90厘米这个点位时，电脑一共出现了( )次荷叶。 【变式训练3】“阳光明媚春三月，正是踏青好时节”，五（6）班同学在一次春游野餐时，每2人合用了1个饭碗，每3个人合用1个菜碗，每4个人合用1个汤碗，野餐共用了78个碗，你知道这次参加野餐的有多少人吗？ 题型四：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）暑假期间，小明、小强、小辉到少年宫参加跆拳道训练。小明每4天去一次，小强每2天去一次，小辉每6天去一次。8月5日三人都去参加了跆拳道训练，则几月几日他们再次一起参加跆拳道训练？ 【变式训练1】（24-25五年级下·山东枣庄·期中）文化路小学举行篮球比赛开幕式，五年级方阵每5人一行或每6人一行，正好能排成方阵，该方阵至少有（    ）人。 A．30 B．35 C．60 D．无法确定 【变式训练2】（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 【变式训练3】你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是( )人。 1．（25-26五年级上·内蒙古包头·期末）下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 2．（25-26五年级上·甘肃白银·期末）甲数和乙数都是自然数，甲数是乙数的7倍，甲、乙两数的最大公因数是（    ）。 A．甲数 B．乙数 C．无法确定 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）某社区组织居民自愿参加公益劳动，其中A小区有42人报名参加，B小区有48人报名参加。如果把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数都相同，每个小组最多有（    ）人。 A．2 B．3 C．6 D．8 5．（25-26五年级上·河南驻马店·期中）周阿姨的快递到了，在取件时需要输入取件码，这个取件码是一个四位数。①首位是最小的奇数；②前两位组成的两位数既是3的倍数，又是5的倍数；③后两位组成的两位数是20以内最大的质数，周阿姨需要输入的取件码是（    ）。 A．1219 B．1517 C．1519 6．（24-25五年级下·江苏徐州·期末）兴农电商园要为一批水蜜桃打包寄出。如果每8个装一袋，剩下5个；如果每9个装一袋，也剩下5个。这箱水蜜桃可能有（    ）个。 A．77 B．53 C．37 D．50 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）五（1）班买来七十多本课外书，无论每组3本还是每组8本都正好分完。五（1）班买来( )本课外书。 8．（24-25五年级下·江苏泰州·期末）有一筐苹果，如果平均分给4人，还剩2个；如果平均分给7人，也还剩2个。这筐苹果最少有( )个。 9．（24-25五年级下·江苏南通·期中）分解质因数m＝2×a×5，n＝5×7×a，如果m和n的最小公倍数是210，那么a＝( )。如果m和n的最大公因数是55，那么a＝( )。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有( )个，此时苹果和梨共有( )袋。 11．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）王老师把24支铅笔和36块橡皮平均分给一些同学，保证每名同学分到同样多的铅笔和橡皮，并且没有剩余，最多能分给( )名同学。 12．（25-26五年级上·天津河西·期末）14的全部因数有( )，21的全部因数有( )；14和21的全部公因数有( )，它们的最大公因数是( ) 13．（25-26五年级上·辽宁大连·期末）一个数的最大因数是8，另一个数的最小倍数是6。这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 14．（24-25五年级下·江西南昌·期末）如果B是A的2倍（A、B是非零自然数），那么A、B的最大公因数是B，最小公倍数是A。( )（判断对错） 15．（24-25五年级下·云南丽江·期末）如果a是b的5倍（b≠0），那么a，b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( )（判断对错） 16．（24-25五年级下·四川雅安·期末）把一张长30cm，宽20cm的长方形纸片，剪成若干个大小相等的小正方形且没有剩余，这些小正方形的边长最大是6厘米。( )（判断对错） 17．（24-25五年级下·重庆长寿·期末）大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为3、4或6时，每个人都可以抱团成功，有24人在玩游戏。( )（判断对错） 18．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）用短除法求最大公因数和最小公倍数。 23和46      39和52 19．（24-25五年级下·山东德州·期中）花店周年庆，用这两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎成几束？每束几朵？ 20．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）鲁绣是一种古老的传统刺绣工艺，历史悠久。张阿姨家的鲁绣专卖店进了48件山水鲁绣桌布，54件花鸟鲁绣桌布，现在要把这两种鲁绣桌布分别装进包装袋，要求每袋的鲁绣桌布件数相同而没有剩余，最少需要准备多少个包装袋？ 21．（24-25五年级下·广东中山·期末）舞蹈队有男生48人，女生60人，现要将男生和女生分别排成若干排。要使男、女生每排的人数相同，每排最多几人？这时男、女生分别有几排？ 22．（23-24五年级下·江苏盐城·期末）学校艺术团为庆祝中华人民共和国成立76周年编排节目，需要用彩带制作花篮。如果把下边两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成这样的短彩带多少根？ 23．（24-25五年级下·陕西西安·期末）图书馆安排甲、乙两名工作人员整理书架，甲每3天整理一次，乙每5天整理一次，如果6月10日他们两人同一天进行整理工作，那么下一次两人同一天整理是几月几日？ 24．（24-25五年级下·全国·课后作业）南丰蜜橘是江西省的特产，因营养丰富而享誉古今中外。一堆南丰蜜橘，3个3个地数或5个5个地数，都能正好数完。这堆蜜橘至少有多少个？ 25．（24-25五年级下·江西南昌·期末）学校把啦啦操队的小运动员们排成方阵。5个5个地排，6个6个地排都多了2人，已知这些啦啦操队小运动员的人数在130人到160人之间。你能算出啦啦操队小运动员的人数吗？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练四 最大公因数与最小公倍数 （第三单元 因数与倍数） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：最大公因数 1 知识点二：最小公倍数 1 重点难点 题型讲练 2 题型一：公因数与最大公因数 2 题型二：用最大公因数解决实际问题 4 题型三：公倍数与最小公倍数 5 题型四：用最小公倍数解决实际问题 8 培优检测 能力提升 10 知识点一：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点二：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 题型一：公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·山东枣庄·期中）M＝3×5×2，N＝2×3，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 30 【思路引导】M和N分解质因数后，M和N公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数，据此解答。 【规范解答】分析可知，M和N的最大公因数是3×2＝6，最小公倍数是3×5×2＝30。 【变式训练1】（24-25五年级下·江苏南通·期中）下面说法中正确的有（    ）个。 ①3和11没有公因数 ②两个不同的质数，积的因数有且仅有4个。 ③任意连续5个非零自然数的和一定是奇数。 ④4的倍数一定是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”； ②除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数； ③整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，举例说明即可； ④除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】①3和11的公因数是1，原说法错误； ②因为质数只有1和它本身2个因数，两个不同的质数，积的因数有且仅有4个，说法正确； ③1＋2＋3＋4＋5＝15、2＋3＋4＋5＋6＝20，任意连续5个非零自然数的和可能是奇数，也可能是偶数，原说法错误； ④4是合数，4的倍数一定是合数，说法正确。 说法中正确的有2个。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏南通·期中）a和b是两个非零自然数，b÷a＝1……1，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【思路引导】由“被除数＝商×除数＋余数”可知，b＝a×1＋1＝a＋1，则a和b是互质数，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积，据此解答。 【规范解答】a和b是两个非零自然数，b÷a＝1……1，b＝a＋1，则a和b是互质数，a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【变式训练3】已知A＝2×2×2×3×m，B＝2×n×3，如果A和B的最大公因数是12，最小公倍数是48，那么，m＝( )，n＝( )。 【答案】 2 2 【思路引导】两个合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 已知A和B的最大公因数是12，而B＝2×n×3，B里已知的质因数乘积是2×3＝6，还没有达到最大公因数12，所以2×n×3＝12，求出n＝2； 已知A和B的最小公倍数是48，是最大公因数12与A、B的独有质因数2m的乘积，所以48÷12÷2即是m的值。 【规范解答】12÷2÷3 ＝6÷3 ＝2 48÷12÷2 ＝4÷2 ＝2 所以m＝2，n＝2。 【考点剖析】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 题型二：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·河南信阳·期末）端午节前，欣欣和乐乐一共做了18个香囊和30个粽子，准备送给敬老院的爷爷、奶奶。如果每人分得的香囊同样多，每人分得的粽子也同样多，且都没有剩余，最多可以分给多少人？ 【答案】6人 【思路引导】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出香囊和粽子个数的最大公因数，就是最多分给的人数。 【规范解答】18＝2×3×3，30＝2×3×5 2×3＝6（人） 答：最多可以分给6人。 【变式训练1】（24-25五年级下·山西忻州·期中）观看中国空间站的太空授课时，李老师想把五年级的15名男生和20名女生分成几个小组，使每组中男生人数相等，女生人数也相等，则每组至少有（    ）人。 A．7 B．5 C．12 【答案】A 【思路引导】要想每组中男生人数相等，女生人数也相等，则男生分的组数与女生分成的组数相等。根据求最大公因数的方法求出15和20的最大公因数（分成的组数），进而求出每组中男女生的人数，求和即可。 【规范解答】15＝3×5 20＝2×2×5 15和20的最大公因数是5 15÷5＝3（人） 20÷5＝4（人） 3＋4＝7（人） 每组至少有7人。 故答案为：A 【变式训练2】（24-25五年级下·天津和平·期末）阳光小学举办剪纸活动，赵老师把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形，边长为整数且没有剩余。剪成的正方形的边长最大是( )cm，一共可以剪成( )个。 【答案】 8 12 【思路引导】把一张长方形纸，剪成同样大小的正方形且没有剩余，说明正方形的边长是32、24的公因数，求正方形的最大边长，就是求32和24的最大公因数；用分解质因数的方法求出32、24的最大公因数，再分别求出长、宽各可以剪几个，最后相乘就是一共可剪出的个数。 【规范解答】32＝2×2×2×2×2 24＝2×2×2×3 32和24的最大公因数是2×2×2＝8，即剪成的正方形的边长最大是8cm。 （32÷8）×（24÷8） ＝4×3 ＝12（个） 剪成的正方形的边长最大是8cm，一共可以剪成12个。 【变式训练3】（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【思路引导】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【规范解答】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【考点剖析】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 题型三：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）文化路小学机器人社团的总人数在30－50人之间，无论是分成4人一组、6人一组还是8人一组，都能恰好分完，机器人社团共有( )人。 【答案】48 【思路引导】由题意可知，机器人社团的总人数既是4和6的倍数，也是8的倍数，则机器人社团的总人数是4、6、8的公倍数，且在30－50之间，求出这三个数的最小公倍数，再找出符合条件的公倍数，据此解答。 【规范解答】4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，… 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，… 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，… 4、6、8的公倍数有24，48… 因为30＜48＜50，所以机器人社团共有48人。 【变式训练1】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）24和40的最大公因数是( )；12和30的最小公倍数是( )。 【答案】 8 60 【思路引导】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【规范解答】24＝2×2×2×3 40＝2×2×2×5 24和40的最大公因数是：2×2×2＝8 12＝2×2×3 30＝2×3×5 12和30的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 填空如下： 24和40的最大公因数是（8）；12和30的最小公倍数是（60）。 【变式训练2】编程兴趣小组制作了一款“青蛙跳跳跳”的游戏。游戏设定，甲、乙两只青蛙同时从起点开始跳跃，每秒跳1次。甲青蛙每次跳10厘米，乙青蛙每次跳15厘米，两只青蛙都能跳到的点位称为相同距离点。每只青蛙跳到相同距离点时，这个点位都会出现一片荷叶，跳离这个点位时，荷叶就会消失。当乙青蛙跳到90厘米这个点位时，电脑一共出现了( )次荷叶。 【答案】5 【思路引导】由题意可知，相同距离点的位置同时是10和15的公倍数，先用短除法求出这两个数的最小公倍数，再找出90以内这两个数的公倍数，每只青蛙跳到相同距离点时，都会出现一片荷叶，分别求出甲青蛙和乙青蛙各出现了几次荷叶，最后数出出现荷叶的总次数，据此解答。 【规范解答】 10和15的最小公倍数：5×2×3＝30 30×1＝30（厘米） 30×2＝60（厘米） 30×3＝90（厘米） 乙青蛙：30÷15＝2（秒） 60÷15＝4（秒） 90÷15＝6（秒） 即乙青蛙跳到90厘米这个点位时，共用6秒。乙青蛙第2秒、第4秒、第6秒各出现一次荷叶，共3次； 6秒（含）之内，甲青蛙：30÷10＝3（秒） 60÷10＝6（秒） 所以，甲青蛙第3秒、第6秒各出现一次荷叶，有2次； 一共出现3＋2＝5次荷叶。 【考点剖析】本题主要考查公倍数的应用，根据符合条件的公倍数分别求出两只青蛙出现荷叶的次数是解答题目的关键。 【变式训练3】“阳光明媚春三月，正是踏青好时节”，五（6）班同学在一次春游野餐时，每2人合用了1个饭碗，每3个人合用1个菜碗，每4个人合用1个汤碗，野餐共用了78个碗，你知道这次参加野餐的有多少人吗？ 【答案】72人 【思路引导】根据题意，每2人、每3人、每4人分别分到合用1个饭碗，1个菜碗，1个汤碗，需要将他们整合一起，就是求最小的人数也就是一组人数，使得它们可以同时满足饭碗、菜碗、汤碗的数量，即求出2、3、4的最小公倍数； 再用最小人数除以2、除以3、除以4，再把它们的商相加，求出每组用碗需要的数量； 再用野餐用碗的数量除以每组用碗的数量，求出一共分几组，再用一组人数×几组，即可求出有多少人。 【规范解答】2、3、4的最小公倍数是：2×2×3＝12 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（个） 78÷13×12 ＝6×12 ＝72（人） 答：这次参加野餐的有72人。 【考点剖析】解答本题的关键是先求出每组的人数，利用求几个数的最小公倍数的方法进行解答。 题型四：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）暑假期间，小明、小强、小辉到少年宫参加跆拳道训练。小明每4天去一次，小强每2天去一次，小辉每6天去一次。8月5日三人都去参加了跆拳道训练，则几月几日他们再次一起参加跆拳道训练？ 【答案】8月17日 【思路引导】由题意可知：三人一起参加时经过的天数是4、2、6的最小公倍数，先求出4、2、6的最小公倍数，再确定是几月几日即可。 【规范解答】4＝2×2 6＝2×3 所以4、2、6的最小公倍数是2×2×3＝12。 12＋5＝17（日） 因此是8月17日再次一起参加训练。 答：8月17日他们再次一起参加跆拳道训练。 【变式训练1】（24-25五年级下·山东枣庄·期中）文化路小学举行篮球比赛开幕式，五年级方阵每5人一行或每6人一行，正好能排成方阵，该方阵至少有（    ）人。 A．30 B．35 C．60 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】由题意可知，该方阵的总人数既是5的倍数，也是6的倍数，求该方阵的最少人数就是求这两个数的最小公倍数，据此解答。 【规范解答】5和6的最小公倍数是5×6＝30。 所以，该方阵至少有30人。 故答案为：A 【变式训练2】（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 【答案】36名 【思路引导】根据题意可知，宴会上的客人人数是2，3，4的公倍数，根据求最小公倍数的方法，先求出2，3，4的最小公倍数；2，3，4的最小公倍数是12；假设宴会上有12名客人，将其分别除以2，3，4，所得的商相加，即可求出此时假设客人需要点心的份数；再用实际客人吃到点心的份数÷此时假设客人需要点心的份数，求出实际客人吃到点心的份数是此时假设客人需要点心的份数的几倍，再乘12，即可求出宴会上的客人数量。 【规范解答】2，3，4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（份） 39÷13＝3 12×3＝36（名） 答：宴会上有36名客人。 【考点剖析】解答本题的关键是假设2，3，4的最小公倍数是这些客人的人数，求出需要点心的份数，再求出实际吃点心的份数是假设客人吃点心的份数的几倍，进而解答。 【变式训练3】你知道“韩信点兵”的故事吗？古代韩信带350名士兵打仗，战死几十人，战后清点人数，令3人一排，多出2人；令5人一排，多出4人；令7人一排，多出6人。韩信马上说出战后人数是( )人。 【答案】314 【思路引导】3人一排，多出2人，即比3的倍数少1；5人一排，多出4人，即比5的倍数少1；7人一排，多出6人，即比7的倍数少1，求出3，5，7的公倍数，再根据韩信带350名士兵打仗，战死几十人，（人），则战后人数大于250人，据此确定公倍数，最后减1即可解答。 【规范解答】（人） （人） 即，战后人数时314人。 【考点剖析】本题主要考查公倍数问题，根据3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人这一条件转化成都少1人，再求公倍数是解答本题的关键。 1．（25-26五年级上·内蒙古包头·期末）下列（    ）的最大公因数是4。 A．1和4 B．2和4 C．4和8 D．6和24 【答案】C 【思路引导】如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是两个数中的较小数，据此解答。 【规范解答】A．1和4是互质数，所以1和4的最大公因数是1； B．4÷2＝2，4是2的倍数，所以2和4的最大公因数是2； C．8÷4＝2，8是4的倍数，所以4和8的最大公因数是4； D．24÷6＝4，24是6的倍数，所以6和24的最大公因数是6。 故答案为：C 2．（25-26五年级上·甘肃白银·期末）甲数和乙数都是自然数，甲数是乙数的7倍，甲、乙两数的最大公因数是（    ）。 A．甲数 B．乙数 C．无法确定 【答案】B 【思路引导】根据最大公因数的定义，若一个数是另一个数的倍数，则这两个数的最大公因数是较小的数。 【规范解答】甲数÷乙数＝7，所以甲、乙两数的最大公因数是乙数。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 【答案】A 【思路引导】要将两根绳子截成等长且无剩余的跳绳，最长跳绳长度是两根绳子长度的最大公因数；利用分解质因数法求出最大公因数，再通过每根绳子长度除以最大公因数，得到各自的段数，相加即为总段数。 【规范解答】求最长跳绳长度（最大公因数）： 分解质因数：，，两者的公共质因数是2，因此最长跳绳长度是2m。 计算总段数：（根），（根）， 总段数：（根） 截成的跳绳最长是2m，此时一共能截成12根。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）某社区组织居民自愿参加公益劳动，其中A小区有42人报名参加，B小区有48人报名参加。如果把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数都相同，每个小组最多有（    ）人。 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】根据题意，把两个小区报名的居民各自分成若干小组，要使每个小组的人数相同，求每组的人数就是求两个小区报名的居民的公因数，因为求的是每组最多有多少人，所以就是求两个小区报名的居民的最大公因数，利用分解质因数的方法求解即可。 【规范解答】 所以48和42的最大公因数是 所以每个小组最多有6人。 故答案为：C 5．（25-26五年级上·河南驻马店·期中）周阿姨的快递到了，在取件时需要输入取件码，这个取件码是一个四位数。①首位是最小的奇数；②前两位组成的两位数既是3的倍数，又是5的倍数；③后两位组成的两位数是20以内最大的质数，周阿姨需要输入的取件码是（    ）。 A．1219 B．1517 C．1519 【答案】C 【思路引导】整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。最小的奇数是1； 既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，那么这个两位数是3和5的公倍数；因为3和5的最小公倍数是3×5＝15，它的首位是1，由此确定是15； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。由此确定20以内最大的质数是19； 据此确定这个四位数的取件码。 【规范解答】①首位是最小的奇数，即1； ②前两位组成的两位数既是3的倍数，又是5的倍数，即15； ③后两位组成的两位数是20以内最大的质数，即19； 周阿姨需要输入的取件码是1519。 故答案为：C 6．（24-25五年级下·江苏徐州·期末）兴农电商园要为一批水蜜桃打包寄出。如果每8个装一袋，剩下5个；如果每9个装一袋，也剩下5个。这箱水蜜桃可能有（    ）个。 A．77 B．53 C．37 D．50 【答案】A 【思路引导】已知每8个装一袋或每9个装一袋都剩下5个，所以水蜜桃的数量是8和9的最小公倍数加5，因为8和9是互质数，两个互质数的最小公倍数就是这两个数的乘积，即8×9＝72，所以这箱水蜜桃可能有72＋5＝77个。 【规范解答】8×9＋5 ＝72＋5 ＝77（个） 这箱水蜜桃可能有77个。 故答案为：A 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）五（1）班买来七十多本课外书，无论每组3本还是每组8本都正好分完。五（1）班买来( )本课外书。 【答案】72 【思路引导】由题意知，买来的课外书的总数既能被3整除，也能被8整除，即总数是3和8的公倍数。又知买来的书的本数是七十多，所以从70开始往后分别列举出3的倍数和8的倍数找到七十多的数，即为五（1）班买来的课外书的本数。据此解答。 【规范解答】70往后3的倍数有：72，75，78 70往后8的倍数有：72，80 五（1）班买来七十多本课外书，无论每组3本还是每组8本都正好分完。五（1）班买来72本课外书。 8．（24-25五年级下·江苏泰州·期末）有一筐苹果，如果平均分给4人，还剩2个；如果平均分给7人，也还剩2个。这筐苹果最少有( )个。 【答案】30 【思路引导】根据题意，一筐苹果如果平均分给4人，还剩2个；如果平均分给7人，也还剩2个；说明苹果的最少个数比4和7的最小公倍数多2。当两个数互质时，最小公倍数是两数的积，据此计算出4和7的最小公倍数，再加2即可。 【规范解答】4和7的最小公倍数是：4×7＝28 28＋2＝30（个） 这筐苹果最少有30个。 9．（24-25五年级下·江苏南通·期中）分解质因数m＝2×a×5，n＝5×7×a，如果m和n的最小公倍数是210，那么a＝( )。如果m和n的最大公因数是55，那么a＝( )。 【答案】 3 11 【思路引导】把m和n分解质因数后，它们公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数，据此解答。 【规范解答】分析可知，m和n的最大公因数为a×5，m和n的最小公倍数为2×a×5×7。 2×a×5×7＝210 解：70a＝210 70a÷70＝210÷70 a＝3 a×5＝55 解：a×5÷5＝55÷5 a＝11 所以，如果m和n的最小公倍数是210，那么a＝3；如果m和n的最大公因数是55，那么a＝11。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有( )个，此时苹果和梨共有( )袋。 【答案】 12 5 【思路引导】把苹果和梨子分别装在袋子里，要使每袋的个数相同，也就是说每袋的个数既是苹果总数的因数，也是梨子总数的因数，那么每袋的个数就是苹果总数和梨子总数的公因数，题目问每袋最多多少个，就是求苹果总数和梨子总数的最大公因数，所以本题先求出36和24的最大公因数，也就求出每袋的个数，然后用苹果的总个数除以每袋的个数，就是苹果的袋数，用梨子的总个数除以每袋的个数，就是梨子的袋数。 【规范解答】36的因数有：1，36，3，12，4，9，6 24的因数有：1，24，2，12，3，8，4，6 36和24的公因数有：1，3，4，6，12其中12最大，所以36和24的最大公约数是12。       （袋） 有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有12个，此时苹果和梨共有5袋。 11．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）王老师把24支铅笔和36块橡皮平均分给一些同学，保证每名同学分到同样多的铅笔和橡皮，并且没有剩余，最多能分给( )名同学。 【答案】12 【思路引导】每名同学分到同样多的铅笔和橡皮，并且没有剩余，最多能分给多少名同学，就是求24和36的最大公因数；先把24和36分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。据此解答。 【规范解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以24和36的最大公因数是2×2×3＝12。 所以最大能分给12名同学。 12．（25-26五年级上·天津河西·期末）14的全部因数有( )，21的全部因数有( )；14和21的全部公因数有( )，它们的最大公因数是( ) 【答案】 1，2，7，14 1，3，7，21 1，7 7 【思路引导】找一个数的因数要从1开始，一对一对地找，直到两个因数重复为止。 14的因数：1×14＝14，2×7＝14，所以14的因数有1，2，7，14。 21的因数：1×21＝21，3×7＝21，所以21的因数有1，3，7，21。 公因数就是找出它们因数中相同的数，所以14和21的公因数是1，7，其中最大的那个就是最大公因数，也就是7。 【规范解答】第①空：因为1×14＝14，2×7＝14 所以14的因数有1，2，7，14 第②空：因为1×21＝21，3×7＝21 所以21的因数有1，3，7，21 第③空：在14和21的所有因数中，相同的数是1和7，所以14和21的公因数有1，7 第④空：在14和21的公因数1和7中，7最大，所以14和21的最大公因数是7。 【考点剖析】掌握找一个数因数的成对列举法，以及如何从两个数的因数中找出公因数和最大公因数。 13．（25-26五年级上·辽宁大连·期末）一个数的最大因数是8，另一个数的最小倍数是6。这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 2 24 【思路引导】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，则这两个数分别是8和6，把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数，最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【规范解答】分析可知，这两个数分别是8和6。 最大公因数：2 最小公倍数：2×4×3＝24 所以，这两个数的最大公因数是2，最小公倍数是24。 14．（24-25五年级下·江西南昌·期末）如果B是A的2倍（A、B是非零自然数），那么A、B的最大公因数是B，最小公倍数是A。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。已知B是A的2倍，说明B是A的倍数，据此判断。 【规范解答】已知B是A的2倍，则A和B为倍数关系，且B＞A。所以，较大的数B是它们的最小公倍数，较小的数A是它们的最大公因数。 因此，题目中“最大公因数是B，最小公倍数是A”的结论错误。 故答案为：× 15．（24-25五年级下·云南丽江·期末）如果a是b的5倍（b≠0），那么a，b的最大公因数是b，最小公倍数是a。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】当两个数成倍数关系时，较大的数是最小公倍数，较小的数是最大公因数。 【规范解答】根据题意，a是b的5倍（b≠0），说明a和b成倍数关系。此时，它们的最大公因数是较小的数b，最小公倍数是较大的数a。 原题说法正确。 故答案为：√ 16．（24-25五年级下·四川雅安·期末）把一张长30cm，宽20cm的长方形纸片，剪成若干个大小相等的小正方形且没有剩余，这些小正方形的边长最大是6厘米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】要确定剪成的小正方形边长最大值，需找到长方形长和宽的最大公因数。据此求出30和20的最大公因数，再进行判断。 【规范解答】30＝2×3×5 20＝2×2×5 30和20的最大公因数为：2×5＝10。 所以小正方形边长最大应为10厘米。 原题说法错误。 故答案为：× 17．（24-25五年级下·重庆长寿·期末）大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为3、4或6时，每个人都可以抱团成功，有24人在玩游戏。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】当抱团口令为3、4或6时，所有人都能抱团成功，说明总人数是3、4、6的公倍数。先求3、4、6的最小公倍数，再判断在20和30之间的公倍数是否为24。 【规范解答】4＝2×2 6＝2×3 3、4、6的最小公倍数为2×2×3＝12 12的倍数有12、24、36…； 在20和30之间的公倍数为24。 24÷3＝8，24÷4＝6，24÷6＝4，均无余数。 因此，共有24人在玩游戏。 原题说法正确。 故答案为：√ 18．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）用短除法求最大公因数和最小公倍数。 23和46      39和52 【答案】23；46；13；156 【思路引导】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【规范解答】（1）23和46 23和46的最大公因数是23，最小公倍数是23×2＝46。 （2）39和52 39和52的最大公因数是13，最小公倍数是13×3×4＝156。 19．（24-25五年级下·山东德州·期中）花店周年庆，用这两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎成几束？每束几朵？ 【答案】24束；5朵 【思路引导】求最多能扎成的花束数，即求72和48的最大公因数，用分解质因数法求出它们的最大公因数（最多能扎的束数）后，然后分别用72和48除以它们的最大公因数后，再把所得的数相加即可得出每束几朵花。 【规范解答】72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 2×2×2×3＝24（束） 72÷24＝3（朵） 48÷24＝2（朵） 3＋2＝5（朵） 答：最多能扎成24束，每束5朵。 20．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）鲁绣是一种古老的传统刺绣工艺，历史悠久。张阿姨家的鲁绣专卖店进了48件山水鲁绣桌布，54件花鸟鲁绣桌布，现在要把这两种鲁绣桌布分别装进包装袋，要求每袋的鲁绣桌布件数相同而没有剩余，最少需要准备多少个包装袋？ 【答案】17个 【思路引导】将两种不同数量的鲁绣桌布分别装袋，且每袋数量相同无剩余，求最少需要的包装袋总数。关键在于找到两种桌布数量的最大公因数，因为每袋的件数必须是48和54的公因数，用分解质因数法找48和54的最大公因数，然后用48和54分别除以48和54的最大公因数，再把结果相加，即可得到最少需要准备的包装袋个数。 【规范解答】48＝2×2×2×2×3 54＝2×3×3×3 2×3＝6（件） 48÷6＝8（个） 54÷6＝9（个） 8＋9＝17（个） 答：，最少需要准备17个包装袋。 21．（24-25五年级下·广东中山·期末）舞蹈队有男生48人，女生60人，现要将男生和女生分别排成若干排。要使男、女生每排的人数相同，每排最多几人？这时男、女生分别有几排？ 【答案】12人；4排；5排 【思路引导】先分别对48和60分解质因数：48＝2×2×2×2×3，60＝2×2×3×5。找出它们公有的质因数：2、2、3。最大公因数就是公有的质因数的乘积，即每排最多的人数。男生有48人，每排最多12人，男生的排数用48除以12即可计算出来。女生有60人，每排最多12人，女生的排数为用60除以12即可计算出来。 【规范解答】48＝2×2×2×2×3 60＝2×2×3×5 2×2×3＝12（人） 48÷12＝4（排） 60÷12＝5（排） 答：每排最多12人，这时男生有4排，女生有5排。 22．（23-24五年级下·江苏盐城·期末）学校艺术团为庆祝中华人民共和国成立76周年编排节目，需要用彩带制作花篮。如果把下边两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成这样的短彩带多少根？ 【答案】12厘米；5根 【思路引导】先求出36和24的最大公因数，从而确定每根短彩带的最长长度，再分别计算两根彩带能剪成的短彩带数量，最后求和。 求36和24的最大公因数：可以用分解质因数的方法，36＝2×2×3×3，24＝2×2×2×3。两个数公有的质因数相乘就是它们的最大公因数（即每根短彩带最长的厘米），进而以此可以求出能剪成短彩带的根数。 【规范解答】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是2×2×3＝12，所以每根短彩带最长是12厘米。 36÷12＋24÷12 ＝3＋2 ＝5（根） 答：每根短彩带最长是12厘米；一共可以剪成这样的短彩带5根。 23．（24-25五年级下·陕西西安·期末）图书馆安排甲、乙两名工作人员整理书架，甲每3天整理一次，乙每5天整理一次，如果6月10日他们两人同一天进行整理工作，那么下一次两人同一天整理是几月几日？ 【答案】6月25日 【思路引导】甲每3天整理一次，乙每5天整理一次。两人下次同一天整理的时间，是3和5的最小公倍数。因为3和5是互质数（公因数只有1），所以它们的最小公倍数为3×5＝15，即再过15天两人会再次同一天整理。已知起始日期是6月10日，从6月10日加上15日即可。 【规范解答】3×5＝15（日） 6月10日＋15日＝6月25日 答：下一次两人同一天整理是6月25日。 24．（24-25五年级下·全国·课后作业）南丰蜜橘是江西省的特产，因营养丰富而享誉古今中外。一堆南丰蜜橘，3个3个地数或5个5个地数，都能正好数完。这堆蜜橘至少有多少个？ 【答案】15个 【思路引导】求最小公倍数的应用题，蜜橘“3个3个地数”“5个5个地数”都能正好数完，说明蜜橘总数是3和5的公倍数；要求“至少有多少个”，即求3和5的最小公倍数。 【规范解答】3和5是互质数（公因数只有1），因此它们的最小公倍数为两数的乘积：（个） 答：这堆蜜橘至少有15个。 25．（24-25五年级下·江西南昌·期末）学校把啦啦操队的小运动员们排成方阵。5个5个地排，6个6个地排都多了2人，已知这些啦啦操队小运动员的人数在130人到160人之间。你能算出啦啦操队小运动员的人数吗？ 【答案】人 【思路引导】啦啦操队小运动员的人数5个5个地排，6个6个地排都多了2人，则人数减2应该是5和6的公倍数，将5和6进行质因数分解求出最小公倍数，又因为人数在130到160之间就可以确定具体人数。 【规范解答】5是质数 5和6的最小公倍数是 在130－160之间，30的倍数有150 所以人数为：（人） 答：啦啦操队小运动员的人数为152人。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $