6.4.1平面几何中的向量方法 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法 知识归纳与试题检测学案（详解版） 【1】教材知识归纳 1．向量在平面几何中的应用： (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式： cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式： ||＝ . 2.常用的两个方法： (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　 【2】基于教材的检测试题 一、单选题 1．若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、用向量证明线段垂直 【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形. 【详解】，, 所以四边形ABCD为平行四边形， , ， 所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形. 故选：B 2．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题、用向量解决夹角问题 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 3．在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 4．已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用向量解决线段的长度问题、用定义求向量的数量积、用基底表示向量 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 5．已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量与几何最值 【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值. 故选：C. 6．已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量与几何最值 【分析】先得到，两边平方，结合向量数量积公式和，得到，求出答案. 【详解】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 7．在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【知识点】向量在几何中的其他应用、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】根据向量关系确定四边形的形状为梯形，再结合向量的坐标运算得梯形相关长度即可求得梯形的面积. 【详解】因为在四边形中，， 所以且，则四边形为梯形， 又，，所以， 则，且，则， 所以四边形的面积为. 故选：B. 8．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】解析法在向量中的应用、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形. 【详解】不妨设中，，边长，边长， 以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系 则、、,    ,设，则 故 可得，故 的面积为， 的面积为 则与的面积之比为 故选：C 二、多选题 9．已知平面向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 【答案】ABC 【知识点】用向量解决夹角问题、向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】平面向量， 则，解得或，故A错误； 若，则，得，故B错误； 若，则，得，故C错误； 由（对应点在轴），， 可得或，故D正确. 故选：ABC 10．如图，在中，，其中，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积最大 D．当时， 【答案】ABC 【知识点】用向量证明线段垂直、用定义求向量的数量积、用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】利用条件及向量的加法运算可判断AC，利用数量积可判断BD. 【详解】∵， ∴即， ∴当时，，故A正确； 由可得，故B正确； 当时，，D与C重合，的面积最大，故C正确； 当时，， ∴ ，故D错误. 故选：ABC. 11．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】ABC 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得，结合，即可求范围. 【详解】如图，则， 设弦的中点为，则， 由圆的性质知，则， 的取值范围是． 故选：ABC    三、填空题 12．在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 【答案】垂 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 13．已知向量满足，则_____. 【答案】/ 【知识点】用向量解决夹角问题、向量夹角的计算 【分析】数形结合，利用向量的几何意义求解. 【详解】如图： 设，，作平行四边形，则，， 因为，即，所以平行四边形为矩形. 又，所以. 所以. 故答案为： 14．在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是_______． 【答案】/ 【知识点】已知数量积求模、用向量解决线段的长度问题 【分析】由平方得：，再由可得，进而利用基本不等式可得最小值． 【详解】由平方得：． 又，所以． 所以． 当且仅当时，取最小值． 故答案为：． 四、解答题 15．已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】以为原点建系，设，利用求出，求证即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 设，则，. 因为是的中点，所以. 又，即，即， 解得，即， ，， ， ，即. 16．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、用向量解决夹角问题、用向量解决线段的长度问题 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 17．在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、用向量解决线段的长度问题 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 18．已知为的中线，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】坐标计算向量的模、用向量解决线段的长度问题、解析法在向量中的应用 【分析】首先根据三角形建立平面直角坐标系，利用坐标表示模长，即可证明. 【详解】证明：以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图．设，，，则， ， 从而， 即． 19．求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值． 【答案】当时，函数取得最小值为． 【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量的模 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的和的最大值问题，然后利用向量模的性质求解. 【详解】解：由题意得， 可设向量，，则， 故有，当且仅当、同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1平面几何中的向量方法 知识归纳与试题检测学案（学生版） 【1】教材知识归纳 1．向量在平面几何中的应用： (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理： a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式： cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式： ||＝ . 2.常用的两个方法： (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明. 　 【2】基于教材的检测试题 一、单选题 1．若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 4．已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在四边形中，，，，则四边形的面积为（ ） A． B．4 C． D．6 8．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．已知平面向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 10．如图，在中，，其中，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积最大 D．当时， 11．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 三、填空题 12．在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 13．已知向量满足，则_____. 14．在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是_______． 四、解答题 15．已知在中，C是直角，，D是的中点，E是上一点，且，求证：. 16．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 17．在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 18．已知为的中线，求证：． 19．求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $