17.5 一元二次方程的应用讲义 2025- 2026学年沪科版八年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

17.5 一元二次方程的应用 知识点详解 一、 列一元二次方程解应用题的一般步骤 解决实际问题的基本思想是将实际问题转化为数学问题，即建立数学模型。列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程类似，可概括为“审、设、列、解、验、答”六步法。 步骤 核心任务 注意事项 ① 审 审清题意，分析已知量与未知量，找出等量关系 仔细阅读题目，圈出关键数据，明确已知什么、求什么 ② 设 设出合适的未知数（通常为 x） 语句要完整，有单位要注明；可直接设元，也可间接设元 ③ 列 根据等量关系，列出方程 将方程整理成一般形式 ④ 解 解这个方程，求出未知数的值 选择适当的方法求解 ⑤ 验 双重检验 ① 是否满足方程；② 是否符合实际问题（如长度>0、人数为整数、增长率合理等） ⑥ 答 写出答案 答案必须是完整的语句，注明单位 口诀记忆： 审设列解验答，六步走天下； 解得两个根，取舍看实际。 二、 常见应用题型分类 1. 平均变化率问题（增长率/下降率） 这是中考的热点题型，涉及生产、销售、人口、产量等领域的增长或下降问题。 核心公式： 其中： · a —— 初始量 · b —— 变化后的量 · x —— 平均增长率（取“+”）或平均下降率（取“-”） · n —— 增长（或下降）的次数 关键理解： · 增长率问题： · 下降率问题： 注意： · 平均增长（下降）率问题中，基数是不断变化的，但增长率（下降率）保持不变。 · 增长率可以为大于1的数，但下降率必须满足 0 < x < 1。 · 这类问题通常用直接开平方法求解比较简便。 典型例题（选自教材）： 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，求甲种药品成本的年平均下降率。 解：设年平均下降率为 x。 根据题意： 或 （舍去） 解得： 答：年平均下降率约为22.5%。 2. 销售利润问题（市场营销问题） 这类问题涉及商品的定价、降价、销售量变化等，核心是利润公式。 核心关系： 其中： · 单件利润 = 售价 - 进价 · 销售量可能随售价变化（如每降价 x 元，多售出 y 件） 常见题型：商场销售冰箱、服装、电子产品等。 典型例题（教材经典题）： 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 解：设每台冰箱降价 x 元，则定价为 (2900-x) 元， 单件利润为 (2900-x-2500) = (400-x) 元， 销售量为台。 列方程： 整理得： 解得： ∴ 定价为 2900-150=2750 元。 答：每台冰箱的定价应为2750元。 变式练习（减少库存问题）： 某品牌饼干进价每盒30元，如果每盒售价40元，每天可售出500盒。经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每盒涨1元，日销售量将减少20盒。现经销商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每盒应涨价多少元？ 解：设每盒应涨价 x 元，则 (40+x-30)(500-20x) = 6000 解得 ∵ 要使顾客得到实惠，∴ 取 x = 5 元。 答：每盒应涨价5元。 3. 几何图形问题 这类问题常涉及矩形、三角形、圆的面积、周长等几何量，有时需要通过“平移”“割补”等方法将不规则图形转化为规则图形。 常见类型： · 边框问题：在矩形四周加上等宽的边框 · 无盖盒子问题：从矩形铁皮四角剪去小正方形，折成无盖盒子 · 封面设计问题：中央矩形与整个封面长宽比例相同，四周留边衬 · 道路问题：在矩形场地中修建等宽的道路 4. 数字问题与传播问题 数字问题：涉及两位数、三位数的表示，或连续整数等。 典型例题（古代数学问题）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？ 解：设周瑜去世年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x-3， 年龄为 10(x-3) + x = 11x - 30。 根据“个位平方与寿符”得： 整理得： 解得： 当 x=5 时，年龄 = 11×5-30=25（不合“而立之年”，舍去） 当 x=6 时，年龄 = 11×6-30=36（符合题意） 答：周瑜去世时36岁。 传播问题：如病毒传播、信息扩散等，每轮传播的基数不断扩大。 典型例题（病毒传播）： 有一个人患了流感，经过两轮传染后有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人。 第一轮后共有 (x+1) 人患病， 第二轮后共有 人患病。 列方程： 解得：x+1 = 11 或 x+1 = -11（舍去） ∴ x = 10 答：平均一个人传染了10个人。 三、 各类应用题型对比总结 题型 核心等量关系 常见设元方式 注意事项 平均变化率 设平均增长（下降）率为 x 注意 n 是变化次数，下降率 0<x<1 销售利润 总利润 = 单利 × 销量 设降价 x 元或定价为 x 元 销量变化规律要准确；尽量减少库存时选合适解 几何问题 规则图形面积/周长公式 设未知宽度/边长为 x 可平移简化图形；注意边长>0 数字问题 数的表示（如两位数=10a+b） 设个位/十位数字 注意数字的取值范围 传播问题 (1+x)^n = N 设每轮传播人数 x 基数包括原有患者 四、 易错点警示 1. 忽略实际意义的检验： · 解出一元二次方程的两个根后，必须检验是否符合实际（如边长>0、人数为整数、时间非负、降价后售价不低于成本等）。 · 例如：在面积问题中，若解得 x=55，但代入原题得长或宽为负数，应舍去。 2. 平均变化率问题中混淆基数： · 增长率问题中，每次增长的基数都是变化后的新量，不是原始量。 · 下降率同理。 3. 销售问题中关系式列错： · 常见错误：单件利润算错（忘记减进价），或销量变化规律理解反（涨价少卖，降价多卖）。 · 要仔细分析“每降价 x 元，多售出 y 件”的含义。 4. 几何问题中单位不统一： · 注意题目中给出的长度单位是否一致，必要时进行换算。 5. 传播问题中忽略初始患者： · 第一轮传播后，总人数 = 1（初始）+ 新感染人数，即 1+x，不是 x。 6. 双重检验不完整： · 应用题必须进行双重检验：①是否为原方程的解；②是否符合实际意义。 一、单选题 1．2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 2．某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 5．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 7．《九章算术》中记载：今有户不知高、广、竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（    ） A．若设门宽为尺，则可列方程为 B．若设门高为尺，则可列方程为 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 8．年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 10．已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为，则根据题意可列方程为_____． 11．有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 12．如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 13．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 14．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______．    15．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则n的值为_______． 三、解答题 16．某制盒厂用一块边长为的正方形纸板制作一个长方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计）． (1)如果要做一个无盖的长方体盒子，可先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再把它折合起来（如图①所示）． ①如果，，那么长方体纸盒的底面积为______ ． ②如果，长方体纸盒的底面积为，那么纸盒的高为______ ． (2)如果要做一个有盖的长方体纸盒，可先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，再把它折合起来（如图②所示）．若，折成的有盖纸盒的所有棱长之和为，则纸盒的体积为多少？ 17．小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 18．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价元，则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元．（用含的代数式表示） (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 19．为提升初三学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、生成个性化错题卷．开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人．经过两周的推广与同学的分享，第三周使用云端错题本的学生数量增长至242人． (1)求每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率． (2)按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数． 20．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 21．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 22．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.5 一元二次方程的应用 知识点详解 一、 列一元二次方程解应用题的一般步骤 解决实际问题的基本思想是将实际问题转化为数学问题，即建立数学模型。列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程类似，可概括为“审、设、列、解、验、答”六步法。 步骤 核心任务 注意事项 ① 审 审清题意，分析已知量与未知量，找出等量关系 仔细阅读题目，圈出关键数据，明确已知什么、求什么 ② 设 设出合适的未知数（通常为 x） 语句要完整，有单位要注明；可直接设元，也可间接设元 ③ 列 根据等量关系，列出方程 将方程整理成一般形式 ④ 解 解这个方程，求出未知数的值 选择适当的方法求解 ⑤ 验 双重检验 ① 是否满足方程；② 是否符合实际问题（如长度>0、人数为整数、增长率合理等） ⑥ 答 写出答案 答案必须是完整的语句，注明单位 口诀记忆： 审设列解验答，六步走天下； 解得两个根，取舍看实际。 二、 常见应用题型分类 1. 平均变化率问题（增长率/下降率） 这是中考的热点题型，涉及生产、销售、人口、产量等领域的增长或下降问题。 核心公式： 其中： · a —— 初始量 · b —— 变化后的量 · x —— 平均增长率（取“+”）或平均下降率（取“-”） · n —— 增长（或下降）的次数 关键理解： · 增长率问题： · 下降率问题： 注意： · 平均增长（下降）率问题中，基数是不断变化的，但增长率（下降率）保持不变。 · 增长率可以为大于1的数，但下降率必须满足 0 < x < 1。 · 这类问题通常用直接开平方法求解比较简便。 典型例题（选自教材）： 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，求甲种药品成本的年平均下降率。 解：设年平均下降率为 x。 根据题意： 或 （舍去） 解得： 答：年平均下降率约为22.5%。 2. 销售利润问题（市场营销问题） 这类问题涉及商品的定价、降价、销售量变化等，核心是利润公式。 核心关系： 其中： · 单件利润 = 售价 - 进价 · 销售量可能随售价变化（如每降价 x 元，多售出 y 件） 常见题型：商场销售冰箱、服装、电子产品等。 典型例题（教材经典题）： 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 解：设每台冰箱降价 x 元，则定价为 (2900-x) 元， 单件利润为 (2900-x-2500) = (400-x) 元， 销售量为台。 列方程： 整理得： 解得： ∴ 定价为 2900-150=2750 元。 答：每台冰箱的定价应为2750元。 变式练习（减少库存问题）： 某品牌饼干进价每盒30元，如果每盒售价40元，每天可售出500盒。经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每盒涨1元，日销售量将减少20盒。现经销商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每盒应涨价多少元？ 解：设每盒应涨价 x 元，则 (40+x-30)(500-20x) = 6000 解得 ∵ 要使顾客得到实惠，∴ 取 x = 5 元。 答：每盒应涨价5元。 3. 几何图形问题 这类问题常涉及矩形、三角形、圆的面积、周长等几何量，有时需要通过“平移”“割补”等方法将不规则图形转化为规则图形。 常见类型： · 边框问题：在矩形四周加上等宽的边框 · 无盖盒子问题：从矩形铁皮四角剪去小正方形，折成无盖盒子 · 封面设计问题：中央矩形与整个封面长宽比例相同，四周留边衬 · 道路问题：在矩形场地中修建等宽的道路 4. 数字问题与传播问题 数字问题：涉及两位数、三位数的表示，或连续整数等。 典型例题（古代数学问题）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？ 解：设周瑜去世年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x-3， 年龄为 10(x-3) + x = 11x - 30。 根据“个位平方与寿符”得： 整理得： 解得： 当 x=5 时，年龄 = 11×5-30=25（不合“而立之年”，舍去） 当 x=6 时，年龄 = 11×6-30=36（符合题意） 答：周瑜去世时36岁。 传播问题：如病毒传播、信息扩散等，每轮传播的基数不断扩大。 典型例题（病毒传播）： 有一个人患了流感，经过两轮传染后有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人。 第一轮后共有 (x+1) 人患病， 第二轮后共有 人患病。 列方程： 解得：x+1 = 11 或 x+1 = -11（舍去） ∴ x = 10 答：平均一个人传染了10个人。 三、 各类应用题型对比总结 题型 核心等量关系 常见设元方式 注意事项 平均变化率 设平均增长（下降）率为 x 注意 n 是变化次数，下降率 0<x<1 销售利润 总利润 = 单利 × 销量 设降价 x 元或定价为 x 元 销量变化规律要准确；尽量减少库存时选合适解 几何问题 规则图形面积/周长公式 设未知宽度/边长为 x 可平移简化图形；注意边长>0 数字问题 数的表示（如两位数=10a+b） 设个位/十位数字 注意数字的取值范围 传播问题 (1+x)^n = N 设每轮传播人数 x 基数包括原有患者 四、 易错点警示 1. 忽略实际意义的检验： · 解出一元二次方程的两个根后，必须检验是否符合实际（如边长>0、人数为整数、时间非负、降价后售价不低于成本等）。 · 例如：在面积问题中，若解得 x=55，但代入原题得长或宽为负数，应舍去。 2. 平均变化率问题中混淆基数： · 增长率问题中，每次增长的基数都是变化后的新量，不是原始量。 · 下降率同理。 3. 销售问题中关系式列错： · 常见错误：单件利润算错（忘记减进价），或销量变化规律理解反（涨价少卖，降价多卖）。 · 要仔细分析“每降价 x 元，多售出 y 件”的含义。 4. 几何问题中单位不统一： · 注意题目中给出的长度单位是否一致，必要时进行换算。 5. 传播问题中忽略初始患者： · 第一轮传播后，总人数 = 1（初始）+ 新感染人数，即 1+x，不是 x。 6. 双重检验不完整： · 应用题必须进行双重检验：①是否为原方程的解；②是否符合实际意义。 一、单选题 1．2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有个队参加比赛，则列式，即可作答． 【详解】解：设共有个队参加比赛，依据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场，得：， 故选：D． 2．某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查连续百分比变化问题，根据连续两次降价的含义，每次降价后价格是原价的倍，两次后为原价的倍，据此列方程． 【详解】∵原价为200元，连续两次降价， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∵最终售价为128元， ． 故选：B． 3．某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据“每件盈利销售量总盈利”的等量关系列方程． 【详解】解：∵设每件休闲衫降价元， ∴可列方程为， ∴故选：D． 4．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 5．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解握手问题中存在重复计算的情况，从而正确列出方程．据此解答即可． 【详解】解：∵设这次会议到会的人数为人 ∴每个人需要和除自己外的人握手 又∵每两人之间的握手会被重复计算一次 ∴总握手次数为 ∵已知一共握了66次手 ∴依题意可列方程 故选：A． 6．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 7．《九章算术》中记载：今有户不知高、广、竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（    ） A．若设门宽为尺，则可列方程为 B．若设门高为尺，则可列方程为 C．门宽6尺 D．门对角线长8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，根据已知条件列出方程是解题的关键． 若设门宽为尺，则竿长为尺，门高为尺，列方程为：，若设门高为尺，竿长为尺，门宽为尺，列方程为，解方程即可． 【详解】解：若设门宽为尺，则竿长为尺，门高为尺， 根据题意，列方程为：， 解得或（舍去）， 则门宽为6尺，竿长为尺，门高为尺， 若设门高为尺，竿长为尺，门宽为尺， 则可列方程为， 故选项A、B、C均正确，选项D错误， 故选：D． 8．年月，第七届山西文博会在潇河国际会展中心成功举办，“文创山西”主题展区内的特色产品引发抢购热潮，某文创企业同步运营两大爆款：一是“晋魂系列”纸雕灯冰箱贴，二是“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件．“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件成本为每个元，当售价定为元时，每月可售出件，市场反馈显示，售价每提高元，月销量就会减少件，该企业希望通过销售扩香摆件实现每月元的利润，设此时的售价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点是一元二次方程的应用，具体来说是利用“利润(售价成本)销量”这一关系来建立方程，其中涉及到根据售价销量的变化，进而表示出销量的表达式，再结合成本和利润的要求列出方程． 【详解】解：设此时售价为元， 根据题意，成本为元/件，原售价元时月销量件，售价每提高元月销量减少件， 售价从元提高到元，提高了元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润(售价成本)销量， ∴可列方程：， 整理得：． 故选：A． 9．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是得出量与量之间的等量关系，建立一元二次方程，设每个支干长出的小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数为57，列出方程求解． 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 二、填空题 10．已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出方程，是解题的关键．设营养素的初始含量为，日平均分解率为，则每天后剩余含量为前一天的倍．经过天后，剩余含量为，根据题意，该值等于，从而列出方程． 【详解】解：设营养素的初始含量为，日平均分解率为，则每天后剩余含量为前一天的倍． 经过天后，剩余含量为， 根据题意得：． 故答案为：． 11．有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 12．如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 【答案】或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程，再化简求解即可． 【详解】由题意可知， 整理得， 解得或． 故答案为：或1． 13．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 14．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______．    【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 15．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则n的值为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 16．某制盒厂用一块边长为的正方形纸板制作一个长方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计）． (1)如果要做一个无盖的长方体盒子，可先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再把它折合起来（如图①所示）． ①如果，，那么长方体纸盒的底面积为______ ． ②如果，长方体纸盒的底面积为，那么纸盒的高为______ ． (2)如果要做一个有盖的长方体纸盒，可先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，再把它折合起来（如图②所示）．若，折成的有盖纸盒的所有棱长之和为，则纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)①2500    ②5 (2)纸盒的体积为 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，几何问题(一元一次方程的应用) 等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）①当，时，根据图形求出长方体纸盒的底面积； ②根据，将代入，求得； （2）根据折成的有盖纸盒的所有棱长之和为，得出．根据当时，求得，从而可求得，，从而可求得纸盒的体积． 【详解】（1）解：当，时， 长方体纸盒的底面积为， 故答案为：2500； 解：∵， 当时，， ∴， 那么纸盒的高为， 故答案为：5； （2）解：∵折成的有盖纸盒的所有棱长之和为， ∴， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴， ， ∴纸盒的体积为． 17．小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为36岁 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数字问题，掌握根据数字间的关系列方程，求解后结合实际意义检验根的合理性是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的十位数字为，根据十位与个位的数量关系表示出个位数字，再根据个位数字的平方等于该两位数列方程，求解后结合30岁时担任都督的实际条件检验，确定年龄． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是． 依题意，得， 即，解得（不合题意，舍去），， ， ， ∴周瑜去世时的年龄为36岁． 18．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价元，则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元．（用含的代数式表示） (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 【答案】(1) (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握利润=每件利润×销售量，根据题意列方程并结合实际条件取舍根是解题的关键． （1）根据每件降价1元，多售出2件，降价元则销售量增加件，原每件盈利40元，降价后每件盈利元； （2）根据每件利润×销售量=总盈利列方程，求解后结合让利于顾客的条件选择较大的降价幅度． 【详解】（1）解：每件服装降价元时，每天销售量增加件， 每件服装盈利元． （2）解：设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得，解得，． ∵需要让利于顾客， ． 故每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． 19．为提升初三学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、生成个性化错题卷．开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人．经过两周的推广与同学的分享，第三周使用云端错题本的学生数量增长至242人． (1)求每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率． (2)按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数． 【答案】(1) (2)266人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握题中的数量关系是解答本题的关键． （1）设从第一周到第三周使用云端错题本工具的学生人数平均增长率是x，根据题意列出方程，解方程即可求解 （2）按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数即可． 【详解】（1）解：设每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为x，根据题意得， 解得，，（舍） 答：每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为； （2）解：（人）     即第四周使用该工具的学生人数约为266人． 20．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一： 任务二：50元 任务三：不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 21．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 【答案】(1)①；② (2)每间客房的定价应为300元 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）根据题意求出提价后入住的房间数量，进而根据每个房间支出20元/天的维护费用求出总维护费用即可； （2）根据纯收入总收入－总维护费用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，提价后入住的房间数量为， 则提价后的总维护费用为元； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要能吸引更多的游客， ∴， ∴， 答：每间客房的定价应为300元． 22．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 学科网（北京）股份有限公司 $