17.4一元二次方程的根与系数关系2025-2026学年沪科版八年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

17.4一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理) 知识点详解 一、根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容 如果一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0)的两个根为x1、x2,那么： a米x=C a ·语言描述：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数：两根之积 等于常数项除以二次项系数。 2.定理的推导 2a,=-b- 从求根公式出发：X,=b+☑】 2a 1(其中△=b2-4ac)。 ,两根之和：X+X,=b+☑+一b-西=二2b三-b 2a 2a 2a a ,两根之积：X,X,=-b+☑.-b酒-记 2a 2a 3.特别地 一一二次项系数为1的情况 当二次项系数a=1时，方程化为x2+px+q=0的形式，此时根与系数的关系更为简洁： X1+X2=-p,X1‘X2=q 其中p是一次项系数，q是常数项。 二、应用前提条件 使用韦达定理时，必须注意以下两个前提： 1.方程必须是一元二次方程：即二次项系数a≠0。 2.方程必须有实数根：即根的判别式△=b2-4ac≥0。因为如果方程无实数根，讨论根与 系数的关系就失去了意义。 在解题时，若题目涉及字母系数且未明确说明根的情况，应优先考虑判别式的限制。 三、常见应用题型 1.已知一根，求另一根及参数值 这是最直接的应用。设已知一根为X,另一根为x:利用xx=。可求出 C X,再利用X+X,=-b可求出参数。 a 2.求与两根有关的代数式的值 常见的对称式（即交换x1和X2后值不变的式子）都可以用x1+x2和x1X2表示： 常见代数式用x1+X2和x1X2表示 x+x=G 1+1=x+x2 X1 X2 X1X2 1+1=id Xi X2 x+x=乙 X2+XI-il X1 X2 (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1 3.己知两根的关系，求参数的值 给出两根之间的某种关系（如x1=2x2,x+x2=5等），结合韦达定理和判别式，可以列 出方程组求出参数。 4.构造新的一元二次方程 已知两个数Q、B,以它们为根的一元二次方程（二次项系数为1）为 x2-(a+B)x+c3=0 如果二次项系数不为1，可乘以适当的常数。 四、典型例题精析 例1：已知一根求另一根及参数 己知方程2X+x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。 解： 设另一个根为X2。根据根与系数关系： 2%=23x=月 2 2*%=冬-2-3分资-k=-1 所以另一个根为多k=-1。 例2：求代数式的值 设x1、X2是方程2x2-4x-1=0的两个根，求下列各式的值： (1)+(2)x+(3)8 X1 X2 解： 首先由韦达定理得X+%=-=2,名=号-号 1+1=X+X=2=-4 (1)x2x1x2-1 2 (2)x1+x=( (3) 例3：已知两根关系求参数 己知关于×的方程x2-(k+1)x+k2+1=0的两个实数根的平方和为5，求k的值。 解： 1.设两根为X1、X2,则： X1+X2=k+1,X1X2=k2+1 2.由题意：x+x=5 i 代入得： k2+2k+1-2k2-2=5 -k2+2k-1=5 -k2+2k-6=0 k2-2k+6=0 3.解此方程：△=d,无实数解。 4.检验原方程有实数根的条件： 原方程判别式△= 需要△≥0，即-3k2+2k-3≥0，此不等式无实数解（开口向下，判别式小于0）。 5.综上所述，不存在满足条件的k。 例4：构造新方程 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是2+3和2-3。 解：设所求方程为x^2+px+q=0。 x1+x2=(2+3)+(2-3)=4-p=-4 x1x2=(2+3)(2-3)=4-3=1→g=1 所以所求方程为x^2-4x+1=0。 五、易错点警示 1.忽略使用前提： ·忘记△≥0的检验：在求参数范围时，求出参数后必须验证判别式是否非负，否则可能 产生增解。 ·忽略a≠0：含参数方程若未明确是一元二次方程，需考虑=0的情况。 2.符号错误： ·两根和公式X+X=一 b ,容易忘记负号。 ·代入系数时，b、c的符号要带进计算。 3.公式变形错误： ·如x+x=d,常误写成就 ·,常漏掉系数4。 4.构造方程时符号混乱： ·以Q、β为根的方程为x2-(a+B)x+cB=0,注意和是减号，积是加号。 一、单选题 1,1 1.设×，是方程x2-2x-1=0的两个实数根，则xx2的值为() A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.设，b发 2+x-2025=0 是方程 的两个实数根，则口+2a+b 的值为() A.2025 B.2026 C.2023 D.2024 3.已知m,n是方程r-x-2=0 2024-m2+3m+2n 的两个根，则 的值为() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 4。若关于x的一元二次方程-mr-n=0的两个实数根都是正数，则点m, 在平面直角 坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5已知-元二次方程+2+c=0的两很分数是=-。怎=3 ，,则一元二次方程 2x2-cx+2b=0 的根为() 1 A.2-2 82 C. 。合2 6.已知一元二次方程-3x-5=0的两根为，，则+6-5的值为() A.2 B.-2 C.8 D.-8 7、若关于的一元二次方程的两个根为=26=3， 则这个方程是() A. x2+5x+6=0 8. x2+5x-6=0 c.r-5x+6=0 D.-5x-6=0 a 8.已知一元二次方程ax2+bx+c=0,当b=0时方程的两根分别是2nH和n-4,则Vc 的值为（) 1 A.3 B.3 C.3 9.已知=引是关于”的一元二次方程 2+2x+a=0 的一个实数根，则方程的另一个根是 () A.-3 B.-2 C.1 D.2 二、填空题 10.若长方形的长和宽分别是方程-5x+6=0。 的两根，则长方形的周长是，面积 是一 +1 11.已知m+3m-5=0'㎡+3n-5=0:且m≠n则 n m 12.设×，力是方程2-3x-3=0的两个实数根，则无+5的值为 a,b 13.已知是方程 x2-3x-8=0 的两个实数根，则代数式a-4ab+b 的值为一 14.设a,B是方程r-2025x-3=0的两个根，则a-2025a-川B-2025B+2= 三、解答题 15.已知关于x的一元二次方程mr+2(m+1x+m-1=0有两个不相等的实数根。 (1)求m的取值范围； 2若该方程的两个实数根分别为×、七，且+=-1，求m的值。 16.已知关于的一元二次方程-4r+c+3=0 两个不相等的实数根. (1)若该方程的一个实数根为-1，求另一个实数根m及C的值. 1,1 =C (2)若该方程的两个不相等的实数根为a和B,且aB,求c的值. 17.设，是一元二次方程2r-3x+1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式 的值： +写 2)-x2 18.已知关于x的一元二次方程-(2k+x+2+k=0 (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根： 2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值。 19.已知关于的一元二次方程-2x-3m=0 若此方程的根为X与，当m=l时，求++的值： (2)求证：对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根： 20.如果关于'的方程-2m+1y+m=2 的两根之和与两根之积互为相反数.求”的 值. 21,已知关于”-元二次方程-2x+k+1=0有两个不相等的实数根。 (1)求k的取值范围： 2若，西是原方程的两个根，且2+=（°，求k的值。 17.4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 知识点详解 一、 根与系数的关系（韦达定理） 1. 定理内容 如果一元二次方程那么： · 语言描述：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数。 2. 定理的推导 从求根公式出发：。 · 两根之和： · 两根之积： 3. 特别地——二次项系数为1的情况 当二次项系数 a = 1 时，方程化为 的形式，此时根与系数的关系更为简洁： 其中 p 是一次项系数，q 是常数项。 二、 应用前提条件 使用韦达定理时，必须注意以下两个前提： 1. 方程必须是一元二次方程：即二次项系数。 2. 方程必须有实数根：即根的判别式。因为如果方程无实数根，讨论根与系数的关系就失去了意义。 在解题时，若题目涉及字母系数且未明确说明根的情况，应优先考虑判别式的限制。 三、 常见应用题型 1. 已知一根，求另一根及参数值 这是最直接的应用。设已知一根为可求出 可求出参数。 2. 求与两根有关的代数式的值 常见的对称式（即交换后值不变的式子）都可以用表示： 常见代数式 用表示 3. 已知两根的关系，求参数的值 给出两根之间的某种关系（如等），结合韦达定理和判别式，可以列出方程组求出参数。 4. 构造新的一元二次方程 已知两个数，以它们为根的一元二次方程（二次项系数为1）为 如果二次项系数不为1，可乘以适当的常数。 四、 典型例题精析 例1：已知一根求另一根及参数 已知方程的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。 解： 设另一个根为 。根据根与系数关系： 所以另一个根为。 例2：求代数式的值 设的两个根，求下列各式的值： （1）（2）　（3） 解： 首先由韦达定理得 （1） （2） （3） 例3：已知两根关系求参数 已知关于 x 的方程的两个实数根的平方和为 5，求 k 的值。 解： 1. 设两根为 ，则： 2. 由题意： 代入得： 3. 解此方程：，无实数解。 4. 检验原方程有实数根的条件： 原方程判别式 需要 ，此不等式无实数解（开口向下，判别式小于0）。 5. 综上所述，不存在满足条件的 k。 例4：构造新方程 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是。 解：设所求方程为 x^2 + px + q = 0。 所以所求方程为 x^2 - 4x + 1 = 0。 五、 易错点警示 1. 忽略使用前提： · 忘记 的检验：在求参数范围时，求出参数后必须验证判别式是否非负，否则可能产生增解。 · 忽略：含参数方程若未明确是一元二次方程，需考虑 a=0 的情况。 2. 符号错误： · 两根和公式，容易忘记负号。 · 代入系数时，b、c 的符号要带进计算。 3. 公式变形错误： · 如 ，常误写成 · ，常漏掉系数4。 4. 构造方程时符号混乱： · 以为根的方程为，注意和是减号，积是加号。 一、单选题 1．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分式的化简求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再把分式进行通分化简，最后代入求值即可． 【详解】，是方程的两个实数根， ，， ． 故选D． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，将表达式变形后整体代入求值． 【详解】是方程的实数根， ，即， 又，是方程的两个实数根， 由根与系数关系得：， ， 故选． 3．已知m，n是方程的两个根，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，由m是方程的根，可得，代入原式化简为，再根据方程根与系数的关系，即可求值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， 即， ∴ 又∵ m， n是方程的两个根， ∴， ∴ 原式， 故选C． 4．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用一元二次方程根与系数的关系判断出m和n的符号，从而确定点所在象限． 【详解】解：设方程的两个实数根为，，且，， 则，，， 所以，， 所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限， 故选：D． 5．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据根与系数的关系得到，，求出，，然后代入利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是，， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴ 解得，． 故选：D． 6．已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 7．若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根为， 则对于一元二次方程， ， 即， ∴关于的一元二次方程为． 故选：C． 8．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程的两根分别为、，则，是解决问题的关键．当时方程的两根分别是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解． 【详解】解：∵当时方程的两根分别是和， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 9．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 二、填空题 10．若长方形的长和宽分别是方程的两根，则长方形的周长是______，面积是______． 【答案】 10 6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和长方形的性质，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 设长方形的长和宽分别为方程的两根，根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可得到周长和面积． 【详解】解：设长方形的长为p，宽为q，则p和q是方程的两个根． 由根与系数的关系，得，． 故周长为，面积为． 故答案为：10，6． 11．已知，，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，由题意可知，m 和 n 是方程的两个根，根据根与系数的关系求出和的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴ m 和 n是方程的两个根． ∴，． ∴ ． 故答案为：． 12．设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，掌握先对代数式因式分解，再利用韦达定理代入计算是解题的关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 13．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值． 根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 14．设，是方程的两个根，则________． 【答案】10 【分析】利用方程根的定义，将根代入方程得到关于和的等式，再对所求代数式进行整体代换，最后结合韦达定理完成计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 因此． 同理，也是方程的根， ∴． 因此． 于是，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入思想，解题关键是利用根的定义对代数式进行降次与代换，避免直接求解方程根的复杂计算． 三、解答题 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根及的值． (2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，判别式的应用，掌握韦达定理的内容，以及用判别式检验根的存在性是解题的关键． （1）利用韦达定理，由两根之和求另一根，再由两根之积求的值． （2）利用韦达定理表示两根和与积，代入的表达式，列方程求，再用判别式检验根的情况． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ，． 当时，，符合题意． （2）解：∵方程的两个不相等的实数根为和， ，， ，解得，．经检验，，都为原分式方程的根． 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）． 综上，的值为． 17．设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，． 原式 ． （2）解：由题意，得，． 原式 ． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及矩形的性质，熟练掌握判别式的计算和根与系数的关系是解题的关键． （1）先写出一元二次方程的系数，再计算判别式，判断其符号． （2）先利用根与系数的关系得到和，再结合矩形对角线与边长的勾股定理关系，建立关于的方程，最后求解并检验． 【详解】（1）证明：∵方程为 ∴， ， ， ∵， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∵矩形对角线长为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵矩形边长为正数，即， ∴，， ∴， ∴． 19．已知关于的一元二次方程． (1)若此方程的根为与，当时，求的值； (2)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； 【答案】(1) (2) 证明见解析 【分析】本题考查了方程的根与系数的关系，根的判别式， （1）根据根与系数的关系求出与，然后代入求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出，即可得证． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵此方程的根为与， ∴，， ∴． （2）证明：方程 的判别式 ， 变形得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根． 20．如果关于的方程的两根之和与两根之积互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及判别式的应用．先将方程化为标准形式，再根据两根之和与两根之积互为相反数列出方程求解，最后利用判别式检验，即可求解． 【详解】解：方程化为 设两根为，，则， 由题意， ∴ 解得或 又判别式 ∴ 因此 21．已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是原方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根，列不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，进而列方程求得k值，结合k的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：； ． ， 方程有两个不相等的实数根 ， 解得：； （2）解：由根与系数的关系得：， ， ，即， 解得：， 的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $