17.1 一元二次方程 2025-2026学年沪科版八年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

17.1 一元二次方程 知识点详解 一、 一元二次方程的定义 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 · 关键词解析： · 一个未知数：如 x、y 等，只能有一个。 · 最高次数是2：方程中未知数的指数最大为2。 · 整式方程：等号两边都是整式（分母中不能含有未知数，根号内不能含有未知数）。 · 示例： ·是一元二次方程。 ·不是整式方程（分母含未知数），故不是一元二次方程。 ·含有两个未知数，不是一元二次方程。 · 最高次数是3，不是一元二次方程。 2. 一般形式 一元二次方程经过整理，都可以化为如下形式：) 其中： ·称为二次项，a 称为二次项系数； · 称为一次项，b 称为一次项系数； · c 称为常数项。 注意： · 是定义的关键，因为如果 a = 0，方程就变为 bx + c = 0，是一元一次方程。 · b、c 可以为任意实数（包括0）。 · 通常将方程化为一般形式，且习惯将二次项系数化为正数。 二、 一元二次方程的解（根） 1. 定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 2. 检验方法 将未知数的值代入方程左边，计算看是否等于右边（通常为0）。若相等，则是方程的根；否则不是。 3. 示例 判断 x = 2 是否是方程的根。 解：将 x=2 代入左边：，等于右边，所以 x=2 是方程的根。 三、 列一元二次方程（建模） 将实际问题转化为一元二次方程，通常遵循以下步骤： 1. 审题：分析题意，找出已知量与未知量，明确等量关系。 2. 设元：设合适的未知数（通常为 x）。 3. 列方程：根据等量关系，列出含有未知数的等式，并整理成一般形式。 常见类型： · 面积问题（如矩形长宽关系、正方形边长等）。 · 增长率问题（如平均增长率公式）。 · 数字问题（如两位数、连续整数等）。 · 运动问题（如勾股定理应用）。 四、 典型例题精析 例1：判断是否为一元二次方程 下列方程中，哪些是一元二次方程？请说明理由。 （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）不是，因为分母中含有未知数，不是整式方程。 （2）不是，含有两个未知数 x、y。 （3）先整理：左边 =，则方程为，移项得 x - 5 = 0，是一元一次方程，不是一元二次方程。 （4）是，它可化为，满足，是一元二次方程。 （5）不一定，只有当 时才是，若 a=0 则不是。 例2：将方程化为一般形式，并指出各项系数 将方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 解： 去括号： 移项合并： 所以一般形式为。 其中二次项系数 a = 2，一次项系数 b = -5，常数项 c = -1。 注意：系数要带符号。 例3：根据方程的解求参数 已知关于 x 的一元二次方程有一个根是 0，求 m 的值。 解： 把 x=0 代入方程得： 即，解得。 但原方程是一元二次方程，二次项系数 。 所以 m = -1。 五、 易错点警示 1. 忽略的条件： · 在判断含参数的一元二次方程时，必须保证二次项系数不为0。 2. 化简前先整理： · 判断一个方程是否为一元二次方程，要先化简整理，不能只看表面形式。如例1(3)，化简后可能是一次方程。 3. 系数符号遗漏： · 在写一般形式及各项系数时，要连同符号一起写。例如中一次项系数是 -5，不是5。 4. 实际问题中单位与取值范围： · 列方程时要注意单位统一，且根据实际意义，未知数可能有限制（如边长>0）。 一、单选题 1．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 2．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要确定二次项系数，一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．一元二次方程的一般形式是∶（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先将方程化为一般形式 ，再确定系数． 【详解】解：， 原方程化为 ， 移项得 ， 二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为． 故选：C． 3．一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键，由于是方程的一个根，代入方程可得到关于a的方程；同时方程为一元二次方程，则，从而得到a的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴， ∴或， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：B． 7．下列方程中，是关于的一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查识别一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程为一元二次方程逐一判断即可． 【详解】A、，这里没有说明，如果时，方程不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、经整理后为，化简后未知数的最高次数是，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、，经整理后为，该方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是，同时它也是整式方程，所以它是一元二次方程，该选项符合题意； D、，方程中含有分式 和，它是分式方程，不是整式方程，因此也不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 8．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为． 【详解】解：当时，，所以若，则一元二次方程一定有一个根为． 故选：A． 二、填空题 9．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12．定义新运算：，例如：，若关于的方程的一个根是，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据新定义，列出一元二次方程，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故答案为：． 13．如果方程是一元二次方程，那么m的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，再求解即可． 【详解】方程是一元二次方程， 所以且， 解得． 故答案为：2． 14．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 16．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 分三种情况讨论，求出的值即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 17．已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 18．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 20．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 21．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $17.1一元二次方程 知识点详解 一、一元二次方程的定义 1.定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 ·关键词解析： ·一个未知数：如x、y等，只能有一个。 ·最高次数是2：方程中未知数的指数最大为2。 ·整式方程：等号两边都是整式（分母中不能含有未知数，根号内不能含有未知数）。 ·示例： ·2x2-3x十1=0是一元二次方程 ·x2+袁=0不是整式方程（分母含未知数），故不是一元二次方程。 ·2+y2=1含有两个未知数，不是一元二次方程。 ·x3-2x十1=0最高次数是3，不是一元二次方程。 2.一般形式 一元二次方程经过整理，都可以化为如下形式：ax2+bx十c=0（a≠0) 其中： ·ax2称为二次项，a称为二次项系数； ·bx称为一次项，b称为一次项系数； ·c称为常数项。 注意： ·a≠0是定义的关键，因为如果a=0,方程就变为bx+c=0,是一元一次方程。 ·b、c可以为任意实数（包括0）。 ·通常将方程化为一般形式，且习惯将二次项系数化为正数。 二、一元二次方程的解（根) 1.定义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元 二次方程的根。 2.检验方法 将未知数的值代入方程左边，计算看是否等于右边（通常为0）。若相等，则是方程的根： 否则不是。 3.示例 判断x=2是否是方程x2-5x十6=0的根。 解：将x=2代入左边：22-5×2+6=4-10+6=0，等于右边，所以x=2是方程的 根。 三、列一元二次方程（建模) 将实际问题转化为一元二次方程，通常遵循以下步骤： 1.审题：分析题意，找出己知量与未知量，明确等量关系。 2.设元：设合适的未知数（通常为x)。 3.列方程：根据等量关系，列出含有未知数的等式，并整理成一般形式。 常见类型： ·面积问题（如矩形长宽关系、正方形边长等)。 ·增长率问题（如平均增长率公式）。 ·数字问题（如两位数、连续整数等）。 ·运动问题（如勾股定理应用)。 四、典型例题精析 例1：判断是否为一元二次方程 下列方程中，哪些是一元二次方程？请说明理由。 (1)3x2-袁=5 (2)2x2-3xy+y2=0 (3)(x-1x+2=x2+3 (4)4x2=0 (5)ax2+bx+c=0 解：(1)不是，因为分母中含有未知数，不是整式方程。 (2)不是，含有两个未知数x、y (3)先整理：左边=x2+2x-x-2=x2+X-2,则方程为x2十x-2=x2+3,移项 得x-5=0,是一元一次方程，不是一元二次方程。 (4)是，它可化为4x2+0x+0=0,满足a≠0，是一元二次方程。 (5)不一定，只有当a≠0时才是，若a=0则不是。 例2：将方程化为一般形式，并指出各项系数 将方程2x(x-1)=3(x+2-5化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次 项系数和常数项： 解： 去括号：2x2-2x=3x+6-5 移项合并：2x2-2x-3x-1=0→2x2-5x-1=0 所以一般形式为2x2-5x-1=0。 其中二次项系数a=2,一次项系数b=-5,常数项c=-1。 注意：系数要带符号。 例3：根据方程的解求参数 已知关于×的一元二次方程(m一1x2+2x+m2-1=0有一个根是0，求m的值。 解： 把=0代入方程得： m-1)×02+2×0+m2-1=0 即m2-1=0,解得m=士1。 但原方程是一元二次方程，二次项系数m一1≠0，即m≠1。 所以m=-1。 五、易错点警示 1.忽略a≠0的条件： ·在判断含参数的一元二次方程时，必须保证二次项系数不为0。 2.化简前先整理： ·判断一个方程是否为一元二次方程，要先化简整理，不能只看表面形式。如例1(3)， 化简后可能是一次方程。 3.系数符号遗漏： ·在写一般形式及各项系数时，要连同符号一起写。例如2x2-5x一1=0中一次项系 数是5，不是5。 4.实际问题中单位与取值范围： ·列方程时要注意单位统一，且根据实际意义，未知数可能有限制（如边长>0）。 一、单选题 1.若a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a3+2a+2026的值为（) A.2025 B.-2025 C.2026 D.-2026 2.将一元二次方程3x2=-2x+√4化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 () A.3,-3,4 B.3,2,2 C.3,2,-2 D.3,2,±2 3.一元二次方程x2-2(x-1)=2的一般形式是() A.x2-2x+1=0B.x2-2x-1=0 C.x2-2x=0 D.x-1=0 4.下列方程中是关于x的一元二次方程的是() AR+是-0 B.ax2+bx+c=0 C.x-1x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0 5.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a-1=0的一个根是0，则a的值为() A.1 B.0 C.-1 D.1 6.若m是一元二次方程x2-5x-1=0的一个实数根，则2025-2m2+10m的值是() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 7.下列方程中，是关于x的一元二次方程的为() A.ax2+bx+c=0 B.x2+2x=x2-1 C.3x2+1=3x+1 0+20 8.已知一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)，若9a-3b+c=0,则该方程一定有一个根为() A.-3 B.3 C.3 D.不能确定 二、填空题 9.关于x的一元二次方程(m-1x2+m2x=x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 10.已知m是一元二次方程x2+2x-1=0的一个根，则9-2m2-4m的值是 11.若关于x的一元二次方程a-1x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a= 12.定义新运算：a⑧b=a2-ab,例如：2⑧3=22-2×3=-2，若关于x的方程 x⑧2-n=0的一个根是5，则的值为， 13.如果方程(m+2x2+(m-2x-3=0是一元二次方程，那么m的值为 14.“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这是 我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释.对于一些特殊的方程，我 们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，己知关于x的一 元二次方程x2-4x+c=0和一元一次方程2x-6=0为“相伴方程”，则c的值为 三、解答题 5,已知m是方程-x-5正0的一个根，求代数式”一2m+÷m的值 m 16.若方程(k-3x-2+x2+kx+1=0是关于x的一元二次方程，求k的值. 17.己知关于x的方程m2-4x2+(m-2)x+5=0. (1)当m满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 18.已知a是方程2x2-3x-1=0的一个根，求代数式2a(2a-3)+1的值， 19.已知a是方程x2-2004x+1=0的-个根，试求a2-2003a+2004 的值 a2+1 20.已知关于x的方程ax2-x=2x2-ax-3. (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项 及二次项系数和一次项系数， (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值. m-3 21.先化简，再求值： ÷m+2- 5 m2-2m 其中m是方程x2+3x-3=0的根. m-2