16.2 二次根式的运算 2025- 2026学年沪科版八年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

16.2二次根式的运算 知识点详解 一、二次根式的加减运算 1.理论依据二次根式的加减运算，实质是合并同类二次根式，类似于整式中的合并同类 项。 2.运算步骤 化简：将各个二次根式化为最简二次根式。 判断：找出其中的同类二次根式（即化简后被开方数相同的根式）。 合并：将同类二次根式的系数相加减，根指数和被开方数保持不变。 整理：将结果按一定顺序（通常系数在前，根式在后）写出。 3.运算法则aVm+bVm-cVm=(a+b-c)Vm(m≥0) 4.示例 计算： (1)3V2+4V2-5V2=(3+4-5)V2=2V2 (2)8+18-V50 化简：8=2V2,V18=32,50=52 原式=2V2+32-5V2=0 5.注意事项 ·只有同类二次根式才能合并，不同类的保留原样。 ·合并时，系数相加减，根式部分不变。 结果必须化为最简形式。 二、二次根式的乘除运算 1.乘法法则Va.Vb=ab(a≥0，b≥0) 推广：aVb·Vc=Vabc(a,b,c≥0) 2.除法法则 a_ga( 6=76a≥0，b>0) 3.运算步骤 系数与系数相乘除：如果根号外有系数，先将系数相乘除。 根号与根号相乘除：被开方数相乘除，根指数不变。 化简：将结果化为最简二次根式。 4.示例 (1)23×36=(2×3)V3×6=6V18=6×3V2=18V2 (2)12÷3=12÷3=4=2 (3) 415_415=23 2V52Y5 三、分母有理化 1.定义把分母中的根号化去，叫做分母有理化。通常将分子、分母同乘以一个适当的因 式（称为有理化因式），使分母变为有理式。 2.常见类型的有理化因式 分母形式 有理化因式 依据 a a±Vb a干V6 (Va+Vb)(a-Vb)=a-b a±Vb a干Vb (a+VB)(a-RB)=a2-b 3.示例 1 1×2_2 (1)22x22 2 (2)3-1有理化因武3+1 2(3+1) _2(3+1=3+1 (3-1)(3+1)广3-1 5 (3) 5+2:有理化因式5-2 5(5-2)-5-10_5-10 (5+V2)(5-V2)5-23 4.注意事项 ·有理化时要选择正确的有理化因式，确保分母化为有理数。 ·分子乘以后需化简，最终结果应为最简二次根式。 四、二次根式的混合运算 1.运算顺序与实数混合运算顺序一致： ·先乘方（包括根式可视为乘方的一种），再乘除，最后加减： ·有括号先算括号内的： ·同级运算从左到右依次进行。 2.运算律的应用 有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在二次根式运算中仍然适用，可简化计算。 3.完全平方与平方差公式的应用 在二次根式运算中，乘法公式同样适用： d 其中a,b可以是二次根式。 4.示例 (1)计算：(3+V2)(3-2)=d (2)计算：乙 (3)计算：(2V3+3V2)×6 利用分配律：23×6+32×V6=218+3V12=2×32+3×2只3=62+6V3 5.化简结果要求 运算结果必须化为最简二次根式，且分母中不含根号（即已分母有理化）。 五、典型例题精析 例1：加减混合运算 计算：12+27-/48+1 3 解：先化简各项： 2=23,27=353,48=43,3=3 原式-23+33-43+3=2+3-4)3+3=3+ 343 3 3 3-3 例2：乘除混合运算 计算：18×20÷8 解：原式= V18×20 18×20 8 8 360=V45=35。 例3：分母有理化与化简 23 3V2 计算： 6-26+只V2 解：先分别有理化： 第 项 23(6+V2) 23(6+2)_23(6+2)_3(6+V2)_V18+6_32+V6 (V6-2)(V6+2) 6-2 2 2 2 第 二 项 32(6-2)-32(6-只2)_32(6-2)_312-3×2_63-6_33-3 (V6+2)(V6-2) 6-2 4 4 4 2 原式 32+6_3V3-3_32+V6-33+3 2 2 例4：利用乘法公式简化运算 计算：(25+32)(2V5-32) 解：原式= 例5：求值问题 已知x=3+1,求x2-2x+3的值。 解： x2= 则x2-2x+3=(4+2V3)-2(3+1)+3=4+23-2V3-2+3=5。 六、易错点警示 1.加减运算中合并错误： ·误将不同类二次根式合并，如2+3=5（错误）。 ·系数合并时符号出错，尤其涉及减法时。 2.乘除运算中忽略化简： ·乘除后结果未化简，如8×2=16=4已经是最简，但有人会保留16不化简。 ·忘记将根号外系数与根号内因式正确合并。 3.分母有理化错误： 有里化因心送择错误，知3一分子分母乘以3+1正确，但有人会乘3-1号致 分母仍含根号。 ·分子乘后未化简或化简不彻底。 4.混合运算顺序错乱： ·先加减后乘除，或不遵守括号优先，导致结果错误。 5.公式应用忽视条件： ·使用ab=VaVb时未保证a,b非负，导致符号错误。但初中阶段通常默认字母使根式 有意义，仍需注意。 6.结果未化为最简二次根式： ·最终结果中分母仍含根号，或被开方数还含有能开方的因数。 一、单选题 1.下列各组根式是同类二次根式的是() i A.√5和V18 B.√8和V2 c.Vab和Vab D.a+l和a-司 2.若一个三角形的三边长分别是2cmV48cm,V75cm,则此三角形的周长为（) A.9 V3cm B.103cm C.11 3em D.12/3cm 3.下列计算正确的是() A.3+2V2=5V2 B.2+V3=V5 C.4v3-3V5=√5 2-0=6-N5 D.2 4.若m=6+1,”=v6-1,则m-的值为（) A.14+4V6 B.7+4V6 c.4V6 D.2V6 20cm2 5.如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为 ,相邻 两张正方形纸片的边长均相差l©m,则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差 () A.(21+45jcmB.(21-45cm2c.42cm D.8v5cm2 6。对于实数”，”，规定一种新运算※，mn=血-mV厅，创如 2※18=√2-218=√2-6√2=-5√2 则3※27=() A.-8V5 8.85 c.7V2 0.7 1 7.一个等腰三角形的两边长分别为8和√2，那么这个等腰三角形的周长为() A.75或85 8.7V5 c.55或65 D.8V2 i 1 8.在二次根式√5，√45，V5,V50中，与√5是同类二次根式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.对于实数“，b,设mina,6表示a,b两个数中的较小数，例如： min3,-5=-5 已知mm30.d=a,mimy50.A=50,且u和6为两个连续的正整数，则25 Va的 值为() 6v10 1210 65 A.10 B.5 C.5 D.5 10.在化简3 时，甲、乙两位同学化简的方法分别是() 明.原式3x2 3x3 2×3 乙：原武3V5x -3x6-6 3 下列说法正确的是() A.甲、乙两种方法均正确 B.甲方法正确，乙方法错误 C.甲方法错误，乙方法正确 D.甲、乙两种方法均错误 二、填空题 11.不等式2W5x-6>0的解集是 12.若三角形的一边长为3W5,面积为186 则这条边上的高为 13.已知x=1-5,则代数式6+25+1+⑤x+5 的值是一 14.已知=5+5,5=5-5，则+店的值为 15.已知6-2的小数部分b-2-万，如果用“表示它的整数部分，那么b-3b-4 的 值是一 三、解答题 16.我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边 长分别为 ,,则其中三角形的面积S 古希腊几何学家海 ab.c 伦提出如哭设刀-a+tC,那么其三角形输面积5=0八p-42-bp-日，这个公式促 a=5,b=6,c=7 是海伦公式，也被称为海伦一秦九韶公式.若 ,求三角形的面积. 17.计算： mw厚a5。 密 ( 18.计算： am6+-2-3 2-+3-x-{周+6- 19.如图，李明家有一块长方形空地4BCD,长BC为V72m,宽AB为V52m. 现要在空 地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓.其中长方形水池的长为 (而+m,宽为而-m D B (1)求长方形空地ABCD的周长. (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg,且可产草莓15kg/m 若李明家将所种的草莓全 部销售完，则销售收入为多少元？ 1 20.已知3+22”y3-22,求下列代数式的值. )++2 2G+G 2江已知a6-5=0,求代收式2。-小20 a+b 的值。 16.2 二次根式的运算 知识点详解 一、 二次根式的加减运算 1. 理论依据 二次根式的加减运算，实质是合并同类二次根式，类似于整式中的合并同类项。 2. 运算步骤 化简：将各个二次根式化为最简二次根式。 判断：找出其中的同类二次根式（即化简后被开方数相同的根式）。 合并：将同类二次根式的系数相加减，根指数和被开方数保持不变。 整理：将结果按一定顺序（通常系数在前，根式在后）写出。 3. 运算法则 4. 示例 计算： （1） （2） 化简： 原式 = 5. 注意事项 · 只有同类二次根式才能合并，不同类的保留原样。 · 合并时，系数相加减，根式部分不变。 · 结果必须化为最简形式。 二、 二次根式的乘除运算 1. 乘法法则 推广： 2. 除法法则 3. 运算步骤 系数与系数相乘除：如果根号外有系数，先将系数相乘除。 根号与根号相乘除：被开方数相乘除，根指数不变。 化简：将结果化为最简二次根式。 4. 示例 （1） （2） （3） 三、 分母有理化 1. 定义 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。通常将分子、分母同乘以一个适当的因式（称为有理化因式），使分母变为有理式。 2. 常见类型的有理化因式 分母形式 有理化因式 依据 3. 示例 （1） （2）：有理化因式 （3）：有理化因式 4. 注意事项 · 有理化时要选择正确的有理化因式，确保分母化为有理数。 · 分子乘以后需化简，最终结果应为最简二次根式。 四、 二次根式的混合运算 1. 运算顺序 与实数混合运算顺序一致： · 先乘方（包括根式可视为乘方的一种），再乘除，最后加减； · 有括号先算括号内的； · 同级运算从左到右依次进行。 2. 运算律的应用 有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在二次根式运算中仍然适用，可简化计算。 3. 完全平方与平方差公式的应用 在二次根式运算中，乘法公式同样适用： 其中 a,b 可以是二次根式。 4. 示例 （1）计算： （2）计算： （3）计算： 利用分配律： 5. 化简结果要求 运算结果必须化为最简二次根式，且分母中不含根号（即已分母有理化）。 五、 典型例题精析 例1：加减混合运算 计算： 解：先化简各项： 原式 = 例2：乘除混合运算 计算： 解：原式 = 例3：分母有理化与化简 计算： 解：先分别有理化： 第一项： 第二项： 原式 = 例4：利用乘法公式简化运算 计算： 解：原式 = 例5：求值问题 已知的值。 解： 则 六、 易错点警示 1. 加减运算中合并错误： · 误将不同类二次根式合并，如（错误）。 · 系数合并时符号出错，尤其涉及减法时。 2. 乘除运算中忽略化简： · 乘除后结果未化简，如已经是最简，但有人会保留 不化简。 · 忘记将根号外系数与根号内因式正确合并。 3. 分母有理化错误： · 有理化因式选择错误，如 正确，但有人会乘 导致分母仍含根号。 · 分子乘后未化简或化简不彻底。 4. 混合运算顺序错乱： · 先加减后乘除，或不遵守括号优先，导致结果错误。 5. 公式应用忽视条件： · 使用时未保证 a,b 非负，导致符号错误。但初中阶段通常默认字母使根式有意义，仍需注意。 6. 结果未化为最简二次根式： · 最终结果中分母仍含根号，或被开方数还含有能开方的因数。 一、单选题 1．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 2．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：三角形的周长 ． 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 5．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【详解】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 6．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的运算，理解新定义运算和掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据定义将给定的实数代入规定的新运算公式，再利用二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 7．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 【详解】解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 8．在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题关键． 将各二次根式化简为最简形式，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式． ∴ 与是同类二次根式的有个. 故选：B． 9．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 10．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 二、填空题 11．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的一元一次不等式的求解，关键是掌握一元一次不等式的基本解法以及二次根式的化简方法．先通过移项将常数项移到不等式右侧，再将的系数化为1，最后对含二次根式的分式进行化简得到解集． 【详解】解：不等式，移项得， ∴两边同时除以，得， 故； 故答案为：． 12．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 【详解】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 13．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、乘法公式，解题的关键是熟练掌握应用乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则． 将代入代数式，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可． 【详解】解：把代入代数式得， 原式 ． 故答案为：． 14．已知，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值． 【详解】解： ． 故答案为：10． 15．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定，代数式求值，提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 根据的小数部分确定的整数部分，再代入表达式计算． 【详解】解：的小数部分， ， 故整数部分，小数部分 代入： 原式 故答案为：． 三、解答题 16．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法； 根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可． 【详解】解：由题意知：， 则三角形的面积 ． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、乘方、零次幂、负整数指数幂的运算，熟练掌握各类运算的法则和二次根式的化简是解题的关键． （1）先分别计算算术平方根、平方运算，再进行加减运算即可； （2）先分别计算乘方、零次幂、负整数指数幂和二次根式，再进行有理数的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 20．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 21．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $