专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理中点模型知识体系，涵盖直角三角形斜边中线（单/双中线）、中位线（三角形/梯形）、中点四边形（平行四边形/矩形/菱形/正方形）三类模型，以条件-结论-证明的逻辑呈现，突出模型间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“真题现模型-提炼模型-模型运用”的递进设计，如2025四川德阳中考题结合中点四边形性质考查，通过基础例题（单中线应用）到综合题（动点与中位线最值）分层训练，培养学生推理能力与模型意识，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：连接交于点，取的中点，连接，，， ∵，，∴， ∵，∴，，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故选：A． （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】如图：连接，交于点O，因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵，∴，∴四边形是菱形． ∴，，∴， ∵四边形面积为，，∴，解得 ．∴ 在中 ．故选：B． 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【答案】/45度 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，是等腰直角三角形，∴． ∵，，∴，， ∵在直角和直角中，和都和互余，∴， ∵，∴点F是中点，是直角的中线， ∴，∴，∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，，，交于点O，于点E，连接，则长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：在菱形中，，，， ，，， ，，，故选：B． 例3（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，．若，分别是，的中点，，则 ． 【答案】 【详解】解：、分别是、的中点，是的中位线， ，，在中， ，是边上的中点，．故答案为：． 例4（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，相交于点，点，分别是，的中点，若，那么＝ 度．    【答案】10 【详解】解：连接，， 在四边形中，，是的中点，． 点是的中点，是线段的垂直平分线，． ，，．故答案为：10．    例5（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，、相交于点，点、分别是、的中点，若，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点，∴AH=CH=BD． ∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH=90°． ∵∠BEC=80°，∴∠GEH=∠BEC=80°，∴∠GHE=90°-80°=10°．故选：B．    例6（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，在中，，，，    是斜边的中点，， 是的斜边上的中点，且，， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 则的最小值为，故答案为：． 模型2.中位线模型 例1（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，取格点、，由网格的性质可知，，    ，，、分别是、的中点， 是的中位线，，故选：B． 例2（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 【答案】35 【详解】解：延长线段交于，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵是的边的中点，∴， ∴的周长是．故答案为：35． 例3（2025·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：连接并延长交于P，连接， ∵四边形是矩形，∴，∵点E，F分别是边的中点，， ∴，，∵，∴， 在与中，，∴， ∴，∴，∴， ∵点M是的中点，∴．故选：C． 例4（2025·湖南·校考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【答案】 【详解】解：连接，过点A作，垂足为M，    ∵点E是上的中点，点F是上的中点，∴为的中位线，∴， ∵四边形是平行四边形，，∴，∴ ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为，故答案为：． 例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 例1（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【答案】B 【详解】解：∵分别为中点， ∴，∴， ∴四边形为平行四边形，同理可得：，∴当时，， ∴四边形菱形，故B符合题意，A、C、D均不符合题意，故选：B． 例2（2025·广东·校考一模）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点， ∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线， 根据三角形的中位线的性质知：EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，∴AC+BD=3，故选：A． 例3（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知不共线三点A，B，C，点D是平面内的动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．下列关于四边形的说法正确的是：（   ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形；    ④存在两个正方形． A．① B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：平面内任意取一点D，与点A，点B，点C构成四边形，连接，，如图， ∵M、N、P、Q分别是，，，的中点， ，，，，，，，， ，，，， ∴四边形是平行四边形，∴存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； 当时，即以点B为圆心，的长为半径画圆，在圆弧上任取一点D（不与三点A，B，C中两点共线），如图，同上得，，则有， ∴四边形是菱形，∴存在无数个四边形是菱形，故②正确； 当时，即过点作垂线，为垂线上任一点（不与三点A，B，C中两点共线）时，如图， 同上得，，∴，即， ∴四边形是矩形，∴存在无数个四边形是矩形，故③正确； d当且仅当，时，即，时，中点四边形才是正方形，即点必须在以点B为圆心，的长为半径的圆上，且在过点作的垂线上，这样的点D在左侧，右侧各一个共有2个，如图，故存在两个四边形是正方形，故④正确．故选：D． 例4（25-26上·广东·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，          ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 1．（2025·河南驻马店·校考一模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ）    A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【详解】解：四边形是菱形，，，， ，，，，，故选：C． 2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，，点E为的中点， ，， ，，， ，故选B． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴，， ∴△BOC是直角三角形∴∴BC=5 ∵H为BC中点∴ 故最后答案为． 4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形，对角线与交于点， ∴，∴，， 又∵平分，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴， 又∵，为的中点，∴在中，为中位线，∴故选：D． 5．（2025·上海·校考二模）顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（    ） A．菱形 B．对角线相等的四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 【答案】C 【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形形，即，∴，故选：C． 6．（24-25上·山东·八年级期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且． 理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形， ∴，，，， ，，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴平行四边形是菱形， ∵，∴，∵，， ∵，∴，∴菱形是正方形．故选：D． 7．（24-25下·湖南八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（    ）    A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【详解】解：点分别是四边形边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意； B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意； C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意； D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；故选：D． 8．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，连接，分别与交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．8.5 【答案】B 【详解】∵在中，是边上的中点，∴， 由折叠知， 垂直平分，∴，∴，，∴， ∵，，∴,∴， ∴，∴，∴．故选：B 9．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④，其中正确结论的序号是 ．      【答案】①②③ 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ，，四边形是菱形，∴四边形是菱形，故①正确； ∴，平分故②、③正确； 当，如图所示：，分别为，中点，连接并延长交于点，    ∵为中点，∴，∵，∴， ∵，∴∴，∴， ∵点为中点， ∴，∴只有当时，④才成立，故④错误， 故答案为：①②③． 10．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：如图， ∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，∴CDAB， ∵CD＝2，∴AB＝4，故答案为4． 11．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 【答案】20 【详解】∵平分，∴ ∵，平分，∴ ∵点是的中点，∴∴．故答案为：20． 12.（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 【答案】77 【详解】解：，为边的中点，，，， ，．故答案为：77． 13．（24-25下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：菱形，，，为等边三角形， ，等边的高为，， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形，四边形为矩形， ,同理可得， ，……．故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F分别的中点，若，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：∵，点D，E，F分别的中点， ∴为三角形的中位线，，∴，∴；故答案为：5． 15．（2025·福建漳州·一模）如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是 ．    【答案】3 【详解】解：∵在中，，． ∵四边形是平行四边形，，． ∴当取最小值时，线段最短，此时．， 点O是的中点，是的中位线，，．故答案为：3． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，∴，∴， ∴，， ∵，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴；故答案为：． 17．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 【答案】 【详解】连接分别是的中点为的中位线， 是矩形 ，故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，、分别是边、上的高线，取为中点，连接点，，得到，是中点． (1)求证：；(2)如果，，求． 【答案】(1)证明见解析(2)48 【详解】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线，， 是的中点，，是等腰三角形，是的中点，； （2）解：、分别是边、上的高线．， 是的中点，，，，， ，，， ，是等边三角形，是的中点， ，． 19．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 20．（25-26上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务， 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点、、，分别是边、，，的中点，顺次连接，、、，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon， Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点、，过点作于点，交于点 ∵、分别为，的中点，∴，．（依据1） ∴，∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即，∴四边形是平行四边形，（依据2）． ∴， ∵，∴．同理，…    任务：(1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________． (2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，满足下列要求：①四边形及它的瓦里尼翁平行四边形的顶点都在小正方形网格的格点的上；    ②四边形是矩形，不是正方形．(3)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．    【答案】(1)三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)见解析；(3)行四边形的周长等于． 【详解】（1）解：（1）证明：如图2，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点．，分别为，的中点， ，，（三角形中位线定理），， ，， 四边形是瓦里尼翁平行四边形，，即． ，即，四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，， ，同理可得，，， 故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）如图，四边形及它的瓦里尼翁平行四边形为所求：    （3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于，理由如下： 四边形是瓦里尼翁平行四边形， 点，，，分别是边，，，的中点， ，，，， 瓦里尼翁平行四边形的周长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 例2（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，，，交于点O，于点E，连接，则长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 例3（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在中，，．若，分别是，的中点，，则 ． 例4（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，相交于点，点，分别是，的中点，若，那么＝ 度．    例5（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，、相交于点，点、分别是、的中点，若，那么等于（    ） A． B． C． D． 例6（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    模型2.中位线模型 例1（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 例2（2025·浙江杭州·二模）是的边的中点，平分于点，且，则的周长等于 ． 例3（2025·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（　　） A． B． C． D． 例4（2025·湖南·校考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 例1（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 例2（2025·广东·校考一模）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 例3（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，已知不共线三点A，B，C，点D是平面内的动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．下列关于四边形的说法正确的是：（   ） ①存在无数个平行四边形；    ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形；    ④存在两个正方形． A．① B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 例4（25-26上·广东·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    1．（2025·河南驻马店·校考一模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ）    A． B．4 C．2 D． 2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（  ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海·校考二模）顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（    ） A．菱形 B．对角线相等的四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 6．（24-25上·山东·八年级期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．（24-25下·湖南八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（    ）    A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 8．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，连接，分别与交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．8.5 9．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④，其中正确结论的序号是 ．      10．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则 ． 11．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 12.（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 13．（24-25下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 14．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F分别的中点，若，则的长为 ． 15．（2025·福建漳州·一模）如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是 ．    16．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，若，则 ． 17．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，、分别是边、上的高线，取为中点，连接点，，得到，是中点． (1)求证：；(2)如果，，求． 19．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 20．（25-26上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务， 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点、、，分别是边、，，的中点，顺次连接，、、，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon， Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点、，过点作于点，交于点 ∵、分别为，的中点，∴，．（依据1） ∴，∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即． ∵，即，∴四边形是平行四边形，（依据2）． ∴， ∵，∴．同理，…    任务：(1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________． (2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，满足下列要求：①四边形及它的瓦里尼翁平行四边形的顶点都在小正方形网格的格点的上；    ②四边形是矩形，不是正方形．(3)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $