专题04 函数零点核心突破：根分布与同构思维讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题04 函数零点核心突破：根分布与同构思维精析 一、考点总结与提升 1.核心思想： 函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 上述转化关系是处理零点问题的核心，即数形结合思想，我们可将方程问题转化为函数图像，也可将函数图像的交点转化为方程问题进一步通过函数思想解决. 2. 一元二次方程根的分布 对一元二次方程（其中）和二次函数，有： （1）方程的个根都比小的充要条件是 （2）方程的个根都比大的充要条件是 （3） 方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是 （4）方程的个根都在内的充要条件是 （5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是. （6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是 3.函数同构 函数单调性与导数应用：会利用导数求函数的单调区间、极值和最值，掌握常见单调函数的特征（如在上单调递增）。 核心同构模型：牢记经典同构函数结构，包括指数型、、对数型、、混合型及其单调性、最值性质。 二．典例分析 核心考点01 求解函数的零点或者零点个数 例1．已知函数则函数的零点为（    ） A． B． C． D．1 例2．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 核心考点02.零点存在性定理与应用 例4．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 例5．已知函数则的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 核心考点03.求解（判断）函数的零点个数 基本步骤： （1）先思考能否直接求解出函数的零点 （2）再思考能否利用零点存在性定理找出变号零点 （3）思考直接画出函数图像找出与轴交点个数，或者将函数的解析式转化成两个可以画图的函数图像交点个数. （4）.注意下面两类复合方程的求解技巧 （i）已知函数，且知一元二次型方程根的个数，求参数的取值范围. （ii）求解复合函数零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围. 例6．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数是_________． 例7．函数 的零点的个数为___________ 例8．设函数，若关于的方程的解的个数是_______ 例9．已知函数 ，则方程有__________个不同的实数根． 核心考点0 4.已知函数零点个数求参数 例10．已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例11.已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递增区间为 B．当时，有3个零点 C．当时，的所有零点之和为-1 D．当时，有1个零点 核心考点05.一元二次方程根的分布 例12．方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例13．已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 核心考点0 6.利用二分法求解方程的近似解 例14．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 例15．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 例16．已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_________． 核心考点07同构解决零点问题 例17已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 例18若正实数是方程的根，则（    ） A． B．1 C．2 D． 例19已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 例20已知函数，，若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 三、高考练场 1．（多选题）函数的一个零点在区间内，则实数的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数．若函数有零点，则实数的取值范围是________． 3．若直线与函数的图象恰有四个公共点，则实数的取值范围是______． 4.已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 5．已知，则函数的零点个数是_________. 6．函数的零点个数为__________. 7．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为________. 10．已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 11.函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12.已知函数=则关于x的方程的解的个数的所有可能值为（    ） A．3或4或6 B．1或3 C．4或6 D．3 13．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数只有两个极值点 B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C．方程共有4个根 D．若，，则的最大值为2 14已知实数，满足，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题04 函数零点核心突破：根分布与同构思维精析 一、考点总结与提升 1.核心思想： 函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 上述转化关系是处理零点问题的核心，即数形结合思想，我们可将方程问题转化为函数图像，也可将函数图像的交点转化为方程问题进一步通过函数思想解决. 2. 一元二次方程根的分布 对一元二次方程（其中）和二次函数，有： （1）方程的个根都比小的充要条件是 （2）方程的个根都比大的充要条件是 （3） 方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是 （4）方程的个根都在内的充要条件是 （5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是. （6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是 3.函数同构 函数单调性与导数应用：会利用导数求函数的单调区间、极值和最值，掌握常见单调函数的特征（如在上单调递增）。 核心同构模型：牢记经典同构函数结构，包括指数型、、对数型、、混合型及其单调性、最值性质。 二．典例分析 核心考点01 求解函数的零点或者零点个数 例1．已知函数则函数的零点为（    ） A． B． C． D．1 解析：当时，令，解得；当时，令，解得（舍）， 所以的零点为．故选：C 例2．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由题意可得，，则，则，所以.故选：D. 例3．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：当时，令，即，解得或，当时，令，即，解得．综上可知，函数有3个零点．故选：C. 核心考点02.零点存在性定理与应用 例4．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 解析：的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，又，，所以，所以在上存在唯一的零点.故选：C. 例5．已知函数则的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：当时，令，解得（舍去）或；当时，，在上单调递增，又，所以在区间内有一个零点，则函数有2个零点．故选：B. 核心考点03.求解（判断）函数的零点个数 基本步骤： （1）先思考能否直接求解出函数的零点 （2）再思考能否利用零点存在性定理找出变号零点 （3）思考直接画出函数图像找出与轴交点个数，或者将函数的解析式转化成两个可以画图的函数图像交点个数. （4）.注意下面两类复合方程的求解技巧 （i）已知函数，且知一元二次型方程根的个数，求参数的取值范围. （ii）求解复合函数零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围. 例6．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数是_________． 解析：因为函数和在上均为增函数，所以函数在上单调递增，又函数是定义在R上的奇函数，所以即是函数的一个零点，且函数在上单调递增，又， 所以，所以由零点存在定理得函数在上只有一个零点，在上也只有一个零点.综上，函数的零点个数为3.故答案为：3. 例7．函数 的零点的个数为___________ 解析：令，得，即，作出与的图象，可知它们只有2个交点.故答案为：2. 例8．设函数，若关于的方程的解的个数是_______ 解析：或2，当时，若，则，无解， 若，，故或，解得或，当时，若，则，解得，若，，故或，解得或，所以方程的解的个数有5个.故答案为：5 例9．已知函数 ，则方程有__________个不同的实数根． 解析：设，若，则；若或. 由；由或或；由或. 所以方程共有6个不同实根.故答案为：6 核心考点0 4.已知函数零点个数求参数 例10．已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解析：作出图象，其中当时，，其顶点为．由与直线有3个交点，知m的取值范围是． 例11.已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递增区间为 B．当时，有3个零点 C．当时，的所有零点之和为-1 D．当时，有1个零点 解析：的图象如下：由图象可知，的增区间为，故A错误，当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确；当时，由可得，由可得，所以的所有零点之和为，故C错误； 当时，与有1个交点，即有1个零点，故D正确；故选：BD 核心考点05.一元二次方程根的分布 例12．方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解析：令，其图象对称轴为，由方程 的两根都大于 1，等价于，即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误.故选：A. 例13．已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 解析：因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误；故选：AB. 核心考点0 6.利用二分法求解方程的近似解 例14．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 解析：依题意，，所以下一步应考察的区间为. 故选：C 例15．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 解析：根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是.故选：C 例16．已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_________． 解析：由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得． 核心考点07同构解决零点问题 例17已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据的单调性和零点的存在定理得到的实根，构造新函数，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，结合零点的存在定理，得到A、B不正确. 【详解】设，其中，则函数在上为单调递增函数， 且当时，函数，且， 可得方程的实根，则， 又由，可得，即， 构造新函数，可得， 所以在上为单调递增函数， 可得， 因为实数是方程的实根，则，即， 其中，所以，即，所以C正确，D不正确. 令，可得，为单调递增函数， 由，即， 所以，又由，且，所以，所以A、B不正确. 故选：C. 例18若正实数是方程的根，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用题干中的方程，构造函数，进行求解. 【详解】由题可知，，即， 令，，在区间上恒成立， 则在上单调递增， ， 因为正实数是方程的根， 所以，即，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程同构，构造函数，从而得到. 例19已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由可得出，可得出，构造新函数，，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，，结合零点的存在定理，得到A、B不正确. 【详解】设，其中， 对任意的恒成立， 则函数在上为单调递增函数， 因为是方程的实根， 由可得， 由可得，故，从而得出， 构造新函数，，可得， 所以在上为单调递增函数， 可得，， 因为实数是方程的实根，则，即， 其中，所以，即，所以C正确，D不正确. 令，，可得，在上为单调递增函数， 因为，，即， 所以， 又由，且，所以，所以A、B都不正确. 故选：C 例20已知函数，，若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数不等式化成，指对同构令，再构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以. 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则. 故选：B. 三、高考练场 1．（多选题）函数的一个零点在区间内，则实数的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数．若函数有零点，则实数的取值范围是________． 3．若直线与函数的图象恰有四个公共点，则实数的取值范围是______． 4.已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 5．已知，则函数的零点个数是_________. 6．函数的零点个数为__________. 7．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为________. 10．已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 11.函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12.已知函数=则关于x的方程的解的个数的所有可能值为（    ） A．3或4或6 B．1或3 C．4或6 D．3 13．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数只有两个极值点 B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C．方程共有4个根 D．若，，则的最大值为2 14已知实数，满足，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 参考答案 1.解析：因为函数在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，由函数的一个零点在区间内， 得，解得,故选：BC 2.解析：若函数有零点，则方程有解，所以．令，则，且，所以在上单调递增，值域为，所以，即a的取值范围是． 3.解析：函数的图象如下图所示，若直线与函数的图象恰有四个公共点，则实数a的取值范围是：.故答案为： 4.解析：,令得，作出的函数图像如图所示．    由图像可知当或时，只有一解，此时恰有一个零点． 5.解析：由，或，函数的图象如下图所示：由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点， 所以函数的零点个数是，故答案为： 6.解析：函数的定义域为，由得，函数的零点即方程的根，作函数和的图象，如图，由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点．故答案为：. 7.解析：由题意，函数有三个不同的零点，即方程有3个解， 即函数与有3个交点，画出函数的大致图象： 由图可知，要使函数与有3个交点， 则，所以实数b的取值范围为.故选：D. 8.解析：由，即，函数存在2个零点等价于函数与的图象有2个交点，作出图象如图1，当直线同时过点和时，，此时直线与的图象有2个交点，结合图象可知，解得． 9.解析：因为函数有两个零点，，所以.又因为，，所以或，由；由.综上可知：. 10.解析：记，作出函数的图象如图所示， 令，则由图可知，当时，方程只有一个根； 当时，方程有两个根；当时，方程只有一个根； 显然不是方程的根； 若是方程的根，则，此时， 结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意；所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根， 等价于方程的一个根在，一个根在，令，则，所以，结合选项可知，m的值可以是1和.故选：BC 11.解析：由方程得或， 则方程有6个不同的实根，等价于的图象与直线有6个不同的交点，当时，，则，令，得：， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故时，取极小值，当时，，当时，单调递增；当时，单调递减，且，根据以上信息，作出的大致图象如图， 由图可知，的图象与直线有2个不同的交点，由题意，只需的图象与直线有4个不同的交点，则，综上得：的取值范围是．故选：A． 12.解析：当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，且当时，， 当时，，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，且当时，，所以的大致图象如图所示， 令，则方程必有两个不等根，设两根分别为（不妨设），且，当时，则，此时有1个根，有2个根，当时，则，此时有2个根，有1个根，当时，则，此时有0个根，有3个根，综上，对任意的，方程都有3个根， 故选：D 13.解析：对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确； 对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点， 所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误； 对于，由得：，解得， 令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解； 又因为，结合图象可知：也有两解，综上：方程共有4个根，故选项正确；对于，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当，所以t的最大值为2，故选项正确. 故选：CD 14.【详解】由，变形为. 令，，.则不等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且，. 所以只能是，所以，解得，所以. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $