黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026届高三第一次模拟考试数学试题

哈三中2026年高三学年第一次模拟考试 数学试卷 考试说明：(1)本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间为120分钟； (2)第I卷，第IⅡ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） (一)单项选择题（共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1. 已知集合A={x|y=ln(4-2x)},B={x∈R|x<3},则A∩B= A.（-0,2） B.（-o0,2] c.（2,3) D.[2,3) 2. 已知复数z=m+1+(m-1)i是纯虚数，则实数m的值为 A.1 B-1 c.1或-1 D.0 3.函数y= 一的图象大致为 学第1页共8页 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非 倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空 翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7)：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，90%能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳。 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为 A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.93 5. 已知coa-名-子则sm(2a+爱= A.1 1 6 B.- C. 8 D.7 8 6. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，)=f(x-1)关于(2,0)中心对称，则下列说 法正确的是 A.f(x)的一个周期为6 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 n芝-0 7. 某广场地面上有一条直线轨道：x+2y-8=0与两个固定反光点A(SinC,c0s) 和B(-sinc,-cosa)（a为灯光照射的角度参数)，一移动激光灯P沿轨道l移 动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B,形成两个光斑.为了让光斑的亮 度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为 PA与PB的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为 49 59 53 A.12 B. C. D. 5 5 5 ·模数学 第2页共8页 8. 关于x的方程上-nx+x=err+ax有两不同实根，则实数a的取值范围为 A.(0, B.- c.0,1-) D.61-3 (二)多项选择题（共3小题，每小题6分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图，在正三棱锥P-ABC中，AB=3,D是PC中点，E是CB中点，点 F,G满足F严=】A正，GB=AG,直线DF,GE相交于H,下列说法正 确的是 A.AB.PC=0 B.AB.FG=-3 C.AC与CH是共线向量 D.GD-1C4+2CB+1CP 10. 已知椭圆c: 2+广=】.R,B分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆 C上任意一点，下列说法正确的是 A.△FPF的周长是2√2+2 B.∠PR=号时，△FPR的面积是5 C.PF卧PF的最大值是2 D.过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A,B两点，则△ABO面积的最小 值为√2 莫数学第3页共8页 1l.已知数列{an},给出以下定义：对于任意的n∈N,都有an+an+2≥2a+1,则称 数列{an}为“友好数列”；特别地，对于任意的n∈N，都有an+an+2>2a+1,则 称数列an}为“超越友好数列”，下列说法正确的是 A.若数列{an}满足a,=3m-，且前n项和为An，则数列{4}为“友好数列 B.若数列an}满足a1=1,a2=2,且数列{an}为“超越友好数列”，则 a2026>2026 C.若数列{an}为“超越友好数列”，an∈Z且a1=a4s=2026,则数列{an} 没有最小项 D.若数列{an}为“友好数列”，则对于任意的m∈N·当1<m<2026时， 总有m-4≤26-am成立 m-1 2026-m 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12.已知随机变量X~N(1,a2),P(1<X<3)=0.3,则P(X≥-1)= 13.如图，在平面四边形ABCD中，AB=7,BC=8, CD=45,cos∠C1B=7∠BCD 2π 31 B 则△ACD的面积是 14.平行六面体ABCD-A,B,CD所有棱长都相等，AB=2,点A在底面ABCD的 射影为BD中点，且直线AA与底面ABCD夹角为45°，则三棱锥A-ABD的外 接球被平面BCC,B,截得的截面面积为 模数学 第4页共8页 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知数列an}的前n项和为Sn,Sn=n2. (1)求数列{an}的通项公式： 2,求数列{6，}的前n项和7 a,an 16.为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的 方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图 如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布 扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学 成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占80%. (1)求α的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数： (2)根据样本数据完成下方2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，分 析认真完成作业与成绩是否有关. 频率/组距 高三30% 0.020 高一50% 0.010 高二20% 0.005 ☐成绩 708090100110120130140150 图1 图2 一模数学第5页共8页 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 n(ad-be)" 附：x=a+b(c+d(a+cb+d c 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为正方形，G,F分别是线段 BD,EC的中点. (I)求证：GF∥平面ABE: (2)若平面ABE⊥平面ABCD,AE⊥BE,AB=2,且平面ADE与平面CDE夹 角余弦值 251, 求AE的长 19 学第6页共8页 18.己知抛物线Γ：x2=2py焦点为F(0,1),A(x,y),B(x2,y2),C(x3,3)为抛物线 T上的三个动点，且x<x<x2· (1)求抛物线Γ的方程； (2)过A,B,C分别作抛物线的三条切线，分别为l,12,,4,43交于点D，12,l3交于 点E,1,12交于点G. (①证明：△EDG的垂心在一条定直线上； 何已知G点在直袋r产+苦=10≤0上，求△松C的面积新大位」 高一模数学第7页共8页 l9.已知函数f(x)=e+sinx-ax,a∈R, (1)若a=2,求f(x)的单调区间； (2)x∈[0，+o),f(x)≥cosx成立，求实数a的取值范围； (3)若a=1,x∈[-2π，+o)时，y=m与y=f(x)的图象有三个交点，横坐标分别 为xp,gx,(xp<xg<x),求证：2x,<xp+x, 高三一模数学第8页共8页哈三中2026年高三学年第一次模拟考试 数学答案 2 3 4 6 7 8 9 10 11 B D D D B B AC ACD ABD 12.0.8 13.15 14 4π 3 15.(1)a=21-1;(2)Tn= 2n 2n+1 (1) n=1,an=S,=1 (1分) n≥2，an=Sn-Sn1=2n-1(4分) n=1,满足4n=2n-1 an=2n-1(n∈W)(5分) (2) 2 11 b=2n-D(2n+i）2n-12n+1 (9分) 11,11 1111 2n T.i335 2n-12n+112n+12n+1 (13分) 16.(1)a=0.025,下四分位数为102.5；(2)2X2=24,分析略 (1)a=0.025(2分) 下四分位数为102.5(4分) (2)零假设H。:认真完成作业与成绩无关(6分) 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 40 10 成绩不优秀 60 90 (8分) (列联表中的4个数全部正确可得2分，否则不给分) x2=24(11分) 则零假设H。不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001(13分) 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1 0.4÷0.1=4 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显 著(15分) 17.(1)证明略：(2)AB=√3 (1)证明： 连接AC,交BD于G.因为四边形ABCD是正方形，所以G为AC中点. 因为F是EC中点，所以GFAE.(2分) 因为AEC平面ABE,GF丈平面ABE,所以GF∥平面ABE.(4分) (2)因为平面ABE⊥平面ABCD,且平面ABEO平面ABCD=AB,又 AD⊥AB,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面ABE.(6分) 过E作EH⊥平面ABE,则AD1WEH.又AE⊥BE, 故AE,BE,EH两两垂直.以E为原点，分别以EB,EA,EH所在直线为x,y,二轴，建立 空间直角坐标系E-z.(8分) 设BE=a,则AB=√4-a2.各点坐标为：E(0,0,0),B(a,0,0),A0,V4-a2,0 C(a,0,2),D0,V4-a2,2则EC-(a,0,2),ED-0,√4-a2,2设平面CDE的法 向量为=(x,y,),有： i:EC=ar+2:=0 [n.ED=v4-a'y+2==0 令4-a,则y=a, (12分) 2 因为BE⊥AE,BE⊥AD,且AEAD=A,AE,ADC平面ADE,所以 BE⊥平面ADE.因此，平面ADE的一个法向量为EB=(a,0,O)·(13分) a.√4-a2 257 由影知：c0siBB257,即： 19 19 av4-a2 化简得：3a-31a2+28=0,解得：a2=1,a,2 28(舍) 所以BE=1,则AB=√5.(15分) 18.(1)x2=4y:(2)定直线方程为y=-1;(3)4V2 (1)由抛物线焦点坐标，解得p=2,故抛物线方程为x2=4y(3分) ②白方程y-于Y-疗故在点A处切线方程为 2 《方库为为3：)=y草》孚=y整星 4程为=号至，4方相为y=芳星5分 联立以故解得6产学)。 4 同理可得D(当+，)，（心十三，）(8分)（每个坐标各1分） 2,4 2’4 则过E点与（垂直的直线为 y-55=2x-5)→4y-55=-8x+4(g+)@ 4x1 2 过点D点与l,垂直的直线 y-5=-2x-+5)→4y-x=8x+4g+g)@ 4x22 ①-②可得 4(5-x2)y=4(x2-x)→y=-1 故△EDG的垂心在一定直线y=-1上(10分) (③)设GK,),由(2)可知：GA的直线方程为y=-三，将G,)代入可 24 得：x2-2x+4%=0→2y-x,+2%=0 同理可得x号-2x6+4y。=0→2y2-x2,+2y。=0 故AB的直线方程为2y-x,x+2X。=0,(12分) 联立直线AB与抛物线得x2-2x,x+4y。=0 由弦长公式AB=1 +千V-16,为了使△ABC的面积最大，必须保证C处的切 线与直线40平行，所以k。=人：告产，从面9，号 故△ABC的面积为 =32-62-16%+4 (14分) 当%=-2时，取得最大值C=4N2(17分) 19.(1)增区间为(0，+∞)，减区间为(-0,0)；(2)a≤2；(3)略 (1)f(x)=e+sinx-2x,f'(x)=e*+cosx-2 (1) h(x)=f"(x),h(x)=e'-sinx ①x≥0时，h'(x)≥0，f'(x)在(0，+o)上单调递增，则f'(w)≥f'(0)=0,f(x)在 (0,+∞)上单调递增： ②x<0时，e<1,cosx≤1，f'(w<0,则f()在(-m,0)上单调递减. 则f(:)的增区间为(0，+0)(3分)，减区间为(-∞，0)(5分) (2)g(x)=f(x)-cosx=e+sinx-cos.x-ax≥0对x∈[0，+o)恒成立 g'(x)=e*+cosx+sinx-a,G(x)=g'(x), )-e-sin +cos-e-sin( ①a≤2时，0≤x≤牙时，g1,2snr-孕s0,G(y20,则g()在0，+回) A 上单调递增，则g'(w)≥g'(0)=2-a≥0，g(x)在(0，+o)上单调递增，则 g()≥g(0)=0成立；(7分) ②a>2时，由于g'(w在(0，+o)上单调递增，且g'(0)=2-a<0,x→+n时， g'()→+0，则存在唯一x。∈(0，+0)，使g'(x)=0,且当x∈(0，+0)时，g'(w)<0, 则g(x)单调递减，g(x)<g(0)=0,不符题意，舍去.(9分) 综上所述，a≤2(10分) (3)f(x)=e*+sinx-x,f'(x)=e*+cosx-1, 设f(x)=f'(e),则()=e-sinx, 设f,()=f()，则f()=e-cosx, 设f(x)=f(),则f(x)=e+sinx, 当x∈(-2π，-π)时，e>0,sinx>0, f(w)=e+sinx>0,则f(x)=e-cosx在(-2元，-z)上单调递增， 5(-2)=e2m-1<0,f(-x)=e+1>0,则存在唯一x∈(-2元，-)，使 f()=0,5(x)在(-2π，x)上单调递减，f(x)在(x,-)上单调递增， -2)=6”>0,=e宁-1<0，对=e<0.则行在暗 1e-2x,孕与u(经列.使g=mA与e=m,且在2x,)单调 递增，在(2，心)单调递减，在(，一π)单调递增， f(-2z)=e2>0,f(=e+cosA-1-sin i+cosa-1=sin(+)>0 )=e+cosu-1-sin+co-1-sn(+)-e0 f(=e-1<0 3 则存在唯一5∈(-2石，3)，使f(x)=0, 且∫(x)在(-2π，x)上单调递增，f(x)在(x,-π)上单调递减：(12分) 当x∈(-元，0)时，e>0,sinx<0,(x)>0,则f'(x)在(-元，+o)上单调递增，则 了010：八孕1<0，则存在唯-名e(0,使f)0. 当x>0时，e>1,sinx≤1，f(x)>0, 且f(x)在(-π，x)上单调递减，f(x)在（化2，+w)上单调递减；(13分） 综上，f()在(-2π，)上单调递增，f(x)在(：，x)上单调递减，f(x)在(x2,+)上单 调递增，(14分) 则(-2x,馬（孕，(5）15分) 2)e42,e4<2对则e(经-)16分 f(0)=1<f(-2x),则x,∈(0，+w),则x。+x,>-2π>2x,成立(17分) 部分小题详解： 7.C 详解：显然A,B是单位圆x2+y2=1上两点，A,B关于原点对称，故AB是直径， AB=2 则PAPB= PA+PB)-(PA-PB)P-AB=PO4=PO-1 4 4 l8 因为OP的最小值为O到I的距离，即POn= √5 4-1=59 故PAPB2 5 故选C. 8.B 详解：原式可变形为：1-nr=(a-l)x+ea-,设F(=x+e,则 F(n)=F[a-1)x],而F'(x)=1+e>0,F(x)在(-∞，+w)上单调递增，则有 n=a-1x,即a=1血x,设g(9=1-nx,则g=血x。 ,则g在0，e上 单调递减，在(e,+o)上单调递减，且x→0时，g(x)→+o,x→+o时，g(x)→1 则有ge)<a<1,即ae1-1,1) 10.ACD 详解：已知椭圆a=√2，b=1,c=1 A.周长为2a+2c=22+2,A正确 B.由焦点三角形面积可得△RPE,的面积是b'tam交=1× ,B错误 6 33 C.PPF≤ PR+PE 2 =2,C正确 D.设过点P的切线为y=+,与椭圆联立可得令判别式为0可得， 2次+1-m=0,直线与x轴交于点A(-终，B0m0, 则4p-25-n 11.ABD 详解：由A,+A+2-2A1=a+2-a1=3”1-3”>0易知A正确 由a.+a+2>2a1可得a+2-aH>a+1-a. 即42026-42025>a2025-42024>.>a2-4=1, (a026-02025)+(a202s-a2024)+.+(a2-41)>2025 即406-4>2025.4026>2026，故B正确 任意的neN,都有a+2-aH>a1-a., 设b,=a1-a,则数列{b.}为单调递增数列，且b.∈Z, 所以b44+b43+…+b=（a45-a4)+(a44-a43)+…+(a2-4)=a45-a=0 所以存在m∈N°，2≤m≤344时，bm-1<0,bn≥0，即{a}先递减再递增，因此， 数列{a}存在最小项，故C错误 由2026-2025≥42z025-2024≥.≥0m+1-0m 可得(426-a025)+(a2o2s-a024）+.+(am1-an)2(2026-m(am1-an）,即 a6-a≥(2026-m(a1-a)）整理可得-a≥an1-a 2026-m 同理a-4≤a。-an1即-0≥a1-a≥a-an1之04，故D正确 2-1 2026-m m-1 14. 取BD的中点O,连接AO,AO.由题意可知AO⊥平面ABCD,且△AOA为等腰直角 三角形.因此可得：AO=AO=√2，进而推出OD=OB=√2，由此可判定O是三棱 锥A-ABD的外接球球心，该外接球的半径R=OB=√2. 设球心O到平面BCC,B,的距离为d,根据等体积法： VcD-49A=A0SAcp=2d.SG,得V2×2=2d×2W5,求解上述方程，得球心 到截面的距离：d=y6 设截面圆的半径为”，根据球的截面性质（勾股定理），截面圆半径、球的半径与球心 到截面的距离满足：r=R:-d2 3金 根据圆的面积公式，可得截面圆的面积为：S量=2=红 3