精品解析：湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题

湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 4. 若，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 5. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 4 7. 已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法不正确的有（     ） A. 命题“，”的否定是“，” B. C. 集合，，若，则或 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知函数的定义域为，且，，若，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 是奇函数 C. 的图像关于点对称 D. 11. 已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（ ） A. B. 最小值为9 C. 恰有6个不同的根 D. ，使得恰有8个不同的根 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 若函数的最小正周期为，则常数______． 13. 若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是______． 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若命题“”是命题“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 18. 设函数且是定义域为R的奇函数． 求k值； 若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的t的取值范围； 若，且在上的最小值为，求m的值． 19. 已知函数． （1）若，求在的值域； （2）若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； （3）若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长、半径和圆心角的关系，可求得扇形半径，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，由题意圆心角为， 所以弧长，解得， 则该扇形的面积. 故选：B 2. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性、特殊点法及排除法进行判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数是奇函数． 对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误； 对于C：当时，，与图象不符，故C错误； 对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误； 由排除法可知A正确， 故选：A. 3. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 4. 若，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的两角差公式化简求解即可. 【详解】因为， 所以，所以． 故选：C． 5. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，画出函数图象如下图所示，由图可知与异号的区间是. 考点：函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法.由于函数是奇函数，所以图象关于原点对称，结合和函数在上单调递增，可以画出函数在上的函数图象，根据对称性画出上的图象.如果函数是偶函数，则图象关于轴对称，的图象也关于轴对称. 6. （ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由和差公式以及二倍角公式将化简为，再结合诱导公式即可得答案. 【详解】因为， 而，所以， 故选：D. 7. 已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得函数在上单调递增，结合二次函数单调性，对数函数单调性，分段函数的单调性的性质列不等式求结论. 【详解】当时，，. 在上单调递增，所以 因为函数在上单调递增，在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则可知， 在上单调递增等价于，所以， 又根据分段函数递增法则可得，所以． ， 故选：A. 8. 若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出，再由的取值范围求出的取值范围，从而确定左端点的取值范围，即可得到，解得即可. 【详解】函数在区间上单调递增且， 所以，解得， 由，则，则， 所以，解得，即正数的取值范围为. 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法不正确的有（     ） A. 命题“，”的否定是“，” B. C. 集合，，若，则或 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称量词的命题的否定方法判断A，根据三角函数的值的正负与象限的关系判断B，由可得，根据集合的包含关系判断C，根据一元二次方程的根与系数关系判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，A错误； 对于B，角在第一象限，角在第二象限，角在第二象限， 所以，，，所以，B正确； 对于C，， 由，可得，又， 所以或或， 所以或或，C错误； 对于D，关于的方程有一正一负根的充要条件为，即， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D正确； 故选：AC. 10. 已知函数的定义域为，且，，若，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 是奇函数 C. 的图像关于点对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确. 对于B，，又因为， 所以，所以，所以函数为奇函数， 故B 正确； 对于C，又因为，所以函数的图像关于直线对称, 故C错误; 对于D， 由的对称性与周期性可得， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可. 11. 已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（ ） A. B. 最小值为9 C. 恰有6个不同的根 D. ，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出函数的图象后可判断A的正误，由图象的局部对称性可判断B的正误，利用换元法可判断CD的正误. 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，一般刻画出内外两个方程对应函数的图象，再根据外方程的解判断内方程的解，从而得到原方程的解的个数. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 若函数的最小正周期为，则常数______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，又因为，解得. 故答案为：. 13. 若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】记，根据零点的分布列不等式求解即可. 【详解】记， 由题意，整理为，解得． 即a的取值范围是. 故答案为： 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用折叠图形的性质，通过勾股定理得到与的关系，建立面积与的函数关系，再结合基本不等式求其的最大值. 【详解】如图： 长方形周长为，不妨设 ，且，设 在中， ，变形得： 当且仅当“”等号成立 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若命题“”是命题“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，分别求出集合后可求得， （2）分类讨论求出集合，再根据题意得AB转化为不等式求解即可 【小问1详解】 因为，所以， 所以． 当时，或，， 所以． 【小问2详解】 若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则AB 由题意得 ①当，即a＝－时，B＝，满足AB； ②当，即时，， 由AB得：或，解得：或（舍去） 综上：； ③当，即时，， 由AB，得或，解得：（舍）或，所以． 综上可得：即 所以的取值范围为：. 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据条件，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. （2）由（1）得解析式，根据正弦函数的单调减区间，代入求解，即可得答案. （3）根据x的范围，可得，根据值域，分析可得的范围，即可得答案. 【小问1详解】 由题意， 若，则， 则. 【小问2详解】 由（1）得， 令， 解得，即的单调递减区间为. 【小问3详解】 因为，所以， 因为的值域为， 所以，解得，则实数的取值范围为. 17. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，． （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）选择， （2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式. （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 对于，当时，它无意义，所以不合题意； 对于，它显然该函数是个减函数，这与矛盾； 故选择. 根据提供的数据，有，解得， 所以当时，. 【小问2详解】 国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为:， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当，即时等号成立，所以； 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 18. 设函数且是定义域为R的奇函数． 求k值； 若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的t的取值范围； 若，且在上的最小值为，求m的值． 【答案】（1）2；（2）；（3）2 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值；（2）由（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为，即恒成立，由△＜0求得t的取值范围；（3）由求得a的值，可得 g（x）的解析式，令，可知为增函数，t≥f（1），令，分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值 试题解析：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，∴1－（k－1）＝0， ∴k＝2， （2） 单调递减，单调递增，故f（x）在R上单调递减． 不等式化为 ， 解得 （3） ， 由（1）可知为增函数, 令h（t）＝t2－2mt＋2＝（t－m）2＋2－m2（t≥） 若m≥，当t＝m时，h（t）min＝2－m2＝－2，∴m＝2 若m<，当t＝时，h（t）min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去 综上可知m＝2． 考点：1．指数函数综合题；2．函数奇偶性的性质 19. 已知函数． （1）若，求在的值域； （2）若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； （3）若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出解析式，然后利用二次函数单调性求解值域即可. （2）根据二次函数的单调性得，变形整理得，根据b的范围求解即可. （3）根据二次函数的单调性得，从而可以看作方程的两个根，由韦达定理，，进而，令 利用对勾函数单调性求解范围即可. 【小问1详解】 由，可得，则， 因的对称轴为， 在单调递减，而， 故在的值域为. 【小问2详解】 因在区间单调递减，则， 因在上值域为，则， 即， 两式相减得：，因，故， 因，可得， 将代入，可得， 的取值范围为. 【小问3详解】 因为在区间单调递增，所以， 因为在上值域为，所以， 所以，即， 故可把看作方程的两个根， 因为，所以，且， 解得，由韦达定理，， 所以， 令因，则，且， 故， 令，由对勾函数的性质可得，在单调递减，故， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问将问题转化为看作方程的两个根，然后利用韦达定理消元代换，再结合换元法，结合对勾函数单调性求解范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $