精品解析：河南南阳市两学校联考2025-2026学年九年级下学期阶段学情评估数学试题

九年级下学期开学评估数学试题 一、选择题（每题3，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需200s．数据“5000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．如图是故宫博物院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，造型规整，胎质细腻．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， ，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7. 现有背面完全相同，正面分别写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的卡片4张，正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点A到BC的距离（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，，，以 为直径的半圆 交于点 ，交于点 ，连接 ，若 是的中点，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，正方形 的边长为2，点P沿折线匀速运动，到点A时停止，过点P作于点E，作于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，能大致表示y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：______． 12. 不等式组的解集是______． 13. 已知抛物线与 轴有且只有一个交点，则的值为___． 14. 如图，四边形 是边长为的正方形，点F是边延长线上一个动点，点E在直线的上方，且，，若恰为等腰三角形，则的长为______． 15. 定义：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．如图，在 中，于点E，若 ，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点A落在“垂中平行四边形”的边 上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过 的中点时，则的长为______． . 三、解答题（8题，共75分） 16. 化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 （1）任务一：以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________； （2）任务二：请写出正确的化简过程． 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图； （2）表格中的S甲2______S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形 ，图②中已画出以 为半径的 ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，画出四边形 的一条对称轴． （2）在图②中，画出经过点E的 的切线． 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边 ，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线 分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边 ，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接 ， ，．若点D为 的中点，则______(用含k的代数式表示)． 20. 如图， 是 的直径，点 在 上，作于 交 于 ，的平分线交 于点 ，交 于点 ，连接，． （1）若 的半径为 ，，求弦的长； （2）求证：． 21. 盆栽不仅仅是一种组合，更是一种生活态度、一种情感表达，同时也是一种生态功能和文化的象征．盆栽培育专家研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对 A，B 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与A，B植物的生长高度，的关系如图2所示． （1）请分别求植物 A、植物 B生长高度与药物施用量的函数解析式； （2）研究发现，当两种植物高度差距不超过时，会有一种别致的美，请求出此时药物施用量的取值范围． 22. 综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点 成中心对称，该段结构水平宽度为8米． 【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿 竖直立于地面，当点 触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 （1）确定中心：求图2中点 到该结构最低点的水平距离 ． （2）确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． （3）确定高度：求挡风板的高度． 23. 综合与探究 【问题引入】 如图①，在 中，，，F为 内一点，连接，将绕点F顺时针旋转 得到 ，连接并延长到点E，使，连接 ，， ，．求证：，． 【思路探究】 经过小组讨论，两个小组分别给出了他们的解题思路： “智慧小组”的解题思路为：将线段借助平行线进行平移，如图②，过点B作平行交 的延长线于点G，这样可以将证明和 的关系转化为和 的关系； “善思小组”的解题思路为：结合F为 的中点构造三角形的中位线，如图③，过点B作平行 交的延长线于点H，连接，从而借助三角形中位线性质，将和 的关系转化为和 的关系． 【自主证明】 （1）请你选择其中一个小组的思路，或用你自己探究的思路写出证明过程； 【深入探究】 （2）如图④，在 中，，，D为 上一点，将 绕点C逆时针旋转得到，连接 ，，O为中点，连接并延长交 的延长线于点F，若，探究， ， 之间的数量关系，并说明理由； （3）在【问题引入】的基础上，老师对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期开学评估数学试题 一、选择题（每题3，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2. 2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需200s．数据“5000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，， 为整数，解题的关键是准确判断 的值以及 的值． 先将“万”还原为普通整数，再根据科学记数法的规则写出结果，科学记数法要求， 为整数， 的值等于原数转化为 时小数点移动的位数． 【详解】万， 将的小数点向左移动7位，得到符合的数， 万. 3. 汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．如图是故宫博物院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，造型规整，胎质细腻．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图是一个圆，与主视图、左视图不相同， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简，幂的运算，整式除法及完全平方公式，准确计算是解题的关键． 对每个选项逐一计算验证即可得到结果． 【详解】对于选项，， ， 错误； 对于选项，根据积的乘方与幂的乘方法则，，错误； 对于选项，根据同底数幂的除法法则，，计算正确，正确； 对于选项，根据完全平方公式，，错误． 正确答案为． 5. 如图， ，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，， ∴， ∵ ∴． 6. 按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个相等实数根 B. 方程没有实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 现有背面完全相同，正面分别写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的卡片4张，正面朝下放置在桌面上，将其混合后，甲、乙两人依次从中抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：用A，B，C，D分别代表写有《九章算术》、《周髀算经》、《五经算术》、《数术记遗》的四张卡片，由题意列表如下， A B C D A (B，A) (C，A) (D，A) B (A，B) (C，B) (D，B) C (A，C) (B，C) (D，C) D (A，D) (B，D) (C，D) 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的有2种， ∴甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《五经算术》的概率． 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点A到BC的距离（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为D， 在中，， ∴， ∴点A到的距离为， 故选：A． 9. 如图，在中，，，以 为直径的半圆 交于点 ，交于点 ，连接，若 是的中点，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可得 ，，证明是等腰三角形，从而得到，．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可计算出，利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ 是半圆 的直径， ∴ ， ∴，， ∵ 是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，正方形 的边长为2，点P沿折线匀速运动，到点A时停止，过点P作于点E，作于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，能大致表示y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在和上的不同位置分段建立面积函数，通过分析函数类型与增减性确定图像特征，进而得出答案． 【详解】解：当点沿运动： 根据题意，， ，，， 四边形为矩形， 为正方形 的对角线， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 函数图像为开口向下的抛物线； 当点沿运动： 四边形为矩形，， ， ， 函数图像为一次函数， 随 的增加而增加． 综上，表示 与 之间的函数关系的图象先是开口向下的抛物线，然后是 随 的增加而增加的一次函数． 二、填空题（每题3，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数 ），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键．要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义 被开方数 解不等式，得， 那么取（只要是大于等于 的数都可以 ），满足 故答案为： （答案不唯一，的数均可 ） 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键． 【详解】解： ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 13. 已知抛物线与 轴有且只有一个交点，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点问题，根的判别式，利用，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与 轴有且只有一个交点， ∴方程有唯一解， ∴， 解得：， 故答案为： ． 14. 如图，四边形 是边长为的正方形，点F是边延长线上一个动点，点E在直线的上方，且，，若恰为等腰三角形，则的长为______． 【答案】或者 【解析】 【分析】设，即，，分类讨论：第一种情况，恰为等腰三角形，，延长 交于点N，先证明四边形是矩形，即有，进而有，解方程即可；第二种情况，恰为等腰三角形，，在中，由，可得，解得，此时点D、E重合，不符合题意，此种情况舍去；第三种情况，恰为等腰三角形，，延长 交于点M，如图，同上可证明四边形是矩形，先证明，即在中，，可得，解方程即可． 【详解】∵四边形 是边长为的正方形， ∴，，， 设，即， ∴， 分类讨论： 第一种情况，恰为等腰三角形，， 延长 交于点N，如图， ∵，， ∴，即四边形是矩形， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得：， 即此时； 第二种情况，恰为等腰三角形，，如图， ∴， ∵在中，， ∴， 解得，此时点D、E重合，不符合题意，此种情况舍去； 第一种情况，恰为等腰三角形，， 延长 交于点M，如图， 同上可证明四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：，此时， 故答案为：或者 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 15. 定义：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．如图，在中，于点E，若 ，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点A落在“垂中平行四边形”的边 上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过 的中点时，则的长为______． . 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分当时和当时这两种情况进行推导即可． 【详解】解：根据题意，分以下两种情况：①当时，此时点N与点A重合，以为边构造“垂中平行四边形”，使点A落在“垂中平行四边形”的边 上， 如答案图①，延长 交 于点K，则K为 的中点． ∵在中，于点E， ，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴ ； ②当时，如答案图②，则A为 的中点． ∵ ，∴ ，∴ ． 在中，由勾股定理，得 ， ∴综上所述，的长为 或 ． 三、解答题（8题，共75分） 16. 化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 （1）任务一：以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________； （2）任务二：请写出正确的化简过程． 【答案】（1）二；括号前是“－”号，去括号时未变号 （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：二；括号前是“－”号，去括号时未变号； 【小问2详解】 解：原式＝ · · ． 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图； （2）表格中的S甲2______S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）＞ （3）选择乙公司，理由见解析 【解析】 【小问1详解】 解：由题可知，甲公司配送速度得分为9分的频数为， ∴补全频数分布直方图如答案图所示； 【小问2详解】 由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，乙公司的得分数据比甲公司的得分数据波动小， ∴． 【小问3详解】 综上，无论是配送速度还是服务质量得分，均是乙公司更好，因此我认为该农产品种植户应选择乙公司． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形 ，图②中已画出以为半径的 ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，画出四边形 的一条对称轴． （2）在图②中，画出经过点E的 的切线． 【答案】（1）如图： （2）如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等： （1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； （2）如图所示，取格点，作直线 ，则直线 即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形 是矩形，且E、F分别为的中点； 【小问2详解】 解：如图所示，取格点，作直线 ，则直线 即为所求； 易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则． 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边 ，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线 分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边 ，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接 ，，．若点D为 的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】（1）正确， 证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2） 证明∶如图（1），过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线，交 轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）k 【解析】 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线，交 轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数 的几何意义求解面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 20. 如图， 是 的直径，点在 上，作于 交 于，的平分线交 于点 ，交 于点 ，连接，． （1）若 的半径为 ，，求弦的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理计算出，再根据垂径定理求出即可； （2）根据对顶角的性质和直角三角形的性质可得，由直径所对的圆周角为直角可得，则．结合角平分线的性质和同弧所对的圆周角相等可得，则，从而证明． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， 是 的直径， ∴，， ∵， 的半径为 ， ∴， 在直角中，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 21. 盆栽不仅仅是一种组合，更是一种生活态度、一种情感表达，同时也是一种生态功能和文化的象征．盆栽培育专家研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对 A，B 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与A，B植物的生长高度，的关系如图2所示． （1）请分别求植物 A、植物 B生长高度与药物施用量的函数解析式； （2）研究发现，当两种植物高度差距不超过时，会有一种别致的美，请求出此时药物施用量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； （1）根据题意直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据两种植物高度差距不超过建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设植物B生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得 解得 ． 将 代入 得． ∴交点坐标为． 设植物A生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得 ，解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得 故盆栽呈现别致美的时候，药物施用量的取值范围为 22. 综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点 成中心对称，该段结构水平宽度为8米． 【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿 竖直立于地面，当点 触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 （1）确定中心：求图2中点 到该结构最低点的水平距离 ． （2）确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． （3）确定高度：求挡风板的高度． 【答案】（1）2米 （2）以点为原点，按如图形式建立直角坐标系， 由条件得，过、，对称轴为， 设顶点式为， 将、代入得， 解得：，， ； （3）2.675m或2.325m 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据对称性求解即可； （2）以点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件可求对称轴为，设顶点式为，把、代入求解即可； （3）把，分别代入（2）中解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由中心对称性得：米，由轴对称性得：米． 即图2中点 到该结构最低点的水平距离 为2米； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 情况①：当时，， 情况②：将时，， 综上，挡风板的高度为2.675m或2.325m． 23. 综合与探究 【问题引入】 如图①，在中，，，F为内一点，连接，将绕点F顺时针旋转 得到 ，连接并延长到点E，使，连接 ，， ，．求证：，． 【思路探究】 经过小组讨论，两个小组分别给出了他们的解题思路： “智慧小组”的解题思路为：将线段借助平行线进行平移，如图②，过点B作平行交 的延长线于点G，这样可以将证明和 的关系转化为和 的关系； “善思小组”的解题思路为：结合F为 的中点构造三角形的中位线，如图③，过点B作平行 交的延长线于点H，连接，从而借助三角形中位线性质，将和 的关系转化为和 的关系． 【自主证明】 （1）请你选择其中一个小组的思路，或用你自己探究的思路写出证明过程； 【深入探究】 （2）如图④，在中，，，D为 上一点，将 绕点C逆时针旋转 得到，连接 ，，O为中点，连接并延长交 的延长线于点F，若，探究，， 之间的数量关系，并说明理由； （3）在【问题引入】的基础上，老师对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）AF=或 【解析】 【分析】（1）根据“智慧小组”的思路先证明，再结合旋转的性质，再证明，再根据全等的性质即可证明；根据“善思小组”的思路延长交于点 ，先证明，根据相似的性质再依次证明出，，最后即可证明出结论． （2）如图，过点 作交于点，取 中点 ，连接． 证明，根据平行线的性质与判定证明，即可解答． （3）分两种情况，点F在内部，点F在外部，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：(1)答案不唯一，合理即可． 证明：“智慧小组”的解法： 如图，连接，延长 交的延长线于点H，交 于点O， ， ，， ， ， ，， 由旋转可得，， ，， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 即． “善思小组”的解法：如图，延长交于点 ， ，，，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 即， ， ， ， ，． （2）解：，理由如下： 如图，过点 作交于点，取 中点 ，连接． ，，， ，， ， ， 由旋转，得，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ，， ， ． （3）解：点 在内部，如图， ， ， ，， ， 三点共线， 在中，， ， ， 解得； 点 在外部，如图， 同理，可得方程， 解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $