广东省广州市趋势卷（2-1）-2026年全国各地区中考一轮数学趋势卷

【一轮复习】2026年广东省广州市中考数学趋势卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D．0.101001 2．“力箭一号”（ZK﹣1A）运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功．把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 3．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C．a3•a2＝a6 D．（2a2）3＝8a6 4．一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．学校为了了解七年级学生喜欢的课外书中语文课外阅读书、数学辅导书及英语读物所占的比例，通常采用的统计图是（　　） A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上均可 6．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点的坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（﹣2，0） 7．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＞﹣5 C．k＜﹣5 D．k＞5 8．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝8，BD＝6，顺次连接菱形ABCD各边中点所围成的四边形的面积是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 9．如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB＝60°，E为AD的中点，M为AC上任意一点，则DM+EM的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 10．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 二．填空题（共6小题） 11．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝76°，则∠COD＝ 　 　 度． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，联结AB、CD交于点E，那么的值是　 　 ． 13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　 ． 14．如图，OC平分∠AOB，P是边OA上一点，以点P为圆心、大于点P到OB的距离为半径作弧，交OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线PD分别交OC、OB于点G、Q．若sin∠AOB，OP＝2，则点G到OP边的距离为 　 　 ． 15．已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是　 　 ． 16．如图，AC，BD都是⊙O的直径，过点A作O的切线，与BD的延长线相交于点E．若⊙O的半径为1，DE＝x，CE＝y，则y关于x的函数关系式为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．解不等式组，把解集用数轴表示出来并写出满足条件的正整数解． 18．已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠F，BE＝CF． 求证：△ABC≌△DFE． 19．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 20．小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 （1）若通过平均分来确定最终评分，小明会选择　 　 型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） （2）小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按2：1：3：4的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 21．如图，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段BC的中点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一个动点，PD⊥y轴于点D．设四边形AODP的面积为S，当时，S的最小值． 22．广湛高铁2025年12月22日正式开通营运，全长约为420km，一列G字头高速动车的平均速度是D字头动车的1.75倍，运行时间比D字头动车少0.9小时．求该G字头高速动车的平均速度． （1）设D字头动车的速度为xkm/h，请用含x的式子将表格补充完整． 路程（km） 速度（km/h） 时间（h） D字头动车 420 x ② G字头高速动车 420 ① ③ 填空：①　 　 ；②　 　 ；③　 　 ； （2）请列出方程完成本题解答． 23．【探索发现】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来． ①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是 　 　 ． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，点D是边AB的中点，∠EDF＝90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝4cm时，请直接写出线段CF的长度． 24．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点P往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的C点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分．在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网EF．建立如图2的平面直角坐标系，已知点P坐标为，点D坐标为（0，6），点C坐标为（8，2），秋千绳长PA为4m，PB与y轴形成的夹角为α． （1）某次表演中，当α＝30°时，演员甲在点B处接住了演员乙． ①点B的坐标为 　 　 ； ②若抛物线经过点B、C、D，求抛物线y的解析式； （2）在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； （3）在长期的训练过程中，演员乙从点C抛出（抛射点C不变）的运动路径都可近似看作的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网EF．若点F在抛物线y2的对称轴上，求线段EF的长度至少为多少米． 25．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段是 　 　 ，的值是 　 　 ． 问题解决 （2）如图2，现有一块四边形板材ABCD，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，AD＝4，工人师傅想用这块板材裁出一个三角形部件BCP，使得点P在四边形ABCD的边上，且△BCP的一个内角等于另一个内角的2倍，他在这块板材上的作法如下： 第一步：作边BC的垂直平分线DR交BC于点R； 第二步：作∠BCD的平分线交DR于点O； 第三步：连接BO并延长交DC于点P，得△BCP． 若按上述作法，裁得的三角形部件BCP是否符合要求？若符合，请求出△BCP的面积．若不符合，请给出一种符合要求的作法． 【一轮复习】2026年广东省广州市中考数学趋势卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A B A D B B A 一．选择题（共10小题） 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D．0.101001 【答案】A 【解答】解：是无理数； ，0.101001是分数，属于有理数； 2，是整数，属于有理数； 故选：A． 2．“力箭一号”（ZK﹣1A）运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功．把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【解答】解：把卫星看成点，卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了点动成线， 故选：A． 3．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C．a3•a2＝a6 D．（2a2）3＝8a6 【答案】D 【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵a3•a2＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵（2a2）3＝8a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4．一元二次方程2x2﹣7x+5＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝49﹣40＝9＞0， 所以方程有两个不相等实数根， 故选：A． 5．学校为了了解七年级学生喜欢的课外书中语文课外阅读书、数学辅导书及英语读物所占的比例，通常采用的统计图是（　　） A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上均可 【答案】B 【解答】解：要了解学生喜欢的课外书所占的比例，通常采用扇形统计图． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点的坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（﹣2，0） 【答案】A 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x的图象向下平移2个单位长度所得函数的解析式为y＝2x﹣2． 令y＝0，则x＝1， 即平移后的图象与x轴交点的坐标为（1，0）． 故选：A． 7．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＞﹣5 C．k＜﹣5 D．k＞5 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数y的图象分布在第二、四象限， ∴5﹣k＜0， 解得k＞5， 故选：D． 8．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝8，BD＝6，顺次连接菱形ABCD各边中点所围成的四边形的面积是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点， ∴EF、FG、GH、EH分别为△ABD、△ABC、△BCD、△ACD的中位线， ∴EF∥BD，EFBD＝3，GH∥BD，GHBD＝3，FG∥AC，FGAC＝4， ∴EF∥GH，EF＝GH，EF⊥FG， ∴四边形EFGH为矩形， ∴S矩形EFGH＝3×4＝12， 故选：B． 9．如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB＝60°，E为AD的中点，M为AC上任意一点，则DM+EM的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解答】解：连接EB交AC于M，连接DM，DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴线段AC、BD互相垂直平分， ∴B、D关于AC对称，则MD＝MB， ∴EM+MD＝EM+BM＝EB， 即EB就是EM+MD的最小值． ∵∠BAD＝60°，AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∵AE＝ED， ∴EB⊥AD． 在Rt△BDE中，BD＝AD＝4，ED＝2 ∴， ∴EM+MD的最小值为． 故选：B． 10．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【答案】A 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， 而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（1，y2）点离直线x＝﹣1最近， ∴y2＞y3＞y1． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝76°，则∠COD＝ 　38　 度． 【答案】38． 【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝76°，∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB＝∠COD76°＝38°， 故答案为：38． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，联结AB、CD交于点E，那么的值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵BC∥AD， ∴△BCE∽△ADE， ∴， 故答案为：． 13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥﹣1且x　 ． 【答案】x≥﹣1且x． 【解答】解：由题意得：x+1≥0且2x﹣1≠0， 解得：x≥﹣1且x． 故答案为：x≥﹣1且x． 14．如图，OC平分∠AOB，P是边OA上一点，以点P为圆心、大于点P到OB的距离为半径作弧，交OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线PD分别交OC、OB于点G、Q．若sin∠AOB，OP＝2，则点G到OP边的距离为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由作法得PD⊥OB于Q， ∴∠PQO＝90°， ∵sin∠AOB， ∴∠AOB＝60°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠GOQ∠AOB60°＝30°， 在Rt△POQ中，OQOP， 在Rt△GOQ中，∴GQOQ＝1， ∵OC平分∠AOB， ∴点G到OP边的距离＝GQ＝1． 故答案为：1． 15．已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标是﹣1， ∴1﹣a＝﹣2+2a， ∴a＝1， ∴二次函数为y＝x2﹣1，一次函数为y＝2x+2， 令x2﹣1＝2x+2， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴点B的横坐标是3． 故答案为：3． 16．如图，AC，BD都是⊙O的直径，过点A作O的切线，与BD的延长线相交于点E．若⊙O的半径为1，DE＝x，CE＝y，则y关于x的函数关系式为 y（x＞0）　 ． 【答案】y（x＞0）． 【解答】解：∵⊙O的半径为1，AC，BD都是⊙O的直径， ∴OD＝OA＝1，AC＝2， ∵DE＝x， ∴OE＝OD+DE＝x+1， ∵AE是⊙O的切线， ∴OA⊥AE， ∴∠OAE＝90°， 在Rt△AOE中，AE2＝OE2﹣OA2＝（x+1）2﹣12＝x2+2x， 在Rt△ACE中， ∵AC＝2，CE＝y，CE2＝AC2+AE2＝22+x2+2x＝x2+2x+4， ∴y（x＞0）， 故答案为：y（x＞0）． 三．解答题（共9小题） 17．解不等式组，把解集用数轴表示出来并写出满足条件的正整数解． 【答案】﹣1＜x≤2，它的所有正整数解为：1，2． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤2， ∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ∴它的所有正整数解为：1，2． 18．已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠F，BE＝CF． 求证：△ABC≌△DFE． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝FE， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（AAS）． 19．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（）• • ， 由题意得：x﹣2≠0且x﹣1≠0， ∴x≠1和2， 当x＝3时，原式． 20．小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 （1）若通过平均分来确定最终评分，小明会选择　乙　 型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） （2）小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按2：1：3：4的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 【答案】（1）乙； （2）小明家会选择甲型号的小汽车． 【解答】解：（1）甲的平均分为：7.5（分）， 乙的平均分为：7.75（分）， ∵7.75＞7.5， ∴小明会选择乙． 故答案为：乙； （2）甲的得分为：7.6（分）， 乙的得分为：7.5（分）， ∵7.6＞7.5， ∴小明家会选择甲型号的小汽车． 21．如图，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段BC的中点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一个动点，PD⊥y轴于点D．设四边形AODP的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】（1）； （2）3． 【解答】解：（1）在y＝﹣2x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）． ∵A为线段BC的中点， ∴﹣1×2﹣0＝﹣2，0×2﹣（﹣2）＝2， ∴C（﹣2，2）． ∵反比例函数的图象过点C， ∴k＝﹣2×2＝﹣4， ∴； （2）解：∵点P是反比例函数的图象上一个动点， ∴设， ∴． 设，则S＝a+2， ∴S随a的增大而增大． 在中，﹣2＜0， ∴x＜0时，a随x的增大而增大， ∴S随x的增大而增大． 由（1）知，C（﹣2，2）， ∴当时，﹣2≤x＜0， ∴当x＝﹣2时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 22．广湛高铁2025年12月22日正式开通营运，全长约为420km，一列G字头高速动车的平均速度是D字头动车的1.75倍，运行时间比D字头动车少0.9小时．求该G字头高速动车的平均速度． （1）设D字头动车的速度为xkm/h，请用含x的式子将表格补充完整． 路程（km） 速度（km/h） 时间（h） D字头动车 420 x ② G字头高速动车 420 ① ③ 填空：①　1.75x ；②　　 ；③　　 ； （2）请列出方程完成本题解答． 【答案】（1）①1.75x；②；③； （2）350km/h． 【解答】解：（1）∵G字头高速动车的平均速度是D字头动车的1.75倍，且设D字头动车的速度为xkm/h， ∴G字头高速动车的平均速度为1.75xkm/h； ∵广湛高铁全长约为420km， ∴D字头动车行驶全程的时间为 h，G字头高速动车行驶全程的时间为 h． 故答案为：①1.75x；②；③； （2）设D字头动车的速度为xkm/h， 根据题意得：0.9， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意， ∴1.75x＝1.75×200＝350（km/h）． 答：G字头高速动车的平均速度为350km/h． 23．【探索发现】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来． ①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是 AE2+CF2＝EF2 ． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，点D是边AB的中点，∠EDF＝90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝4cm时，请直接写出线段CF的长度． 【答案】（1）①AE2+CF2＝EF2，证明见解答；②证明见解答； （2）AE2+CF2＝EF2，证明见解答； （3）线段CF的长度为cm或cm． 【解答】（1）①解：猜想：AE2+CF2＝EF2，理由如下： 如图1， ∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O均为正方形， ∴OA＝OB，AB＝BC，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠A1OC1＝90°， ∴∠AOB﹣∠BOE＝∠A1OC1﹣∠BOE， 即∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF， 在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2， ∴AE2+CF2＝EF2， 故答案为：AE2+CF2＝EF2． ②证明：如图1′，延长EO交DC于点G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°， 在△AOE和△COG中， ， ∴△AOE≌△COG（ASA）． （2）解：结论：AE2+CF2＝EF2， 证明：如图2，延长EO交CD于点G，连接FG， ∵O是矩形ABCD的中心， ∴点O是AC的中点． ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO， ∴△AEO≌△CGO（AAS）， ∴AE＝CG，OE＝OG， ∵四边形A1B1C1O是矩形， ∴∠A1OC1＝90°，即OF⊥EG， ∴OF垂直平分EG， ∴EF＝FG， 在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2， ∴AE2+CF2＝EF2； （3）解：设CF＝xcm，①当E在线段AC上时，如图3，连接EF， ∵AE＝4cm，AC＝5cm，BC＝12cm， ∴CE＝1cm，在Rt△FCE中，∠C＝90°， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴12+x2＝EF2， 又由（2）易知EF2＝AE2十 BF2， ∴EF2＝42+BF2， ∴12+x2＝42+（12﹣x）2， 解得：x， ∴此时线段CF的长度为cm； ②当点E在CA延长线上时，如图4，过点B作BG⊥BC，交ED的延长线于G，连接EF，GF， 同理可证EF2＝AE2十 BF2， ∴EF2＝42+（12﹣x）2， 在Rt△FCE中，EF2＝x2+（5+4）2， ∴x2+（5+4）2＝42+（12﹣x）2， 解得：x， ∴此时线段CF的长度为cm； 综上所述，线段CF的长度为cm或cm． 24．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点P往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的C点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分．在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网EF．建立如图2的平面直角坐标系，已知点P坐标为，点D坐标为（0，6），点C坐标为（8，2），秋千绳长PA为4m，PB与y轴形成的夹角为α． （1）某次表演中，当α＝30°时，演员甲在点B处接住了演员乙． ①点B的坐标为 　（2，8）　 ； ②若抛物线经过点B、C、D，求抛物线y的解析式； （2）在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； （3）在长期的训练过程中，演员乙从点C抛出（抛射点C不变）的运动路径都可近似看作的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网EF．若点F在抛物线y2的对称轴上，求线段EF的长度至少为多少米． 【答案】（1）①（2，8）②； （2）8.25米； （3）EF至少为米． 【解答】解：（1）①过点B分别作BH⊥y轴，作BT⊥x轴，如图所示： ∵绳长PA为4m，PB与y轴形成的夹角为α，且α＝30°， ∴BP＝PA＝4m，∠OPB＝30°， ∴，即xB＝2， 则， ∵点P坐标为， ∴， 则， 即yB＝8， ∴点B的坐标为（2，8）； 故答案为：（2，8）； ②设抛物线y1的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵抛物线经过点B（2，8）、C、D，且点D坐标为（0，6），点C坐标为（8，2）， ∴， 解得， ∴抛物线y1的解析式为； （2）在（1）的条件下，抛物线y1的解析式为； ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值，则对称轴为直线， 把x＝3代入得， 即演员乙能达到的最高高度是8.25米； （3）∵演员乙从点C抛出（抛射点C不变）的运动路径都可近似看作的抛物线的一部分，且点C坐标为（8，2）， ∴2＝a×82﹣6a×8+c， ∴2＝64a﹣48a+c， ∴2＝16a+c，即c＝2﹣16a， ∴， ∵主办方设置高为3米的保护网EF， ∴3＝ax2﹣6ax+2﹣16a，即ax2﹣6ax﹣1﹣16a＝0， ∴，， 则， ， 令z，则在中，z随着a的增大而减小， ∴当a时，则z， 当a时，则z， 即， 故， ∴， ∴， ∴， ∵若点F在抛物线y2的对称轴上， ∴EF， 即， ∵预防表演时演员乙出现失误，安全问题， ∴EF至少为米． 25．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段是 BD＝CD ，的值是 　　 ． 问题解决 （2）如图2，现有一块四边形板材ABCD，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，AD＝4，工人师傅想用这块板材裁出一个三角形部件BCP，使得点P在四边形ABCD的边上，且△BCP的一个内角等于另一个内角的2倍，他在这块板材上的作法如下： 第一步：作边BC的垂直平分线DR交BC于点R； 第二步：作∠BCD的平分线交DR于点O； 第三步：连接BO并延长交DC于点P，得△BCP． 若按上述作法，裁得的三角形部件BCP是否符合要求？若符合，请求出△BCP的面积．若不符合，请给出一种符合要求的作法． 【答案】（1）BD＝CD，； （2）符合，． 【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝30°，∠ABC＝60°， ∵BD为△ABC的角平分线， ∴， ∴BD＝CD， ∴， 故答案为：BD＝CD，； （2）∵DR垂直平分BC， ∴BO＝CO，BR＝CR＝4＝AD， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CO平分∠BCD， ∴， ∴， ∴裁得的三角形部件BCP符合要求； ∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴AD∥BR， 又∵AD＝BR，∠A＝90°， ∴四边形ABRD是矩形， ∴DR＝AB＝3， 由勾股定理得，， 如图（2），作OG⊥CD于G， ∴OG＝OR， 又∵OC＝OC， ∴Rt△COG≌Rt△COR（HL）， ∴CG＝CR＝4， ∴DG＝CD﹣CG＝1， 设OG＝OR＝x，则OD＝3﹣x， 由勾股定理得，OD2﹣OG2＝DG2，即（3﹣x）2﹣x2＝12， 解得，， 由勾股定理得，， ∵∠PCO＝∠PBC，∠CPO＝∠BPC， ∴△CPO∽△BPC， ∴，即， 解得， ∴， ∴符合，△BCP的面积为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $