精品解析：河南周口市淮阳区淮阳红旗中学等校2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试卷

九年级下学期开学摸底检测数学试卷 一、选择题（每题3分，30分） 1. 如图是我市某一天的天气预报，这一天的最高温度比最低温度高（ ） A. B. C. D. 2. 如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( ) A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 圆锥 3. 2022年河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与相交于点O，射线 在内部，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于 的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ） A. 当时，方程有两个相等的实数根 B. 当时，方程有两个不相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的值无关 6. 如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 化简 的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 8. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．在一个不透明的布袋里装有5个标号分别为“宫”、“商”、“角”、“徵”、“羽”的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小微先从布袋里随机取出一个小球，记下标注的音阶后不放回，然后再随机取出一个，则取出的音阶恰好是“商”和“羽”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 二、填空题（每题3分，15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的 的值_____． 12. 2025年1月西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织同学进行献爱心活动，积极向灾区捐款．依据同学们捐款情况绘制的扇形统计图如图所示，则捐款的众数为_____元． 13. 按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 14. 黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形 ，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为______． 15. 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在对垂四边形中，已知，，，点E为边上一动点，连接 ，且 ，连接 ，将沿 翻折，得到，连接，若，则的长为______． 三、解答题（8题，75分） 16. （）计算：； （ ）如图，点 和分别是线段的中点和三等分点，求证：. 17. 在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务： （1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）： 甲型机器人：38，39，41，43，39 乙型机器人：50，48，32，33，34 请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人． （2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好） 功能性 交互性 安全性 采购价格 甲型机器人 10 8 9 8 乙型机器人 8 8 8 10 如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格） 18. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与 相交于点 ，将菱形向右平移，当点 恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点 ，连接并延长，在延长线上截取 ，使，连接和 （保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是正方形． 20. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 22. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线图象上的一点，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）将抛物线向上平移k个单位，当时，直接写出该二次函数y的取值范围； （3）若抛物线与直线有两个交点，求k的取值范围． 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是 边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接 ，则 的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是 中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，， 之间的数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期开学摸底检测数学试卷 一、选择题（每题3分，30分） 1. 如图是我市某一天的天气预报，这一天的最高温度比最低温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是( ) A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥． 【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键． 3. 2022年河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，直线与相交于点O，射线 在内部，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，对顶角线段，先由垂直的定义得到，再由对顶角线段得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 已知关于 的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ） A. 当时，方程有两个相等的实数根 B. 当时，方程有两个不相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的值无关 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式；先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为，再判断各选项的正确与否即可． 【详解】解：方程可整理为， ∴． 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项A不符合题意； 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选项B符合题意； 当时，的正负无法确定， ∴无法判断该方程实数根的情况， 故选项C不符合题意； ∵方程的根的情况和的值有关， 故选项D不符合题意． 故选B． 6. 如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长 到点 ，使得，连接 ，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到点 ，使得，连接 ，如下图： 由勾股定理得：，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解． 7. 化简 的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 8. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．在一个不透明的布袋里装有5个标号分别为“宫”、“商”、“角”、“徵”、“羽”的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小微先从布袋里随机取出一个小球，记下标注的音阶后不放回，然后再随机取出一个，则取出的音阶恰好是“商”和“羽”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，得到共有20种等可能的结果，其中取出的音阶是“商”和“羽”的结果有2种，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：画树状图如图， 由树状图可得共有20种等可能的结果，其中取出的音阶是“商”和“羽”的结果有2种， ∴P(取出的音阶恰好是“商”和“羽”) ． 9. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每题3分，15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的 的值_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的有意义的条件．二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此解答． 【详解】解：要使若在实数范围内有意义， 则， 即， 则写出一个满足条件的 的值为5． 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 2025年1月西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织同学进行献爱心活动，积极向灾区捐款．依据同学们捐款情况绘制的扇形统计图如图所示，则捐款的众数为_____元． 【答案】100 【解析】 【分析】所占百分比最大的数据就是众数，解答即可． 本题考查了众数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：100元所占的百分比为，最大， 故众数为100元， 故答案为：100． 13. 按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 14. 黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形 ，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，矩形的性质，正方形的性质，理解黄金矩形的定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义可得 的长，从而得到 的长，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在对垂四边形中，已知，，，点E为边上一动点，连接 ，且 ，连接 ，将沿 翻折，得到，连接，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当F在线段上方时，连接，作的外接圆，证明C，F，B，E，D五点共圆，根据弧、弦的关系，圆周角定理可得出，则，根据圆内接四边形的对角互补求出，过点D作于点K，过C作于M，在中，解直角三角形求出，，中，根据勾股定理求出，根据三线合一求出，在中，根据余弦的定义求出即可；②当F在线段下方时，类似①求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，． 当F在线段上方时， 如图①，连接，作的外接圆， ∵， ， ∴， ∴C，B，E，D四点共圆， ∵， ∴C，F，B，E四点共圆， ∴C，F，B，E，D五点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图②，过点D作于点K，过C作于M， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴； 当F在线段AB下方时，如图③，连接，作的外接圆， 同理可得C，F，B，E，D五点共圆， ∵， ∴， ∴， 如图④，过点D作DL⊥FB于点L，过C作于N， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴； ∴综上所述，的长为或． 三、解答题（8题，75分） 16. （）计算：； （ ）如图，点 和分别是线段的中点和三等分点，求证：. 【答案】（）； （ ）证明：∵点 是的中点， ∴， ∵是线段三等分点， ∴， ∴，即 . 【解析】 【分析】（）根据算术平方根、立方根的定义和特殊角的三角函数值分别计算，再合并即可； （ ）根据线段的中点可得，根据线段的三等分点得，进而即可求证； 【详解】（）解：原式 ； （ ）略 17. 在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务： （1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）： 甲型机器人：38，39，41，43，39 乙型机器人：50，48，32，33，34 请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人． （2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好） 功能性 交互性 安全性 采购价格 甲型机器人 10 8 9 8 乙型机器人 8 8 8 10 如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格） 【答案】（1） ， ， 甲型机器人完成搬运任务时间的极差为， 乙型机器人完成搬运任务时间的极差为， 乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）； （2） 我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4， 则， ， ， 按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了极差和算术平均数，掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别求出甲型机器人和乙型机器人的方差和平均数比较即可； （2）分出功能性、交互性、安全性及采购价格的比重，分别求出方差即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与 相交于点 ，将菱形向右平移，当点 恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点 作轴于点 ，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点 代入即可得到结论； （2）设菱形向右平移 个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，根据梯形的面积公式即可得到结论． 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，梯形的面积的计算，勾股定理，两点间的距离，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点 作轴于点 ，如图， ，，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ， ， 点 在反比例函数的图象上． ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵菱形， ∴， 又∵，， ∴，即 设菱形向右平移 个单位长度，此时， 在反比例函数的图象上． ， 解得． ，， 平移后的坐标为，， 如图， 扫过的面积 梯形的面积． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规找到边的中点 ，连接并延长，在延长线上截取 ，使，连接和 （保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是正方形． 【答案】（1） 解：如图所示（答案不唯一，合理即可）． （或或或） （2） 解：由作图可知， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的作图、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的判定是关键． （1）根据等腰三角形的性质和垂直平分线（或角平分线）的作图进行解答即可； （2）利用正方形的判定进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）A每件进价120元，B每件进价150元； （2）A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 设A每件进价x元，B每件进价y元， 由题意得， 解得：， 答：A每件进价120元，B每件进价150元； 【小问2详解】 设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得， 解得， 设利润为y元，则， ∵y随a的增大而减小， ∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800， 答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）8.6m 【解析】 【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似可证明； （2）还需要测出 的长，令，证明，得即 ，从而即可得解； （3）过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形，进而得，，证，得，即，求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：还需要测出 的长，令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形， ∴(m)，，， ∴(m)， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴(m)． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线图象上的一点，抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）将抛物线向上平移k个单位，当时，直接写出该二次函数y的取值范围； （3）若抛物线与直线有两个交点，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法和对称轴公式代入即可求解； （2）求出新抛物线为，根据性质求出在时取最大值，最大值为，根据对称性求出时取最小值，最小值为，即可确定取值范围； （3）解方程，根据抛物线与直线有两个交点，得到，进而得到，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线向上平移k个单位后解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴为直线，并且在范围内， ∴在时取最大值，最大值为． ∵抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，， ∴在时取最小值，最小值为． ∴当时，直接写出该二次函数y的取值范围为； 【小问3详解】 解：设，整理得， ∵抛物线与直线有两个交点， ∴由根的判别式得， 即， ∴， 当时，， 当时，． ∴k的取值范围为或． 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是 边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接 ，则 的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是 中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，， 之间的数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 【答案】（1）90；（2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）首先得到，，然后结合折叠的性质得到，，证明出，得到，进而求解即可； （2）如解图①，连接 ，证明出，得到，，求出，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，②当点落在矩形外部时，然后分别求出，证明出，即可求出． 【详解】解：（1）∵E是 边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠得，，， ∴， 又∵ ∴ ； （2）如解图①，连接 ， ∵E是 边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴，都是直角三角形， 在和中， ， 又∵， ∴． ∴， ∴ ； （3）分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，如解图②，连接 ， 设， ∴． 由（1）得，则 在中，，， ∴ 解得，即 ． ∵E为 的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； ②当点落在矩形外部时，如解图③，连接 ， 由（2）知， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴ ． 同理可得， 综上所述，的长为4或2． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $