精品解析：陕西省西安市西北工业大学附属中学2026届高三下学期第九次适应性训练数学试题

陕西省西安市西北工业大学附属中学 2025-2026学年高三下学期第九次适应性训练 一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的一条对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为，准线为l，过点的直线交于两点，以为圆心，为半径的圆交l于两点.若，则一定有（ ） A. B. 直线的斜率是 C. D. 的面积是 8. 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 10. 已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的斜率是 C. 直线的斜率是 D. 椭圆的离心率为 11. 已知函数（且），下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，有恒成立 C. 当时，有两个零点 D. 存在唯一的使得仅有一个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.） 12. 在的二项展开式中，的系数为______． 13. 数列的前项和，则的通项公式___________. 14. 若实数满足，则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，已知四棱锥平面平面，. （1）证明：平面平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 甲乙两人进行围棋比赛，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，胜者得2分，输者得1分，甲胜的概率为，每局胜负不受其他因素的影响. （1）在三局比赛中，设甲的累计得分为Y，求Y的分布列和数学期望； （2）设n局比赛中，甲累计得分为的概率为，求. 17. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求k的取值范围. 18. 双曲线的离心率为，等边三角形ABC的顶点A在y轴上，点BC在双曲线的右支上，当轴时，. （1）求W的方程； （2）设直线BC交y轴于点D，证明：以AD为直径的圆过定点. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市西北工业大学附属中学 2025-2026学年高三下学期第九次适应性训练 一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用一元二次不等式求解集合，再应用值域得出集合，最后应用交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：B. 2. 函数的一条对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于正弦型函数，其对称轴满足：， 所以对于函数，令，解得对称轴方程为：. 验证选项：当时，. 3. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长. 【详解】因为，即， 可得，所以. 4. 已知随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【详解】因为正态分布的均值为，故， 故，C正确. 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 6. 已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】寻找图象中函数的性质，代入函数式验证. 【详解】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负， 对于A：, ，满足，A正确； 对于B：，不满足，B错误； 对于C：，不满足，C错误； 对于D：， ，不满足，D错误； 故选：A. 7. 设抛物线的焦点为，准线为l，过点的直线交于两点，以为圆心，为半径的圆交l于两点.若，则一定有（ ） A. B. 直线的斜率是 C. D. 的面积是 【答案】D 【解析】 【分析】对于A,利用几何关系求出焦点和准线之间的距离即可；对于B，利用几何关系求出直线的倾斜角即可；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且 故，所以是等边三角形，所以， 设准线与轴交于点,则，如下图： 故故A错误； 对于B，因为,平行于轴， 故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为； 当点位于第四象限时，直线的倾斜角为；所以直线的斜率是，故B不正确； 对于C，因为直线的斜率是，且抛物线， 故直线的方程为：， 联立方程得，即 设则，故，故C不正确； 对于D,由A知 ，故 故,故D正确. 8. 已知函数，若有两个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合两角和差的余弦公式化简，进而可求得，再根据二倍角的正弦公式化简可得. 【详解】易知， 令，则，所以或； 可得或， 因此或， 又因为，所以； 所以 . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据和差角公式得出，是解决本题的关键. 二、多选题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算（点积求夹角、法向量）和体积公式，逐一分析判断命题的正确性. 【详解】以点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，； ，设（其中，）； 选项A：因为，以为底面，点到平面的距离为高， 因为，所以， 点在上底面内，到平面的距离恒为， 则， 故为定值，A正确； 选项B：，取其方向向量为，； ， 若，则，代入得：， 由于，，故，， 则，方程无解，B错误； 选项C：平面的一个法向量为， 由线面角的正弦值公式得：； 令（），则： 当时，，， 令，则， 因，故，即在上严格单调递增， ；，故； 当时，，则：， 因此：，同时 恒成立； 综上，，C正确； 选项D：，， 设平面的法向量为，则：， 即：，令，则，，可得平面的一个法向量为：， 若直线与平面平行，则，即， 由于点在上底面内（不含边界），即，，方程 在此区域内有解（例如取，则）， 此时，且不在平面内，故平面，选项D正确. 10. 已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的斜率是 C. 直线的斜率是 D. 椭圆的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可知这是一个中点弦问题，一般采用点差法求解. 【详解】设，则， 将的坐标代入椭圆的方程，得 两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确； 所以. 如图，设为椭圆的左顶点，连接，则， 所以. 解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误； 所以， 所以， 故，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数（且），下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，有恒成立 C. 当时，有两个零点 D. 存在唯一的使得仅有一个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】讨论、研究与的图象交点情况，注意在时首先确定相切，即的情况，结合对数函数图象的变化性质再研究、图象，数形结合判断各项正误即可. 【详解】， ①当时，与的图象如下： 由图知，只有一个交点，即函数只有一个零点； ②时，与的图象如下： 若图象相切时且切点，则，解得，原函数有一个零点. 当时，两图象有两个交点，原函数有两个零点； 当时，两图象无交点，原函数无零点， 故D错误； A：当时，，故，错误. B：当时，，此时恒在上方，正确 C：当时，与恒有两个交点，正确 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.） 12. 在的二项展开式中，的系数为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可得的系数. 【详解】因为展开式的通项为 令，可得的系数为. 故答案为：. 13. 数列的前项和，则的通项公式___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案. 【详解】由题意数列的前项和，则， 当时，， 不适合上式， 故的通项公式， 故答案为： 14. 若实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用换元法化简已知条件，求得，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】令， 所以，两边平方并化简得， 同理， 由题知，则， 故，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，已知四棱锥平面平面，. （1）证明：平面平面； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）法一：取中点，连接. 因为且且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为所以，又因为，且，所以平面，⋯ 故平面，平面，所以平面平面. 法二：不妨设，以为原点，分别以为轴建系， 则， 所以， 设平面的法向量为 由，所以，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量， 由，，令，则， 所以平面的一个法向量， 因为，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）法一：取中点，连接，利用已知可证平面，进而可证结论；法二：建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面平面； （2）法一：建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.法二：结合（1）法二：利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：不妨设，以为原点，分别以为轴建系， 则，所以， ， 由，得平面的法向量， 设与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二：由，得， 设与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 甲乙两人进行围棋比赛，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，胜者得2分，输者得1分，甲胜的概率为，每局胜负不受其他因素的影响. （1）在三局比赛中，设甲的累计得分为Y，求Y的分布列和数学期望； （2）设n局比赛中，甲累计得分为的概率为，求. 【答案】（1）的分布列为 Y 3 4 5 6 数学期望 （2） 【解析】 【分析】（1）记甲胜的局数为，则，且，结合二项分布求分布列和期望； （2）分析可知局比赛中甲胜2局，结合独立重复实验得概率公式可得，则，结合裂项相消法运算求解. 【小问1详解】 记甲胜的局数为，则，且， 可得；； ；； 所以的分布列为 Y 3 4 5 6 数学期望. 【小问2详解】 由题意可知：局比赛中，甲累计得分为分，即局比赛中甲胜2局， 当时，； 当时，； 综上所述：，则， 所以. 17. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义，先求切点与导函数，代入得切线斜率，然后用点斜式写出切线方程； (2)将恒成立问题转化为大于分离参数后函数的上确界，通过求导判断单调性，结合洛必达法则确定其最大值，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数为：， 代入，得，故切点为， 而， 代入，， 由，得：，即 【小问2详解】 当 时， 恒成立，即，； 由于时，则， 令（），对求导： ， 令分子为， 对求导：， 故在上单调递减，且，因此（）， 由此可知（），即在上单调递减，所以， 由洛必达法则可得， 要使对所有恒成立，则，即. 18. 双曲线的离心率为，等边三角形ABC的顶点A在y轴上，点BC在双曲线的右支上，当轴时，. （1）求W的方程； （2）设直线BC交y轴于点D，证明：以AD为直径的圆过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，求出,进而可得，即可求得双曲线的方程； （2）将直线BC与双曲线联立，得到一元二次方程，利用韦达定理和题目已知条件，即可证明. 【小问1详解】 （1）由题知①， 当轴时，不妨设直线BC：， 与双曲线联立知， 又因为， ②， 又因为A在BC的中垂线上，故， ③， 将③代入①②知，. 即双曲线W方程为：； 【小问2详解】 证明：由题意知，直线BC的斜率存在，不妨设BC：， 设，，，， 直线BC与双曲线联立，需满足， ，， 取BC中点为P，则易知， ，， 又∵， 设直线AP的方程为：， ， 由于为等边三角形，. ， ， 设以AD为直径的圆的圆心为，则， 则以AD为直径的圆的方程为④， 由于， 故④化简得， 令，解得， ∴以AD为直径的圆过定点，证毕. 【点睛】关键点点睛：此题关键在于，利用已知条件，找到点的纵坐标的关系，进而可以证明以AD为直径的圆过定点 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $