单元培优讲义：简易方程-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

简易方程 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！欢迎来到五年级下册数学的第一单元——《简易方程》。在之前的学习中，我们已经习惯了用已知数去求未知数的算术方法。从今天开始，我们将学习一种全新的数学思维——代数思维。你会认识一位神奇的朋友“字母”，它能代替未知的数字，帮助我们更轻松地解决生活中的复杂问题，比如求解行程问题、价格问题等。本讲义严格依据苏教版教材编写，旨在帮助大家理解方程的意义，掌握等式的性质，并学会解简单的方程。学习时，请务必动手操作（如使用天平模型），理解“等式两边同时加减或乘除”的原理，养成检验的好习惯。让我们一起开启代数世界的大门吧！ 知识梳理 1. 方程的意义与等式的性质 （1）方程的意义 ① 定义：含有未知数的等式叫做方程。 ② 核心要素：判断一个式子是不是方程，必须同时满足两个条件：必须是等式（含有“=”）；必须含有未知数（如 ）。 （2）等式的性质 ① 性质1（加减平衡）：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。例如：若 ，则 。 ② 性质2（乘除平衡）：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。例如：若 ，则 （ ）。 2. 解方程的步骤与方法 （1）解方程的原理 ① 依据：利用等式的性质，通过变形，使方程的一边只剩下未知数 ，另一边是具体的数值。 （2）基本步骤 ① 移项：通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边（移项要变号，加变减，减变加）。 ② 合并同类项：将未知数的系数相加减，常数项相加减。 ③ 系数化为1：利用等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数，求出 的值。 （3）检验 ① 方法：将求得的解代入原方程，看等号左边的结果是否等于右边，如果相等，说明解答正确。 3. 列方程解决实际问题 （1）找等量关系 ① 关键：分析题目中的数量关系，找出题目中隐含的等量关系（如：总量=部分量之和；速度×时间=路程等）。 （2）列方程 ① 设未知数：通常把所求的问题设为 （直接设未知数）。 ② 列式：根据等量关系，用含有 的式子表示出相关的量，列出方程。 例题讲解 【典型例题1】 解方程： 解析： 1.观察方程：方程左边是 加上一个数，要求出 ，需要利用等式的性质1。 2.移项/变形：为了使左边只剩下 ，我们需要在等式两边同时减去 。 3.计算： 4.检验：把 代入原方程，左边 ，等于右边，所以 是正确的解。 【跟踪练习1】 解方程： 【典型例题2】 解方程： 解析： 1.观察方程：方程左边是 乘以 ，要求出 ，需要利用等式的性质2。 2.变形：为了使 的系数变成 ，我们需要在等式两边同时除以 。 3.计算： 4.检验：把 代入原方程，左边 ，等于右边，所以 是正确的解。 【跟踪练习2】 解方程： 【典型例题3】 学校买来一批篮球和8个足球，一共用了880元。每个篮球 元，每个足球 元。学校买了多少个篮球？ 解析： 1.找等量关系：篮球的总价 + 足球的总价 = 总共用的钱。 2.设未知数：设学校买了 个篮球。 3.列方程：篮球总价是 ，足球总价是 ，总钱数是 。 4.解方程： 5.答：学校买了 个篮球。 【跟踪练习3】 妈妈买了 千克苹果和 千克香蕉，一共花了 元。已知每千克香蕉 元，每千克苹果多少元？ 培优练习 一、选择题 1．黄石市某小学组织研学活动，五年级有135人参加，比四年级参加人数的1.5倍少15人，设四年级有人参加，列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．如果a＝b（a、b均不为0），那么下列等式正确的是（    ）。 A．a＋7＝b＋7 B．a×7＝b＋7 C．a＋7＝b－7 D．a×7＝b÷7 3．下面式子中，（    ）是方程。 A．4x＋5 B．5x－6＝19 C．3x＜6 D．12÷4＝3 4．下面各图中不能用方程“”来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 5．阿姨花160元买了一些水瓶和茶杯。每个水瓶25元，每个茶杯6元，买的茶杯比水瓶多6个。阿姨一共买了（    ）个茶杯。 A．8 B．10 C．12 D．14 二、填空题 6．解方程3x＋5＝23时，先把3x看作一个整体，方程两边同时减去( )，得到3x＝18，再将方程两边同时除以( )，解得x＝6。 7．在方程的后面画“○”，在不是方程的后面画“△”。 9＋5x( )    8＋9＝17( )     11x＝0( )    5÷x＝2( ) x＋9＞20( )   3x＋7( )     36a＝b( )    c＝7( ) 8．如果a＝b，根据等式的性质：a＋( )＝b＋( )，( )。 9．一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，列方程为( )。 10．超市里有4块装和6块装的两种巧克力，张老师想买50块巧克力作为元旦礼物发给孩子们，她一共有( )种不同的买法。 三、判断题 11．等式的两边乘或除以同一个数，左右两边仍然相等。( ) 12．2x－5是含有未知数的式子，所以它是方程。( ) 13．式子3x－9＜20中含有未知数，所以它是方程。( ) 14．a的5倍是45，数量关系式是a×5＝45。( ) 15．x＝7是方程54－7x＝5的解。( ) 四、计算题 16．解方程。 3x＋9＝15    x÷14＝70    6x－x＝40 17．列方程解。 五、解答题 18．公司组织员工102人自驾游，商务车限乘7人，小轿车限乘5人，一共乘坐了商务车和小轿车共18辆，并且每辆车都坐满了。自驾游的商务车和小轿车各有多少辆？（列方程解） 19．赣南脐橙和寻乌蜜桔是江西省赣州市的特产水果，水果批发商店共运进脐橙和蜜桔900千克，脐橙的质量是蜜桔的3.5倍，商店运进脐橙、蜜桔各多少千克？（画一画或说一说你的思考过程再用方程解答） 20．正阳文化广场正在开展知识竞赛活动，共有140名学生参加，其中男生人数是女生人数的2.5倍，参加知识竞赛的男、女生各有多少人？（列方程解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简易方程 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！欢迎来到五年级下册数学的第一单元——《简易方程》。在之前的学习中，我们已经习惯了用已知数去求未知数的算术方法。从今天开始，我们将学习一种全新的数学思维——代数思维。你会认识一位神奇的朋友“字母”，它能代替未知的数字，帮助我们更轻松地解决生活中的复杂问题，比如求解行程问题、价格问题等。本讲义严格依据苏教版教材编写，旨在帮助大家理解方程的意义，掌握等式的性质，并学会解简单的方程。学习时，请务必动手操作（如使用天平模型），理解“等式两边同时加减或乘除”的原理，养成检验的好习惯。让我们一起开启代数世界的大门吧！ 知识梳理 1. 方程的意义与等式的性质 （1）方程的意义 ① 定义：含有未知数的等式叫做方程。 ② 核心要素：判断一个式子是不是方程，必须同时满足两个条件：必须是等式（含有“=”）；必须含有未知数（如 ）。 （2）等式的性质 ① 性质1（加减平衡）：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。例如：若 ，则 。 ② 性质2（乘除平衡）：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。例如：若 ，则 （ ）。 2. 解方程的步骤与方法 （1）解方程的原理 ① 依据：利用等式的性质，通过变形，使方程的一边只剩下未知数 ，另一边是具体的数值。 （2）基本步骤 ① 移项：通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边（移项要变号，加变减，减变加）。 ② 合并同类项：将未知数的系数相加减，常数项相加减。 ③ 系数化为1：利用等式的性质2，方程两边同时除以未知数的系数，求出 的值。 （3）检验 ① 方法：将求得的解代入原方程，看等号左边的结果是否等于右边，如果相等，说明解答正确。 3. 列方程解决实际问题 （1）找等量关系 ① 关键：分析题目中的数量关系，找出题目中隐含的等量关系（如：总量=部分量之和；速度×时间=路程等）。 （2）列方程 ① 设未知数：通常把所求的问题设为 （直接设未知数）。 ② 列式：根据等量关系，用含有 的式子表示出相关的量，列出方程。 例题讲解 【典型例题1】 解方程： 解析： 1.观察方程：方程左边是 加上一个数，要求出 ，需要利用等式的性质1。 2.移项/变形：为了使左边只剩下 ，我们需要在等式两边同时减去 。 3.计算： 4.检验：把 代入原方程，左边 ，等于右边，所以 是正确的解。 【跟踪练习1】 解方程： 答案及解析： 1.根据等式的性质1，方程两边同时加上 。 2.计算得： 3.检验： ，等于右边，解正确。 【典型例题2】 解方程： 解析： 1.观察方程：方程左边是 乘以 ，要求出 ，需要利用等式的性质2。 2.变形：为了使 的系数变成 ，我们需要在等式两边同时除以 。 3.计算： 4.检验：把 代入原方程，左边 ，等于右边，所以 是正确的解。 【跟踪练习2】 解方程： 答案及解析： 1.根据等式的性质2，方程两边同时乘以 。 2.计算得： 3.检验： ，等于右边，解正确。 【典型例题3】 学校买来一批篮球和8个足球，一共用了880元。每个篮球 元，每个足球 元。学校买了多少个篮球？ 解析： 1.找等量关系：篮球的总价 + 足球的总价 = 总共用的钱。 2.设未知数：设学校买了 个篮球。 3.列方程：篮球总价是 ，足球总价是 ，总钱数是 。 4.解方程： 5.答：学校买了 个篮球。 【跟踪练习3】 妈妈买了 千克苹果和 千克香蕉，一共花了 元。已知每千克香蕉 元，每千克苹果多少元？ 答案及解析： 1.找等量关系：苹果的总价 + 香蕉的总价 = 元。 2.设未知数：设每千克苹果 元。 3.列方程： 4.解方程： 5.答：每千克苹果 元。 培优练习 一、选择题 1．黄石市某小学组织研学活动，五年级有135人参加，比四年级参加人数的1.5倍少15人，设四年级有人参加，列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】五年级参加人数比四年级参加人数的1.5倍少15人，是将四年级参加人数看成单位“1”，四年级参加人数的1.5减去15人就是五年级参加人数135人，设四年级参加人数为人，由此列方程。 【详解】解：设四年级有人参加。 故答案为：A 2．如果a＝b（a、b均不为0），那么下列等式正确的是（    ）。 A．a＋7＝b＋7 B．a×7＝b＋7 C．a＋7＝b－7 D．a×7＝b÷7 【答案】A 【分析】根据等式的性质（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。（2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。据此解答。 【详解】根据分析： A．如果a＝b（a、b均不为0），a＋7＝b＋7等式成立； B．如果a＝b（a、b均不为0），a×7＝b＋7等式不成立； C．如果a＝b（a、b均不为0），a＋7＝b－7等式不成立； D． 如果a＝b（a、b均不为0），a×7＝b÷7等式不成立。 故答案为：A 3．下面式子中，（    ）是方程。 A．4x＋5 B．5x－6＝19 C．3x＜6 D．12÷4＝3 【答案】B 【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此进行判断选择即可。 【详解】A．不是等式，不是方程。 B．既含有未知数，也是等式，是方程。 C．不是等式，不是方程。 D．没有未知数，不是方程。 故答案为：B 4．下面各图中不能用方程“”来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．根据图可知，3份是，则一份是，一共是120；3份＋1份＝120，据此列方程。 B．根据图可知，3份是，则一份是，一共是120；3份＋1份＝120，据此列方程。 C．根据图可知，1份是，则3份是3，一共是120；3份＋1份＝120，据此列方程。 D．根据图可知，种菠菜的面积为3份是m²，则一份是m²，一共是120m²；3份＋1份＝120（m²），据此列方程。 【详解】A．由图可知，能用来表示； B．由图可知，能用来表示； C．由图可知，不能用来表示； D．由图可知，能用来表示。 故答案为：C 5．阿姨花160元买了一些水瓶和茶杯。每个水瓶25元，每个茶杯6元，买的茶杯比水瓶多6个。阿姨一共买了（    ）个茶杯。 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】设阿姨一共买了x个茶杯，则买了（x－6）个水瓶，根据茶杯个数×单价＋水瓶个数×单价＝总钱数，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设阿姨一共买了x个茶杯。 6x＋25×（x－6）＝160 6x＋25x－150＝160 31x－150＝160 31x－150＋150＝160＋150 31x＝310 31x÷31＝310÷31 x＝10 阿姨一共买了10个茶杯。 故答案为：B 二、填空题 6．解方程3x＋5＝23时，先把3x看作一个整体，方程两边同时减去( )，得到3x＝18，再将方程两边同时除以( )，解得x＝6。 【答案】 5 3 【分析】根据等式的性质即可解方程： （1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 【详解】3x＋5＝23 解：3x＋5－5＝23－5 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 即解方程3x＋5＝23时，先把3x看作一个整体，方程两边同时减去5，得到3x＝18，再将方程两边同时除以3，解得x＝6。 7．在方程的后面画“○”，在不是方程的后面画“△”。 9＋5x( )    8＋9＝17( )     11x＝0( )    5÷x＝2( ) x＋9＞20( )    3x＋7( )     36a＝b( )    c＝7( ) 【答案】 △ △ ○ ○ △ △ ○ ○ 【分析】含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程，要符合两个条件：第一必须是等式；第二含有未知数。 【详解】，不是等式，所以不是方程； ，没有未知数，所以不是方程； ，是等式且含有未知数x，所以是方程； ，是等式且含有未知数x，所以是方程； ，是不等式，所以不是方程； ，不是等式，所以不是方程； ，是等式且含有未知数a和b，所以是方程； ，是等式且含有未知数c，所以是方程。 （△）；（△）；（○）；（○） （△）；（△）；（○）；（○） 8．如果a＝b，根据等式的性质：a＋( )＝b＋( )，( )。 【答案】 c c b 【分析】如果，根据等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，因此第一个和第二个空白应填同一个数（如c）。同时，由于，根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，表示，又因为,所以，因此，即第三个空白应填b。 【详解】由分析可知：如果，根据等式的性质：，。 9．一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，列方程为( )。 【答案】 【分析】一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，根据上衣的价格＋裤子的价格＝100，列出方程即可。 【详解】一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，列方程为。 10．超市里有4块装和6块装的两种巧克力，张老师想买50块巧克力作为元旦礼物发给孩子们，她一共有( )种不同的买法。 【答案】4 【分析】设买4块装的巧克力有x盒，6块装的巧克力有y盒，则列式为4x＋6y＝50（x、y都是大于0的整数），然后从y＝1开始列举，剩下的数量是4的倍数的即为所求，据此解答。 【详解】解：设买4块装的巧克力有x盒，6块装的巧克力有y盒。 4x＋6y＝50 y＝1时，4x＋6×1＝50，即4x＋6＝50，4x＝50－6＝44，44÷4＝11，即买4块装的11盒，6块装的买1盒； y＝2时，4x＋6×2＝50，即4x＋12＝50，4x＝50－12＝38，38不是4的倍数，所以y＝2不符合题意； y＝3时，4x＋6×3＝50，即4x＋18＝50，4x＝50－18＝32，32÷4＝8，即4块装的买8盒，6块装的买3盒； y＝4时，4x＋6×4＝50，即4x＋24＝50，4x＝50－24＝26，26不是4的倍数，所以y＝4不符合题意； y＝5时，4x＋6×5＝50，即4x＋30＝50，4x＝50－30＝20，20÷4＝5，即4块装的买5盒，6块装的买5盒； y＝6时，4x＋6×6＝50，即4x＋36＝50，4x＝50－36＝14，14不是4的倍数，所以y＝6不符合题意； y＝7时，4x＋6×7＝50，即4x＋42＝50，4x＝50－42＝8，8÷4＝2，即4块装的买2盒，6块装的买7盒； y＝8时，4x＋6×8＝50，即4x＋48＝50，4x＝50－48＝2，2不是4的倍数，所以y＝8不符合题意。 所以她可以买4块装的11盒，6块装的买1盒；4块装的买8盒，6块装的买3盒；4块装的买5盒，6块装的买5盒；4块装的买2盒，6块装的买7盒。一共有4种不同的买法。 三、判断题 11．等式的两边乘或除以同一个数，左右两边仍然相等。( ) 【答案】× 【分析】等式两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立，据此判断。 【详解】等式两边同时乘或除以同一个数，这个数不能为0。例如：等式2＝2，若两边同时除以0，式子无意义，等式不再成立。因为缺少“0除外”的条件，所以原题说法错误。 故答案为：× 12．2x－5是含有未知数的式子，所以它是方程。( ) 【答案】× 【分析】方程的定义是含有未知数的等式。含有未知数x，但它不是一个等式，因此不满足方程的条件。 【详解】是一个代数式，含有未知数，但它不是一个等式，因此不符合方程的定义。方程必须同时是等式和含有未知数。 故答案为：× 13．式子3x－9＜20中含有未知数，所以它是方程。( ) 【答案】× 【分析】方程是含有未知数的等式，必须同时满足两个条件：含有未知数且是等式。 【详解】式子3x－9＜20含有未知数x，但它是不等式，不是等式，因此不是方程，原说法错误。 故答案为：× 14．a的5倍是45，数量关系式是a×5＝45。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知“a的5倍是45”，根据乘法的定义，“a的5倍”表示a与5相乘，结果为45，写成对应的数量关系式判断即可，据此解答。 【详解】根据分析可得：“a的5倍是45”可得数量关系式为。 验证：当时，，符合题意。 因此，该关系式正确。 故答案为：√ 15．x＝7是方程54－7x＝5的解。( ) 【答案】√ 【分析】将x＝7代入方程54－7x＝5中，计算左边54－7×7的值，若等于右边5，则x＝7是方程的解。 【详解】将x＝7代入方程54－7x＝5，左边得： 54－7×7 ＝54－49 ＝5 因为5＝5，等式成立，所以x＝7是方程的解。原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 16．解方程。 3x＋9＝15    x÷14＝70    6x－x＝40 【答案】；； 【分析】，先将等式两边同时减去9，再等式两边同时除以3，即可求出方程的解； ，等式两边同时乘14，即可求出方程的解； ，先计算出的差，然后再将等式两边同时除以5，即可求出方程的解。 【详解】  解：                  解：        解：             17．列方程解。 【答案】2＋76×2＝264；＝56 【分析】从图中可知，2个与2个76相加的和等于264，据此列出方程，并根据等式的性质求解。 【详解】2＋76×2＝264 解：2＋152＝264 2＋152－152＝264－152 2＝112 2÷2＝112÷2 ＝56 五、解答题 18．公司组织员工102人自驾游，商务车限乘7人，小轿车限乘5人，一共乘坐了商务车和小轿车共18辆，并且每辆车都坐满了。自驾游的商务车和小轿车各有多少辆？（列方程解） 【答案】 商务车有6辆；小轿车有12辆 【分析】已知商务车和小轿车共18辆，设商务车有x辆，那么小轿车的数量就是 （18－x） 辆，商务车每辆7人，可坐7x人，小轿车每辆5人，可坐5（18－x）人。根据数量关系“商务车坐的总人数＋小轿车坐的总人数＝102”可列出方程7x＋5（18－x）＝102，计算得2x＋90＝102，根据等式的性质，方程两边同时减去90，再同时除以2求出x的值，即为商务车的数量，将x的值代入（18－x）中求出结果即为小轿车的数量。据此解答。 【详解】解：设自驾游的商务车有x辆，则小轿车有（18－x）辆。 7x＋5（18－x）＝102 7x＋5×18－5x＝102 7x＋90－5x＝102 2x＋90＝102 2x＋90－90＝102－90 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 18－x＝18－6＝12（辆） 答：自驾游的商务车有6辆，小轿车有12辆。 19．赣南脐橙和寻乌蜜桔是江西省赣州市的特产水果，水果批发商店共运进脐橙和蜜桔900千克，脐橙的质量是蜜桔的3.5倍，商店运进脐橙、蜜桔各多少千克？（画一画或说一说你的思考过程再用方程解答） 【答案】 见详解；脐橙700千克；蜜桔200千克 【分析】蜜桔：用1段线段表示，标注“x千克”； 脐橙：用3.5段等长线段表示（3段完整线段＋0.5段线段），标注“3.5x千克”； 总质量：将蜜桔和脐橙的线段括起来，标注“900千克”。 把蜜桔质量看作1份，脐橙是3.5份，总份数为4.5份对应900千克；设蜜桔为x千克，脐橙为3.5x千克，列方程x＋3.5x＝900，解得蜜桔200千克，脐橙700千克。 【详解】 解：设蜜桔的质量是x千克，则脐橙的质量是3.5x千克。 x＋3.5x＝900 （1＋3.5）x＝900 4.5x＝900 4.5x÷4.5＝900÷4.5 x＝200 当x＝200时，脐橙的质量：3.5x＝3.5×200＝700（千克） 答：商店运进脐橙700千克，蜜桔200千克。 20．正阳文化广场正在开展知识竞赛活动，共有140名学生参加，其中男生人数是女生人数的2.5倍，参加知识竞赛的男、女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】参加知识竞赛的男、女生各有100人、40人 【分析】设女生有x人，则男生有2.5x人，根据男生人数＋女生人数＝总人数，列出方程求出x的值是女生人数，总人数－女生人数＝男生人数。 【详解】解：设参加知识竞赛的女生有x人。 2.5x＋x＝140 3.5x＝140 3.5x÷3.5＝140÷3.5 x＝40 140－40＝100（人） 答：参加知识竞赛的男、女生各有100人、40人。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $