单元培优讲义：专题01 简易方程（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

该小学数学苏教版五年级下册“简易方程”单元培优讲义通过考点梳理系统构建知识体系，以框架图呈现等式与方程的包含关系、等式性质及不同形式方程的解法步骤，清晰展现从概念到应用的内在联系，突出解方程和列方程解决问题的重难点。 讲义亮点在于例题与练习的精准对应，如通过“桃树与梨树共180棵”的题型引导学生用方程解决含两个未知数的问题，培养模型意识和推理能力。分层练习覆盖基础到拓展，助力不同层次学生提升，为教师实施精准教学提供有力支持。

2025-2026学年五年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题01 简易方程 考点梳理 1 考点一、等式与方程的意义 1 考点二、等式与方程的关系 2 考点三、等式的性质 2 考点四、方程的解与解方程 2 考点五、解方程的书写格式与步骤 2 考点六、不同形式方程的解法 2 考点七、列方程解决实际问题 3 例题讲解 3 题型一、等式与方程的意义 3 题型二、等式的性质 4 题型三、应用等式的性质1和2解方程 5 题型四、解含括号和两个未知数的方程 6 题型五、列简易方程求解 8 题型六、列方程解含一个未知数的问题 9 题型七、列方程解含两个未知数的问题 10 题型八、列方程解行程问题 11 考点练习 12 练习一、等式与方程的意义 12 练习二、等式的性质 15 练习三、应用等式的性质1和2解方程 18 练习四、解含括号和两个未知数的方程 21 练习五、列简易方程求解 25 练习六、列方程解含一个未知数的问题 27 练习七、列方程解含两个未知数的问题 30 练习八、列方程解行程问题 33 考点梳理 考点一、等式与方程的意义 1.等式的意义：表示相等关系的式子叫作等式。从形式上看，含有“ ”（等号）的式子就是等式。 2.方程的意义：含有未知数的等式是方程。判断一个式子是否是方程，必须同时满足两个条件：它必须是一个等式，并且必须含有未知数。 考点二、等式与方程的关系 1.包含关系：等式包含方程，方程一定是等式，但等式不一定是方程。例如， 是等式，但不含有未知数，所以不是方程；而 既是等式，又含有未知数 ，所以是方程。 考点三、等式的性质 性质（1）：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是解方程（形如 ）的重要依据。 性质（2）：等式两边同时乘或除以同一个不是 的数，所得结果仍然是等式。这是解方程（形如 或 ，其中 ）的重要依据。注意除数不能为 。 考点四、方程的解与解方程 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 2.解方程：求方程的解的过程叫作解方程。解方程是一个过程，而方程的解是一个数值结果。 考点五、解方程的书写格式与步骤 1.书写规范：解方程时，首先要写“解”字；等号要上下对齐，不能连写；每一步都应是一个含有未知数的等式。 2.基本步骤：根据等式的性质，通过“消元”的思想，逐步将方程变形，最终得到 数值 的形式。 考点六、不同形式方程的解法 1.形如 的方程：根据等式的性质（1），方程的两边同时减去 或加上 ，即 ，从而得到 。 2.形如 的方程：根据等式的性质（2），方程的两边同时除以 （ ），即 ，从而得到 。 3.形如 的方程：根据等式的性质（2），方程的两边同时乘 （ ），即 ，从而得到 。 4.形如 的方程：先把 看作一个整体，根据等式的性质（1），方程的两边同时减去 或加上 ，求出 的值，再根据等式的性质（2），求出 的值。 5.形如 的方程：先把小括号内的 看作一个整体，根据等式的性质（2），方程的两边同时除以 ，求出 的值，再根据等式的性质（1），求出 的值。 6.形如 的方程：先利用乘法分配律，将方程化简为 的形式，再根据等式的性质（2），方程的两边同时除以 ，从而得到 。这类方程常用于解决两个未知量的问题。 考点七、列方程解决实际问题 1.基本步骤： （1）写“解”和设句，用字母（通常是 ）表示题目中的未知量； （2）根据题意找出数量间的相等关系，并列出方程； （3）解方程，求出未知数的值； （4）检验，将求出的解代入原方程或题目情境中，检查是否符合题意； （5）写出答语。 2.找等量关系：这是列方程的关键。常见的等量关系包括：和、差、倍、分关系；公式（如路程 速度 时间、总价 单价 数量等）；以及题目中的关键词句（如“比……多/少”、“是……的几倍”、“共”、“一共”等）。 3.设未知数：一般情况下，设问题中所求的量为 。如果题目中有两个未知量，通常设标准量（即作为比较基准的量，也就是“ 倍量”）为 ，另一个未知量用含有 的式子表示出来。 例题讲解 题型一、等式与方程的意义 【例题1】下面的式子中等式有( )，方程有( )（填序号）。 ①    ②    ③    ④    ⑤ 【答案】 ①②⑤ ①⑤ 【分析】含有等号的式子叫作等式；含有未知数的等式叫作方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断。 【详解】分析可知，等式有①，②，⑤，方程有①，⑤。 【练习1】下列式子：①12－x＝4；②13＋20＝33；③x＋y＝25；④6x；⑤x÷5＞20，其中等式有( )；方程有( )。（填序号） 【答案】 ①②③ ①③ 【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】下列式子：①12－x＝4；②13＋20＝33；③x＋y＝25；④6x；⑤x÷5＞20，其中等式有①②③；方程有①③。 题型二、等式的性质 【例题2】根据等式的性质，下面表达错误的是（    ）。 A．若x－3＝30，则x－3＋3＝30＋3 B．若x÷2.5＝0.96，则x÷2.5×2.5＝0.96×2.5 C．若6x＝24，则6x÷6＝24÷6 D．若3x－24＝12，则3x－24÷3＝12÷3 【答案】D 【分析】等式的性质包括：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个非零数，等式仍然成立。根据这些性质来逐一分析选项，进而找出正确答案。 【详解】A．已知x－3＝30，根据等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。等式左边加上3，即x－3＋3；等式右边也加上3，即30＋3，所以x－3＋3＝30＋3，A选项正确。 B．已知x÷2.5＝0.96，根据等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。等式左边乘2.5，即x÷2.5×2.5；等式右边也乘2.5，即0.96×2.5，所以x÷2.5×2.5＝0.96×2.5，B选项正确。 C．已知6x＝24，根据等式两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立。等式左边除以6，即6x÷6；等式右边也除以6，即24÷6，所以6x÷6＝24÷6，C选项正确。 D．已知3x－24＝12，等式左边是3x－24，要使等式仍然成立，应该是等式两边同时进行相同的运算。而这里只把左边的24除以3，右边的12也除以3，不符合等式的性质。应该是两边同时加、减、乘、除以同一个数，这里不是对整个左边3x－24进行除以3的操作。正确的应该是如果要除以3，是（3x－24）÷3＝12÷3，而不是3x－24÷3＝12÷3，所以D选项错误。 故答案为：D 【练习2】根据等式的性质，在括号里填上合适的数。 已知a＋3b＝4.8，则a＋3b－1.2＝( )，2a＋6b＝( )。 【答案】 3.6 9.6 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。 【详解】已知a＋3b＝4.8，等式左边减去1.2，为了使等式仍然成立，等式右边也需要减去1.2，即a＋3b－1.2＝4.8－1.2＝3.6； 因为2a＋6b＝2（a＋3b），已知a＋3b＝4.8，等式两边同时乘2，得到2（a＋3b）＝2×4.8＝9.6，所以2a＋6b＝9.6。 题型三、应用等式的性质1和2解方程 【例题3】解方程。 x＋4.13＝7.3                   x－25＝15.6                      x÷6.8＝15 【答案】x＝3.17；x＝40.6；x＝102 【分析】x＋4.13＝7.3，根据等式的性质1，两边同时减4.13解答即可。 x－25＝15.6，根据等式的性质1，两边同时加25解答即可。 x÷6.8＝15，根据等式的性质2，两边同时乘6.8解答即可。 【详解】x＋4.13＝7.3 解：x＝7.3－4.13 x＝3.17 x－25＝15.6 解：x＝15.6＋25 x＝40.6 x÷6.8＝15 解：x＝15×6.8 x＝102 【练习3】解方程。 x＋22＝28       x－3.7＝4.9       5x＝150       x÷2.1＝4 【答案】x＝6；x＝8.6；x＝30；x＝8.4 【分析】x＋22＝28，根据等式的性质1，方程两边同时减去22即可。 x－3.7＝4.9，根据等式的性质1，方程两边同时加上3.7即可。 5x＝150，根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可。 x÷2.1＝4，根据等式的性质2，方程两边同时乘2.1即可。 【详解】x＋22＝28 解：x＋22＝28－22 x＝6 x－3.7＝4.9 解：x－3.7＋3.7＝4.9＋3.7 x＝8.6 5x＝150 解：5x÷5＝150÷5 x＝30 x÷2.1＝4 解：x÷2.1×2.1＝4×2.1 x＝8.4 题型四、解含括号和两个未知数的方程 【例题4】解方程。 2－1.8＝2.4            （＋3.5）×3＝15        3－2.6×5＝0.2            25.5－＝15 【答案】＝12；＝1.5 ＝4.4；＝10.5 【分析】（1）先把方程化简成0.2＝2.4，然后方程两边同时除以0.2，求出方程的解； （2）方程两边先同时除以3，再同时减去3.5，求出方程的解； （3）先把方程化简成3－13＝0.2，然后方程两边先同时加上13，再同时除以3，求出方程的解； （4）方程两边先同时加上，把方程变成15＋＝25.5，然后方程两边同时减去15，求出方程的解。 【详解】（1）2－1.8＝2.4 解：0.2＝2.4 0.2÷0.2＝2.4÷0.2 ＝12 （2）（＋3.5）×3＝15 解：（＋3.5）×3÷3＝15÷3 ＋3.5＝5 ＋3.5－3.5＝5－3.5 ＝1.5 （3）3－2.6×5＝0.2 解：3－13＝0.2 3－13＋13＝0.2＋13 3＝13.2 3÷3＝13.2÷3 ＝4.4 （4）25.5－＝15 解：25.5－＋＝15＋ 15＋＝25.5 15＋－15＝25.5－15 ＝10.5 【练习4】解方程。                                   【答案】； ； 【分析】，根据等式的性质1和2，两边同时＋的积，再同时÷7即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时－3，再同时×3即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时×5，再同时＋25，最后同时÷10即可； ，先将左边合并成，根据等式的性质2，两边同时÷3.7即可。 【详解】 解： 解： 解： 解： 题型五、列简易方程求解 【例题5】看图列方程并解答。 【答案】20x÷2＝16×12÷2；x＝9.6 【分析】由图可知，在直角三角形中，底边20厘米对应的高是x厘米，底边16厘米对应的高是12厘米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”列方程求出未知数，据此解答。 【详解】20x÷2＝16×12÷2 解：10x＝192÷2 10x＝96 10x÷10＝96÷10 x＝9.6 所以，三角形的高是9.6厘米。 【练习5】看图列方程并解答。 【答案】＝50 【分析】观察图可知，一条线段总长150，分成3段，其中1段长度是50，另外两段长度相等，用表示，把每段线段的长度相加，和等于150，据此列方程解答。 【详解】50＋2＝150 解：50＋2－50＝150－50 2＝100 2÷2＝100÷2 ＝50 题型六、列方程解含一个未知数的问题 【例题6】一个长方形的面积与边长为12厘米的正方形面积相等，这个长方形的宽是8厘米，长是多少厘米？（列方程解答） 【答案】18厘米 【分析】已知正方形边长为12厘米，那么正方形面积为（12×12），因为长方形面积与正方形面积相等，所以：长×宽＝边长×边长，已知长方形的宽为8厘米，设长方形的长为x厘米。据此可列方程：8x＝12×12，然后根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设长方形的长为x厘米。 8x＝12×12 8x＝144 x＝144÷8 x＝18 答：长方形长是18厘米。 【练习6】无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 【答案】11人 【分析】参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，即：参加惠山泥人制作学习的学生人数×3－8＝参加锡剧表演学习的学生人数，设参加惠山泥人制作学习的学生人数为x人，根据等量关系可列出方程3x－8＝25，解方程，即可求出参加惠山泥人制作学习的学生有多少人。 【详解】解：设参加惠山泥人制作学习的学生有x人。 3x－8＝25 3x＝25＋8 3x＝33 x＝33÷3 x＝11 答：参加惠山泥人制作学习的学生有11人。 题型七、列方程解含两个未知数的问题 【例题7】果园里桃树与梨树一共有180棵，其中桃树的棵数是梨树的3倍。桃树与梨树各有多少棵？（先把线段图补充完整，再用方程解答） 【答案】线段图见详解；桃树：135棵；梨树：45棵 【分析】因为桃树的棵数是梨树的3倍，梨树用1段线段表示（长度为x棵），所以桃树的线段长度应该是梨树的3倍，即画3段与梨树线段等长的线段来表示桃树。 设梨树有x棵，因为桃树的棵数是梨树的3倍，所以桃树有3x棵。已知桃树与梨树一共有180棵，根据“梨树棵数＋桃树棵数＝总棵数”，可列方程：x＋3x＝180，然后解方程即可。 【详解】 线段图： 解：设梨树有x棵。 x＋3x＝180 4x＝180 4x÷4＝180÷4 x＝45 45×3＝135（棵） 答：桃树有135棵，梨树有45棵。 【练习7】小可同学借助网络查阅资料，了解到地球的表面积总约为5.1亿平方千米，由于其中海洋面积约为陆地面积的2.4倍，所以地球看起来是一颗蓝色的星球，请你算一算地球上的海洋面积是多少亿平方千米？（用方程解答） 【答案】3.6亿平方千米 【分析】地球上的陆地面积是x亿平方千米，则海洋面积是2.4x亿平方千米，根据陆地面积＋海洋面积＝地球的表面积，列出方程求出x的值是陆地面积，陆地面积×2.4＝海洋面积。 【详解】解：设地球上的陆地面积是x亿平方千米。 x＋2.4x＝5.1 3.4x＝5.1 3.4x÷3.4＝5.1÷3.4 x＝1.5 1.5×2.4＝3.6（亿平方千米） 答：地球上的海洋面积是3.6亿平方千米。 题型八、列方程解行程问题 【例题8】甲、乙两辆车同时从某地出发，背向而行，6小时后两车相距1200千米。已知甲车每小时行102千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】98千米 【分析】设乙车每小时行x千米；根据路程＝速度×时间；甲车每小时行102千米，6小时行驶102×6千米；乙车每小时行驶x千米，乙车6小时行驶6x千米；6小时后两车相距1200千米，即甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝1200千米，列方程：102×6＋6x＝1200，解方程，即可解答。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 102×6＋6x＝1200 612＋6x＝1200 612＋6x－612＝1200－612 6x＝588 6x÷6＝588÷6 x＝98 答：乙车每小时行98千米。 【练习8】甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】10分钟 【分析】甲第一次追上乙属于追及问题，甲需比乙多跑一圈（400米）；已知甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，设经过x分钟甲第一次追上乙，则甲行驶了290x千米，乙行驶了250x千米，据此可列出方程290x－250x＝400，先计算出290x－250x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以40求解出x，即甲第一次追上乙所需要的时间。 【详解】解：设经过x分钟甲第一次追上乙。 290x－250x＝400 40x＝400 40x÷40＝400÷40 x＝10 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 考点练习 练习一、等式与方程的意义 1．下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答即可。 【详解】A．，是个等式，但没有未知数，所以不是方程； B．，含有未知数又是个等式，所以是方程； C．，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； D．，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。 故答案为：B 2．等式与方程的关系可以用如图中的（    ）来表示。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】含有等号的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。 方程一定是等式，等式不一定是方程。所以等式包含方程。 【详解】等式与方程的关系可以用下图表示： 故答案为：C 3．把下面左边方框中的式子分为右边的两类，分类的标准是（    ）。 A．是不是方程 B．是不是等式 C．有没有未知数 D．是不是有字母 【答案】B 【分析】通过观察式子中的特点，方程是指既是等式又含有未知量的式子，等式是指式子中含有等号（＝）的式子，通过这样的判定标准就能进行分类。 【详解】A．按照是否为方程进行分类则分为： 方程类：；； 非方程类：；；，；不符合题意； B．按照是否为等式进行分类则分为： 等式：；；； 不是等式：；；；符合题意； C．按照是否含有未知量进行分类则分为： 含有未知量：；；；； 不含有未知量：；；不符合题意； D．按照是否含有字母进行分类则分为： 含有字母：；；； 不含有字母：；；；不符合题意。 故答案为：B 4．将序号填在合适的括号里。 ①     ②   ③     ④ ⑤  ⑥    ⑦  ⑧ 等式有( )，方程有( )。 【答案】 ①②④⑤⑦⑧ ①④⑤⑦ 【分析】等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式。根据定义，逐一判断每个选项是否为等式或方程。 【详解】①2x＝16，含有未知数，且是等式，所以是方程； ②2＋3＝5，有等号且成立，是等式； ③，含有未知数，没有等号，所以不是等式，也不是方程； ④12÷x＝1.2，含有未知数，且是等式，所以是方程； ⑤x－6.5＝3，含有未知数，且是等式，所以是方程； ⑥8m＜4，无等号，不是等式，更不是方程； ⑦2x＋3x＝5，含有未知数，且是等式，所以是方程； ⑧5×3－2＝13，有等号且成立，是等式。 所以等式有①②④⑤⑦⑧，方程有①④⑤⑦。 练习二、等式的性质 1．观察下图，下列等式成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】天平平衡，说明天平两边相等，得到两个等式①2a＝3b，②2b＝3c，根据等式的性质判断各选项是否成立。 【详解】A．②两边交换得到3c＝2b，①加②得到2a＋3c＝5b，即5b＝2a＋3c，该选项成立； B．①两边同时除以2得a＝b，②两边同时除以2得b＝c，把b代入①得到a＝c，即a＝c，该选项不成立； C．②两边同时乘2得4b＝6c，①两边同时除以3得a＝b，把b代入①得到6c＝a，即6c＝a，该选项不成立； D．①两边同时除以2再乘3得2a÷2×3＝3b÷2×3，即3a＝b，该选项不成立。 故答案为：A 2．已知2m＝3n（m、n为非零自然数），根据等式的性质判断，下面等式成立的是（    ）。 A．4m＝9n B．2m＋2＝3n－2 C．m＝3n÷2 D．2m×3＝n 【答案】C 【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 【详解】A．2m＝3n，根据等式的性质2，两边同时×2，可得4m＝6n；两边同时×3，可得6m＝9n，得不出4m＝9n； B．2m＝3n，根据等式的性质1，两边同时＋2，可得2m＋2＝3n＋2；两边同时－2，可得2m－2＝3n－2，得不出2m＋2＝3n－2； C．2m＝3n，根据等式的性质2，两边同时÷2，可得m＝3n÷2； D．2m＝3n，根据等式的性质2，两边同时×3，可得2m×3＝9n；两边同时÷3，可得2m÷3＝n，得不出2m×3＝n。 等式成立的是m＝3n÷2。 故答案为：C 3．小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于（    ）支铅笔的价格。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格，根据等式的性质1，等式两边同时减去3支铅笔的价格，再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，即可解答。 【详解】2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格 2支钢笔的价格＋3支铅笔的价格－3支铅笔的价格＝9支铅笔的价格－3支铅笔的价格 2支钢笔的价格＝6支铅笔的价格 2支钢笔的价格÷2＝6支铅笔的价格÷2 1支钢笔的价格＝3支铅笔的价格 小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于3支铅笔的价格。 故答案为：B 4．1个苹果和( )个草莓一样重。 【答案】8 【分析】由左图可知，1个苹果和1个芒果的重量与3个芒果的重量相等，利用等式的性质1，天平两边同时去掉1个芒果，此时，1个苹果与2个芒果的重量相等，由右图可知，2个芒果与8个草莓的重量相等，由此得出1个苹果与8个草莓的重量相等，据此解答。 【详解】1个苹果的重量＋1个芒果的重量＝3个芒果的重量 1个苹果的重量＋1个芒果的重量－1个芒果的重量＝3个芒果的重量－1个芒果的重量 1个苹果的重量＝2个芒果的重量 2个芒果的重量＝8个草莓的重量 所以，1个苹果和8个草莓一样重。 5．根据等式的性质在◯里填上运算符号，在（ ）里填上合适的数。 x＋1.5＝2.1                     x÷7＝2.8 x＋1.5－1.5＝2.1◯（ ）          x÷7×7＝2.8◯（ ） 【答案】－；1.5；×；7 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍然成立； 等式的性质2：等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立；据此解答。 【详解】x＋1.5＝2.1 解：x＋1.5－1.5＝2.1－1.5 x＝0.6 x÷7＝2.8 解：x÷7×7＝2.8×7 x＝19.6 6．已知5x＝y，根据等式的性质，则5x－6＝y－( )，20x＝y×( )。 【答案】 6 4 【分析】根据等式的性质，等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，则5x＝y的左边减去6，要使等式仍然成立，右边也要减去6； 等式两边同时乘或除以同一个不为0点数，等式仍然成立，5x＝y的左边乘4变为20x，要使等式仍然成立，右边也要乘4。 【详解】已知5x＝y，根据等式的性质，则5x－6＝y－6，20x＝y×4。 【点睛】掌握等式的性质是解题的关键。 练习三、应用等式的性质1和2解方程 1．要解“x－0.24＋0.76＝5”这个方程，应该（    ）。 A．左右两边先＋0.24再－0.76 B．左右两边先＋0.24再＋0.76 C．左右两边先－0.24再－0.76 D．左右两边先－0.24再＋0.76 【答案】A 【分析】根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。去化简方程，即可得解。 【详解】 解： 所以，要解“x－0.24＋0.76＝5”这个方程，应该左右两边先＋0.24再－0.76。 故答案为：A 2．在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是。 ( )    ( ) 【答案】 2.7 0.1 【分析】将代入方程，将括号里的数看成未知数，假设括号里的数是y，解方程求出y的值即可。 【详解】5－y＝2.3 解：5－y＋y ＝2.3＋y 2.3＋y＝5 2.3＋y－2.3＝5－2.3 y＝2.7 5÷y＝50 解：5÷y×y＝50×y 50×y＝5 50×y÷50＝5÷50 y＝0.1 2.7    0.1 3．x－2.5＝8.5，那么3x＝( )；如果x÷5＝1.5，那么x－0.3＝( )。 【答案】 33 7.2 【分析】x－2.5＝8.5根据等式性质1，两边同时加上2.5，求出x的值，再将x的值代入3x计算； x÷5＝1.5根据等式性质2，两边同时乘5，求出x的值，再将x的值代入x－0.3计算。 【详解】1.求解x－2.5＝8.5 将x＝11代入3x，可得：3x＝3×11＝33 2.求解x÷5＝1.5 将x＝7.5代入x－0.3，可得：x－0.3＝7.5－0.3＝7.2 x－2.5＝8.5，那么3x＝（33）；如果x÷5＝1.5，那么x－0.3＝（7.2） 4．解方程。                【答案】；；； 【分析】，根据等式的性质1，两边同时－56即可； ，根据等式的性质1，两边同时＋970即可； ，根据等式的性质2，两边同时÷15即可； 【详解】 解： 解： 解： 5．解方程。（带☆的要检验） 3x＝87         ☆x－57＝138         x÷2.5＝5 【答案】x＝29；x＝195；x＝12.5 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时除以3，求出方程的解。 （2）方程两边同时加上57，求出方程的解。 （3）方程两边同时乘2.5，求出方程的解。 【详解】（1）3x＝87 解：3x÷3＝87÷3 x＝29 （2）☆x－57＝138 解：x－57＋57＝138＋57 x＝195 检验： 方程左边＝ x－57 ＝195－57 ＝138 ＝方程右边 所以，x＝195是方程的解。 （3）x÷2.5＝5 解：x÷2.5×2.5＝5×2.5 x＝12.5 练习四、解含括号和两个未知数的方程 1．解方程。 5.5－5x＝0.25                24x＋38x＝310 1.7x＋2.3×2＝8            （x－140）÷70＝4 【答案】x＝1.05；x＝5 x＝2；x＝420 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边先同时加上5x，再同时减去0.25，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以5，即可求解。 （2）先将原式化简为62x＝310，再根据等式的性质2，方程两边同时除以62，即可求解。 （3）先将原式化简为1.7x＋4.6＝8，再根据等式的性质1，方程两边同时减去4.6，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以1.7，即可求解。 （4）根据等式的性质2，方程两边同时乘70，再根据等式的性质1，方程两边同时加上140，即可求解。 【详解】（1）5.5－5x＝0.25 解：5.5－5x＋5x＝0.25＋5x 0.25＋5x＝5.5 0.25＋5x－0.25＝5.5－0.25 5x＝5.25 5x÷5＝5.25÷5 x＝1.05 （2）24x＋38x＝310 解：62x＝310 62x÷62＝310÷62 x＝5 （3）1.7x＋2.3×2＝8   解：1.7x＋4.6＝8   1.7x＋4.6－4.6＝8－4.6 1.7x＝3.4 1.7x÷1.7＝3.4÷1.7 x＝2 （4）（x－140）÷70＝4 解：（x－140）÷70×70＝4×70 x－140＝280 x－140＋140＝280＋140 x＝420 2．解方程。（带★的要检验） 7.5x－5x＝8                     2x－1.8＋2.4＝6 ★18×（x＋2.9）＝108          16x÷（40－10）＝4 【答案】x＝3.2；x＝2.7 x＝3.1；x＝7.5 【分析】（1）先把方程左边化简为2.5x，再根据等式的性质2，把方程两边同时除以2.5即可解答； （2）先把方程左边化简为2x＋0.6，再根据等式的性质1，把方程两边同时减去0.6，然后根据等式的性质2，把方程两边同时除以2即可解答； （3）根据等式的性质2，方程两边同时除以18，再根据等式的性质1，方程两边同时减去2.9即可解答；将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解； （4）把方程左边化简为16x÷30，根据等式的性质2，方程两边同时乘30，再同时除以16即可解答。 【详解】7.5x－5x＝8     解：2.5x＝8 2.5x÷2.5＝8÷2.5 x＝3.2                 2x－1.8＋2.4＝6 解：2x＋0.6＝6 2x＋0.6－0.6＝6－0.6 2x＝5.4 2x÷2＝5.4÷2 x＝2.7 ★18×（x＋2.9）＝108    解：18×（x＋2.9）÷18＝108÷18 x＋2.9＝6 x＋2.9－2.9＝6－2.9 x＝3.1    检验：把x＝3.1代入原方程，左边＝18×（3.1＋2.9）＝108，右边＝108，左边＝右边，则x＝3.1是原方程的解。     16x÷（40－10）＝4 解：16x÷30＝4 16x÷30×30＝4×30 16x＝120 16x÷16＝120÷16 x＝7.5 3．解方程。 1.6×3＋3x＝6        0.2x－1.2×3＝6.6       x＋0.8x＝5.4 4x÷0.1＝10          0.8x－1.2＝0.4          18×（x＋2.9）＝108 【答案】x＝0.4；x＝51；x＝3 x＝0.25；x＝2；x＝3.1 【分析】（1）将原式化简为4.8＋3x＝6，再根据等式的性质1，方程两边同时减去4.8，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以3，即可求解。 （2）将原式化简为0.2x－3.6＝6.6，再根据等式的性质1，方程两边同时加上3.6，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.2，即可求解。 （3）将原式化简为1.8x＝5.4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.8，即可求解。 （4）根据等式的性质2，方程两边先同时乘0.1，再同时除以4，即可求解。 （5）根据等式的性质1，方程两边同时加上1.2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.8，即可求解。 （6）根据等式的性质2，方程两边同时除以18，再根据等式的性质1，方程两边同时减去2.9，即可求解。 【详解】1.6×3＋3x＝6   解：4.8＋3x＝6   4.8＋3x－4.8＝6－4.8 3x＝1.2 3x÷3＝1.2÷3 x＝0.4 0.2x－1.2×3＝6.6 解：0.2x－3.6＝6.6 0.2x－3.6＋3.6＝6.6＋3.6 0.2x＝10.2 0.2x÷0.2＝10.2÷0.2 x＝51 x＋0.8x＝5.4 解 ：1.8x＝5.4 1.8x÷1.8＝5.4÷1.8 x＝3 4x÷0.1＝10 解：4x÷0.1×0.1＝10×0.1 4x＝1 4x÷4＝1÷4 x＝0.25 0.8x－1.2＝0.4 解：0.8x－1.2＋1.2＝0.4＋1.2 0.8x＝1.6 0.8x÷0.8＝1.6÷0.8 x＝2 18×（x＋2.9）＝108 解：18×（x＋2.9）÷18＝108÷18 x＋2.9＝6 x＋2.9－2.9＝6－2.9 x＝3.1 练习五、列简易方程求解 1．用方程表示下面的数量关系。 【答案】 【分析】看图可知，灯笼的钱数＋中国结的钱数＝38元，据此列出方程即可。 【详解】 解： 2．看图列方程，并解答。 平行四边形面积是100cm2。 【答案】 ＝8 【分析】如图可知，平行四边形的底是12.5cm，对应的高是cm，平行四边形面积是100cm2，根据“平行四边形面积＝底×高”可列出方程，并求解。 【详解】12.5＝100 解：12.5÷12.5＝100÷12.5 ＝8 平行四边形的高是8cm。 3．看图列方程并解答。 【答案】4x＋550＝1150 x＝150 【分析】观察线段图，可以整理出数学信息：一条长1150米的路，每天修x米，修了4天，还剩550米，可以根据每天修的长度×修的天数＋还剩的长度＝总长度，列出方程：4x＋550＝1150，根据等式的性质1和2，两边同时－550，再同时÷4，即可求出x的值。 【详解】4x＋550＝1150 解：4x＋550－550＝1150－550 4x＝600 4x÷4＝600÷4 x＝150 所以x表示150。 4．看图列方程并解答。 【答案】8.1千克 【分析】根据线段图，总重量24.5千克由8.3千克和2个x千克组成，据此列方程8.3＋2x＝24.5，再用等式性质求解。 【详解】8.3＋2x＝24.5 解：8.3＋2x－8.3＝24.5－8.3 2x＝16.2 2x÷2＝16.2÷2 x＝8.1 x为8.1千克。 5．求x的值。 【答案】x＝23 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此列方程：（x＋22）×2＝90，解方程，即可解答。 【详解】（x＋22）×2＝90 解：（x＋22）×2÷2＝90÷2 x＋22＝45 x＋22－22＝45－22 x＝23 x是23厘米。 6．看图列方程并解答。 【答案】1.6元 【分析】笔有6支，每支x元，那么笔的总价是6x元。画册12元，总价格21.6元，根据“画册的价格＋笔的总价＝总价格”来列方程，所以方程为12＋6x＝21.6。根据等式性质，方程两边同时减去12：12＋6x－12＝21.6－12，得到6x＝9.6。然后，方程两边同时除以6即可解答。 【详解】12＋6x＝21.6 解：12＋6x－12＝21.6－12 6x＝9.6 6x÷6＝9.6÷6 x＝1.6 笔每支1.6元。 练习六、列方程解含一个未知数的问题 1．小红买了一本科技书，付给营业员30元后找回26元，这本科技书多少元？（列方程解答） 【答案】4元 【分析】设这本科技书x元，根据付给营业员30元后找回26元可知，用科技书的钱数＋找回的钱数＝付给营业员的钱数。据此列方程解答即可。 【详解】解：设这本科技书x元。 x＋26＝30 x＋26－26＝30－26 x＝4 答：这本科技书4元。 2．邳州市是一座优秀旅游城市，沙沟湖湿地公园的面积约270公顷，比桃花岛公园的3倍还多60公顷。桃花岛公园的面积大约多少公顷？（列方程解答） 【答案】70公顷 【分析】已知沙沟湖湿地公园的面积“比桃花岛公园的3倍还多60公顷”，即：桃花岛公园面积×3＋60公顷＝沙沟湖湿地公园面积。设桃花岛公园的面积大约x公顷，沙沟湖湿地公园面积约270公顷，代入可得方程为：3x＋60＝270，然后解方程即可。 【详解】解：设桃花岛公园的面积大约x公顷。 3x＋60＝270 3x＋60－60＝270－60 3x＝210 3x÷3＝210÷3 x＝70 答：桃花岛公园的面积大约70公顷。 3．2025年“五一”假期，全国外出旅游人数约8.2亿人次，比去年同期的2倍多1.2亿人次。去年同期全国外出旅游是多少亿人次？（用方程解答） 【答案】3.5亿人次 【分析】根据题意，外出旅游人数约8.2亿人次比去年同期的2倍多1.2亿人次，可知数量关系：去年同期全国外出旅游人数×2＋1.2＝2025年全国外出旅游人数，设去年同期全国外出旅游是x亿人次，根据数量关系列出方程，根据等式性质解方程即可。 【详解】解：设去年同期全国外出旅游是x亿人次。 2x＋1.2＝8.2 2x＋1.2－1.2＝8.2－1.2 2x＝7 2x÷2＝7÷2 x＝3.5 答：去年同期全国外出旅游是3.5亿人次。 4．每千克西瓜3.6元，买4千克苹果比买6千克西瓜多付2.4元，每千克苹果多少元？ 【答案】6元 【分析】每千克西瓜3.6元，设每千克苹果x元。根据“总价＝单价×数量”，可分别表示出4千克苹果的总价为4x元，6千克西瓜的总价为（3.6×6）元。再根据“4千克苹果的总价－6千克西瓜的总价＝2.4元”这一数量关系列方程：4x－3.6×6＝2.4，然后解方程即可。 【详解】解：设每千克苹果x元。 4x－3.6×6＝2.4 4x－21.6＝2.4 4x－21.6＋21.6＝2.4＋21.6 4x＝24 4x÷4＝24÷4 x＝6 答：每千克苹果6元。 5．颐和园是我国保存最完整的一座皇家行宫御园，被誉为“皇家园林博物馆”。它的占地面积约为3平方千米，比世界上面积最小的国家“梵蒂冈”的国土面积的7倍少0.08平方千米。梵蒂冈的国土面积是多少平方千米？ 【答案】0.44平方千米 【分析】已知颐和园面积约3平方千米，且颐和园面积比梵蒂冈国土面积的7倍少0.08平方千米，设梵蒂冈国土面积是x平方千米，那么梵蒂冈面积的7倍减0.08就等于颐和园面积，据此列方程为7x－0.08＝3；然后根据等式的性质，方程两边同时加上0.08，再同时除以7求解出x，即梵蒂冈的国土面积。 【详解】解：设梵蒂冈的国土面积是x平方千米。 7x－0.08＝3 7x－0.08＋0.08＝3＋0.08 7x＝3.08 7x÷7＝3.08÷7 x＝0.44 答：梵蒂冈的国土面积是0.44平方千米。 6．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功。学校组织五、六年级共972名学生在报告厅观看神舟十九号载人飞船升空的视频。报告厅每排坐了18人，五年级坐了26排。六年级坐了多少排？（列方程解答） 【答案】28排 【分析】把六年级坐的排数设为未知数，五年级坐的排数＋六年级坐的排数＝总排数，等量关系式：总排数×每排坐的人数＝五、六年级学生的总人数，据此列方程解答。 【详解】解：设六年级坐了x排。 （26＋x）×18＝972 （26＋x）×18÷18＝972÷18 26＋x＝54 26＋x－26＝54－26 x＝28 答：六年级坐了28排。 练习七、列方程解含两个未知数的问题 1．学校开展环保节能活动，五年级和六年级一共收集了360千克废纸，其中六年级收集的废纸是五年级的3倍。五、六年级各收集废纸多少千克？（先把线段图补充完整，再解答。） 【答案】作图见详解；90千克；270千克 【分析】六年级收集的废纸是五年级的3倍，用一条线段表示五年级手机的废纸，则六年级收集了这样的3份，据此用线段表示出六年级收集的废纸，设五年级收集废纸x千克，则六年级收集3x千克，根据五年级收集的质量＋六年级收集的质量＝360千克，列出方程求出x的值是五年级收集的质量，五年级收集的质量×3＝六年级收集的质量。 【详解】 解：设五年级收集废纸x千克。 x＋3x＝360 4x＝360 4x÷4＝360÷4 x＝90 90×3＝270（千克） 答：五、六年级各收集废纸90千克、270千克。 2．一根长420厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的5倍。这个长方形的长是多少厘米？（列方程解答） 【答案】175厘米 【分析】根据题意，可以设宽为x厘米，长是宽的5倍，则长可以表示为5x厘米，由长方形周长＝（长＋宽）×2，可列方程：长＋宽＝周长÷2据此分别求出该长方形的长和宽。 【详解】解：设宽为x厘米，则长为5x厘米。 （x＋5x）×2＝420 （x＋5x）×2÷2＝420÷2 6x＝210 6x÷6＝210÷6 x＝35 35×5＝175（厘米） 答：这个长方形的长是175厘米。 3．饲养场养了一些黄牛和奶牛，黄牛的头数是奶牛的2.5倍。奶牛的头数比黄牛少180头。奶牛和黄牛各有多少头？ 【答案】奶牛有120头，黄牛有300头。 【分析】由题意知：黄牛的头数是奶牛的2.5倍，则奶牛的数量×2.5＝黄牛的数量，设奶牛有头，则黄牛有头。又知：奶牛的头数比黄牛少180头，则黄牛的数量－180头＝奶牛的数量，根据等量关系列方程求解即可。 【详解】解：设奶牛有头，则黄牛有头。 答：奶牛有120头，黄牛有300头。 4．小芳和小红一同去逛夜市，小芳看中了一条裙子，小红看中了一副手套，但她们的钱都不够。如果小红借钱给小芳买裙子，那么她还剩30元；如果小芳借钱给小红买手套，那么她还剩150元。已知一条裙子的价钱是一副手套的2.5倍。一条裙子和一副手套的价钱各是多少元？（列方程解答） 【答案】200元；80元 【分析】根据题意可知，小芳的钱数等于手套的价钱加上150元，小红的钱数等于裙子的价钱加上30元，设手套价钱为x元，则裙子为2.5x元，由小红剩30元得小红钱数＝2.5x＋30 ，由小芳剩150元得小芳钱数＝x＋150 ，并解方程 2.5x＋30＝x＋150，解方程即可。 【详解】解：设一副手套的价钱是元，则一条裙子的价钱是元。 （元） 答：一副手套的价钱是80元，一条裙子的价钱是200元。 5．学校举行植树活动，六年级植树的棵数是五年级的1.2倍，五年级比六年级少植树10棵。五年级和六年级分别植树多少棵？（列方程解答） 【答案】五年级50棵；六年级60棵 【分析】设五年级植树x棵，则六年级植树1.2x棵。根据五年级比六年级少植树10棵，列方程：1.2x－x＝10，解方程求出五年级植树棵数，进而得出六年级植树棵数。 【详解】解：设五年级植树x棵，则六年级植树1.2x棵。 1.2x－x＝10 0.2x＝10 0.2x÷0.2＝10÷0.2 x＝50 1.2×50＝60（棵） 答：五年级植树50棵，六年级植树60棵。 6．中国南极科考站共有5个，分别是长城站、中山站、昆仑站、泰山站和秦岭站。中山站的建筑面积比泰山站多6400平方米，是泰山站的7.4倍。中山站和泰山站的建筑面积各是多少平方米？ 【答案】7400平方米；1000平方米 【分析】由题可得等量关系式：中山站的建筑面积－泰山站的建筑面积＝6400平方米，中山站的建筑面积＝泰山站的建筑面积×7.4，设泰山站的建筑面积是平方米，则中山站的建筑面积是平方米，根据等量关系可得方程：，解出方程，即可解答。 【详解】解：设泰山站的建筑面积是平方米。 1000×7.4＝7400（平方米） 答：中山站的建筑面积是7400平方米；泰山站的建筑面积是1000平方米。 练习八、列方程解行程问题 1．甲、乙两车同时沿同一条路从A站出发开往B站，甲车每小时行42千米，6小时后，甲车落在乙车后面48千米。乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】50千米 【分析】根据“6小时后，甲车落在乙车后面48千米”可知，6小时后，乙车比甲车多行48千米，据此得出等量关系：乙车的速度×时间－甲车的速度×时间＝6小时后甲车落后乙车的距离，根据等量关系列出方程，并求解。 【详解】解：设乙车每小时行千米。 6－42×6＝48 6－252＝48 6－252＋252＝48＋252 6＝300 6÷6＝300÷6 ＝50 答：乙车每小时行50千米。 2．杭州与上海相距210千米，甲、乙两辆汽车同时分别从两地相对开出，经过1.5小时后两车相遇，已知甲车每小时行64千米，乙车每小时行多少千米？（先画线段图整理条件和问题，再列方程解答） 【答案】画图见详解；76千米 【分析】先画一条线段表示杭州到上海的距离，大约中间位置是两车相遇地点，将相遇时间、甲车速度标注在图中，乙车速度用问号或未知数表示，设乙车每小时行x千米，根据甲车速度×相遇时间＋乙车速度×相遇时间，列出方程解答即可。 【详解】 解：设乙车每小时行x千米。 64×1.5＋1.5x＝210   96＋1.5x＝210   96＋1.5x－96＝210－96 1.5x＝114 1.5x÷1.5＝114÷1.5 x＝76 答：乙车每小时行76千米。 3．某小学足球场是一个长方形，其长是105米，宽是65米，小睿和小芳绕着足球进行快走锻炼，他们同时从同一地点同向匀速行走，850秒后小睿从后面追上小芳。已知小睿的速度是1.5米/秒，则小芳的速度是多少？ 【答案】1.1米/秒 【分析】小睿和小芳同时同地同向行走，小睿从后面追上小芳时，小睿比小芳多走的路程就是足球场的周长；根据长方形周长公式可算出足球场周长；设小芳的速度是x米/秒，在850秒的时间里，小睿走的路程为850×1.5米，小芳走的路程为850x米，那么等量关系为：小睿走的路程－小芳走的路程＝足球场的周长；根据上述等量关系可列方程：850×1.5－850x＝（105＋65）×2，先计算方程中1.5×850和（105＋65）×2，原方程变为1275－850x ＝ 340，方程两边同时加上850x，左右两边交换位置，再将方程两边同时减去340，最后方程两边同时除以850求解出x。 【详解】解：设小芳的速度是x米/秒。 850×1.5－850x＝（105＋65）×2 1275－850x＝170×2 1275－850x＝340 1275－850x＋850x＝340＋850x 1275＝340＋850x 340＋850x＝1275 340＋850x－340＝1275－340 850x＝935 850x÷850＝935÷850 x＝1.1 答：小芳的速度是1.1米/秒。 4．一辆客车和一辆货车同时从甲地出发，沿同一条公路开往乙地，客车每小时行110千米，货车每小时行80千米。经过几小时两车相距45千米？（列方程解答） 【答案】1.5小时 【分析】设经过小时两车相距45千米，根据，据此列方程并求解。 【详解】解：设经过小时两车相距45千米。 答：经过1.5小时两车相距45千米。 5．甲、乙两膄轮船同时相距300千米的两地相对开出，甲船每小时行32千米，乙船每小时行28千米，几小时两船相遇？（列方程解答） 【答案】5小时 【分析】相遇问题，根据甲乙两艘轮船相距300千米，可得等量关系式：甲船行驶的距离＋乙船行驶的距离＝300千米，根据题意，先设x小时两船相遇；再根据等量关系式可列方程：32x＋28x＝300，再解出答案即可。 【详解】解：设x小时两船相遇。 32x＋28x＝300 60x＝300 x＝5 答：5小时两船相遇。 6．儋州到海口的公路长约130千米。一辆小轿车从儋州开往海口，一辆面包车沿同样的路线从海口开往儋州，它们同时出发，1.3小时后两车相遇。已知小轿车每小时行60千米，面包车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】40千米 【分析】根据题意可得出等量关系：小轿车的速度×相遇时间＋面包车的速度×相遇时间＝全程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设面包车每小时行x千米。 60×1.3＋1.3x＝130 78＋1.3x＝130 78＋1.3x－78＝130－78 1.3x＝52 1.3x÷1.3＝52÷1.3 x＝40 答：面包车每小时行40千米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题01 简易方程 考点梳理 1 考点一、等式与方程的意义 1 考点二、等式与方程的关系 2 考点三、等式的性质 2 考点四、方程的解与解方程 2 考点五、解方程的书写格式与步骤 2 考点六、不同形式方程的解法 2 考点七、列方程解决实际问题 3 例题讲解 3 题型一、等式与方程的意义 3 题型二、等式的性质 3 题型三、应用等式的性质1和2解方程 4 题型四、解含括号和两个未知数的方程 4 题型五、列简易方程求解 5 题型六、列方程解含一个未知数的问题 5 题型七、列方程解含两个未知数的问题 6 题型八、列方程解行程问题 7 考点练习 7 练习一、等式与方程的意义 7 练习二、等式的性质 8 练习三、应用等式的性质1和2解方程 9 练习四、解含括号和两个未知数的方程 9 练习五、列简易方程求解 10 练习六、列方程解含一个未知数的问题 12 练习七、列方程解含两个未知数的问题 14 练习八、列方程解行程问题 15 考点梳理 考点一、等式与方程的意义 1.等式的意义：表示相等关系的式子叫作等式。从形式上看，含有“ ”（等号）的式子就是等式。 2.方程的意义：含有未知数的等式是方程。判断一个式子是否是方程，必须同时满足两个条件：它必须是一个等式，并且必须含有未知数。 考点二、等式与方程的关系 1.包含关系：等式包含方程，方程一定是等式，但等式不一定是方程。例如， 是等式，但不含有未知数，所以不是方程；而 既是等式，又含有未知数 ，所以是方程。 考点三、等式的性质 性质（1）：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是解方程（形如 ）的重要依据。 性质（2）：等式两边同时乘或除以同一个不是 的数，所得结果仍然是等式。这是解方程（形如 或 ，其中 ）的重要依据。注意除数不能为 。 考点四、方程的解与解方程 1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 2.解方程：求方程的解的过程叫作解方程。解方程是一个过程，而方程的解是一个数值结果。 考点五、解方程的书写格式与步骤 1.书写规范：解方程时，首先要写“解”字；等号要上下对齐，不能连写；每一步都应是一个含有未知数的等式。 2.基本步骤：根据等式的性质，通过“消元”的思想，逐步将方程变形，最终得到 数值 的形式。 考点六、不同形式方程的解法 1.形如 的方程：根据等式的性质（1），方程的两边同时减去 或加上 ，即 ，从而得到 。 2.形如 的方程：根据等式的性质（2），方程的两边同时除以 （ ），即 ，从而得到 。 3.形如 的方程：根据等式的性质（2），方程的两边同时乘 （ ），即 ，从而得到 。 4.形如 的方程：先把 看作一个整体，根据等式的性质（1），方程的两边同时减去 或加上 ，求出 的值，再根据等式的性质（2），求出 的值。 5.形如 的方程：先把小括号内的 看作一个整体，根据等式的性质（2），方程的两边同时除以 ，求出 的值，再根据等式的性质（1），求出 的值。 6.形如 的方程：先利用乘法分配律，将方程化简为 的形式，再根据等式的性质（2），方程的两边同时除以 ，从而得到 。这类方程常用于解决两个未知量的问题。 考点七、列方程解决实际问题 1.基本步骤： （1）写“解”和设句，用字母（通常是 ）表示题目中的未知量； （2）根据题意找出数量间的相等关系，并列出方程； （3）解方程，求出未知数的值； （4）检验，将求出的解代入原方程或题目情境中，检查是否符合题意； （5）写出答语。 2.找等量关系：这是列方程的关键。常见的等量关系包括：和、差、倍、分关系；公式（如路程 速度 时间、总价 单价 数量等）；以及题目中的关键词句（如“比……多/少”、“是……的几倍”、“共”、“一共”等）。 3.设未知数：一般情况下，设问题中所求的量为 。如果题目中有两个未知量，通常设标准量（即作为比较基准的量，也就是“ 倍量”）为 ，另一个未知量用含有 的式子表示出来。 例题讲解 题型一、等式与方程的意义 【例题1】下面的式子中等式有( )，方程有( )（填序号）。 ①    ②    ③    ④    ⑤ 【练习1】下列式子：①12－x＝4；②13＋20＝33；③x＋y＝25；④6x；⑤x÷5＞20，其中等式有( )；方程有( )。（填序号） 题型二、等式的性质 【例题2】根据等式的性质，下面表达错误的是（    ）。 A．若x－3＝30，则x－3＋3＝30＋3 B．若x÷2.5＝0.96，则x÷2.5×2.5＝0.96×2.5 C．若6x＝24，则6x÷6＝24÷6 D．若3x－24＝12，则3x－24÷3＝12÷3 【练习2】根据等式的性质，在括号里填上合适的数。 已知a＋3b＝4.8，则a＋3b－1.2＝( )，2a＋6b＝( )。 题型三、应用等式的性质1和2解方程 【例题3】解方程。 x＋4.13＝7.3                   x－25＝15.6                      x÷6.8＝15 【练习3】解方程。 x＋22＝28       x－3.7＝4.9       5x＝150       x÷2.1＝4 题型四、解含括号和两个未知数的方程 【例题4】解方程。 2－1.8＝2.4            （＋3.5）×3＝15        3－2.6×5＝0.2            25.5－＝15 【练习4】解方程。                                   题型五、列简易方程求解 【例题5】看图列方程并解答。 【练习5】看图列方程并解答。 题型六、列方程解含一个未知数的问题 【例题6】一个长方形的面积与边长为12厘米的正方形面积相等，这个长方形的宽是8厘米，长是多少厘米？（列方程解答） 【练习6】无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 题型七、列方程解含两个未知数的问题 【例题7】果园里桃树与梨树一共有180棵，其中桃树的棵数是梨树的3倍。桃树与梨树各有多少棵？（先把线段图补充完整，再用方程解答） 【练习7】小可同学借助网络查阅资料，了解到地球的表面积总约为5.1亿平方千米，由于其中海洋面积约为陆地面积的2.4倍，所以地球看起来是一颗蓝色的星球，请你算一算地球上的海洋面积是多少亿平方千米？（用方程解答） 题型八、列方程解行程问题 【例题8】甲、乙两辆车同时从某地出发，背向而行，6小时后两车相距1200千米。已知甲车每小时行102千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【练习8】甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 考点练习 练习一、等式与方程的意义 1．下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 2．等式与方程的关系可以用如图中的（    ）来表示。 A． B． C． D． 3．把下面左边方框中的式子分为右边的两类，分类的标准是（    ）。 A．是不是方程 B．是不是等式 C．有没有未知数 D．是不是有字母 4．将序号填在合适的括号里。 ①     ②   ③     ④ ⑤  ⑥    ⑦  ⑧ 等式有( )，方程有( )。 练习二、等式的性质 1．观察下图，下列等式成立的是（    ）。 A． B． C． D． 2．已知2m＝3n（m、n为非零自然数），根据等式的性质判断，下面等式成立的是（    ）。 A．4m＝9n B．2m＋2＝3n－2 C．m＝3n÷2 D．2m×3＝n 3．小刚买了2支同样的钢笔和3支同样的铅笔，小明买了同样的9支铅笔，他们付的钱数一样多，1支钢笔的价格等于（    ）支铅笔的价格。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．1个苹果和( )个草莓一样重。 5．根据等式的性质在◯里填上运算符号，在（ ）里填上合适的数。 x＋1.5＝2.1                     x÷7＝2.8 x＋1.5－1.5＝2.1◯（ ）          x÷7×7＝2.8◯（ ） 6．已知5x＝y，根据等式的性质，则5x－6＝y－( )，20x＝y×( )。 练习三、应用等式的性质1和2解方程 1．要解“x－0.24＋0.76＝5”这个方程，应该（    ）。 A．左右两边先＋0.24再－0.76 B．左右两边先＋0.24再＋0.76 C．左右两边先－0.24再－0.76 D．左右两边先－0.24再＋0.76 2．在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是。 ( )    ( ) 3．x－2.5＝8.5，那么3x＝( )；如果x÷5＝1.5，那么x－0.3＝( )。 4．解方程。                5．解方程。（带☆的要检验） 3x＝87         ☆x－57＝138         x÷2.5＝5 练习四、解含括号和两个未知数的方程 1．解方程。 5.5－5x＝0.25                24x＋38x＝310 1.7x＋2.3×2＝8            （x－140）÷70＝4 2．解方程。（带★的要检验） 7.5x－5x＝8                     2x－1.8＋2.4＝6 ★18×（x＋2.9）＝108          16x÷（40－10）＝4 3．解方程。 1.6×3＋3x＝6        0.2x－1.2×3＝6.6       x＋0.8x＝5.4 4x÷0.1＝10          0.8x－1.2＝0.4          18×（x＋2.9）＝108 练习五、列简易方程求解 1．用方程表示下面的数量关系。 2．看图列方程，并解答。 平行四边形面积是100cm2。 3．看图列方程并解答。 4．看图列方程并解答。 5．求x的值。 6．看图列方程并解答。 练习六、列方程解含一个未知数的问题 1．小红买了一本科技书，付给营业员30元后找回26元，这本科技书多少元？（列方程解答） 2．邳州市是一座优秀旅游城市，沙沟湖湿地公园的面积约270公顷，比桃花岛公园的3倍还多60公顷。桃花岛公园的面积大约多少公顷？（列方程解答） 3．2025年“五一”假期，全国外出旅游人数约8.2亿人次，比去年同期的2倍多1.2亿人次。去年同期全国外出旅游是多少亿人次？（用方程解答） 4．每千克西瓜3.6元，买4千克苹果比买6千克西瓜多付2.4元，每千克苹果多少元？ 5．颐和园是我国保存最完整的一座皇家行宫御园，被誉为“皇家园林博物馆”。它的占地面积约为3平方千米，比世界上面积最小的国家“梵蒂冈”的国土面积的7倍少0.08平方千米。梵蒂冈的国土面积是多少平方千米？ 6．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功。学校组织五、六年级共972名学生在报告厅观看神舟十九号载人飞船升空的视频。报告厅每排坐了18人，五年级坐了26排。六年级坐了多少排？（列方程解答） 练习七、列方程解含两个未知数的问题 1．学校开展环保节能活动，五年级和六年级一共收集了360千克废纸，其中六年级收集的废纸是五年级的3倍。五、六年级各收集废纸多少千克？（先把线段图补充完整，再解答。） 2．一根长420厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的5倍。这个长方形的长是多少厘米？（列方程解答） 3．饲养场养了一些黄牛和奶牛，黄牛的头数是奶牛的2.5倍。奶牛的头数比黄牛少180头。奶牛和黄牛各有多少头？ 4．小芳和小红一同去逛夜市，小芳看中了一条裙子，小红看中了一副手套，但她们的钱都不够。如果小红借钱给小芳买裙子，那么她还剩30元；如果小芳借钱给小红买手套，那么她还剩150元。已知一条裙子的价钱是一副手套的2.5倍。一条裙子和一副手套的价钱各是多少元？（列方程解答） 5．学校举行植树活动，六年级植树的棵数是五年级的1.2倍，五年级比六年级少植树10棵。五年级和六年级分别植树多少棵？（列方程解答） 6．中国南极科考站共有5个，分别是长城站、中山站、昆仑站、泰山站和秦岭站。中山站的建筑面积比泰山站多6400平方米，是泰山站的7.4倍。中山站和泰山站的建筑面积各是多少平方米？ 练习八、列方程解行程问题 1．甲、乙两车同时沿同一条路从A站出发开往B站，甲车每小时行42千米，6小时后，甲车落在乙车后面48千米。乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 2．杭州与上海相距210千米，甲、乙两辆汽车同时分别从两地相对开出，经过1.5小时后两车相遇，已知甲车每小时行64千米，乙车每小时行多少千米？（先画线段图整理条件和问题，再列方程解答） 3．某小学足球场是一个长方形，其长是105米，宽是65米，小睿和小芳绕着足球进行快走锻炼，他们同时从同一地点同向匀速行走，850秒后小睿从后面追上小芳。已知小睿的速度是1.5米/秒，则小芳的速度是多少？ 4．一辆客车和一辆货车同时从甲地出发，沿同一条公路开往乙地，客车每小时行110千米，货车每小时行80千米。经过几小时两车相距45千米？（列方程解答） 5．甲、乙两膄轮船同时相距300千米的两地相对开出，甲船每小时行32千米，乙船每小时行28千米，几小时两船相遇？（列方程解答） 6．儋州到海口的公路长约130千米。一辆小轿车从儋州开往海口，一辆面包车沿同样的路线从海口开往儋州，它们同时出发，1.3小时后两车相遇。已知小轿车每小时行60千米，面包车每小时行多少千米？（列方程解答） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $