单元培优讲义：表面涂色的正方体-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

表面涂色的正方体 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！在上一单元我们认识了正方体的基本特征，今天我们将通过一个有趣的视角，再次深入探索正方体的奥秘。本讲义的主题是《表面涂色的正方体》，这是一次充满挑战与乐趣的数学探究活动。想象一下，如果把一个大正方体的表面涂上颜色，再把它分割成一个个小正方体，这些小正方体的涂色情况会是怎样的呢？它们的数量与大正方体的切割方式又有着怎样的奇妙联系？我们将通过动手操作、观察想象、归纳推理，一步步揭开隐藏在涂色背后的数学规律。请准备好你的空间想象力，让我们一起在“切一切、数一数、想一想”的过程中，感受数学的严谨与神奇吧！ 知识梳理 1. 问题情境与基本概念 （1）情境描述 ① 操作过程：将一个表面涂色的大正方体，沿着它的棱平均分成若干份，从而切割成若干个小正方体。 ② 研究对象：研究切割后，小正方体按涂色面数（三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色）分类的数量规律。 （2）分类定义 ① 三面涂色：小正方体有三个面暴露在外，被涂上颜色。 ② 两面涂色：小正方体有两个面暴露在外，被涂上颜色。 ③ 一面涂色：小正方体只有一个面暴露在外，被涂上颜色。 ④ 没有涂色：小正方体完全在内部，没有任何面被涂上颜色。 2. 涂色小正方体的位置与计数规律 （1）三面涂色的规律 ① 位置：三面涂色的小正方体一定位于大正方体的“顶点”位置。 ② 数量：不论大正方体被平均分成多少份，它都有8个顶点，所以三面涂色的小正方体永远是8个。 （2）两面涂色的规律 ① 位置：两面涂色的小正方体位于大正方体的“棱”上，但不包括棱两端的顶点。 ② 数量推导：假设大正方体的棱被平均分成 份，则每条棱上两面涂色的小正方体个数为 个（减去两端的顶点）。正方体有12条棱，所以总数为 个。 （3）一面涂色的规律 ① 位置：一面涂色的小正方体位于大正方体的“面”上，但不包括最外层的一圈。 ② 数量推导：假设大正方体的棱被平均分成 份，则每个面上一面涂色的小正方体排成一个 的正方形。正方体有6个面，所以总数为 个。 （4）没有涂色的规律 ① 位置：没有涂色的小正方体完全隐藏在大正方体的内部。 ② 数量推导：去掉最外层一圈后，剩下的内部是一个棱长为 的小正方体。所以总数为 个。 例题讲解 【典型例题1】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成3份，然后沿等分线切开。请问：三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体各有多少个？ 解析： 1.三面涂色：位于8个顶点，所以有8个。 2.两面涂色：位于12条棱的中间。每条棱平均分成3份，中间只有1个小正方体是两面涂色的（即 ）。所以总数是 个。 3.一面涂色：位于6个面的中心。每个面平均分成 个小正方体，中心只有1个是一面涂色的（即 ）。所以总数是 个。 【跟踪练习1】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成2份，然后沿等分线切开。 （1）一共可以得到多少个小正方体？ （2）三面涂色的小正方体有多少个？ （3）有没有两面涂色或一面涂色的小正方体？ 【典型例题2】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成4份，然后沿等分线切开。请问：两面涂色和一面涂色的小正方体各有多少个？ 解析： 1. 两面涂色：每条棱平均分成4份，每条棱上两面涂色的小正方体个数为 个。正方体有12条棱，所以总数为 个。 2. 一面涂色：每个面平均分成 个小正方体，中间一面涂色的部分是一个 的正方形（即 ）。正方体有6个面，所以总数为 个。 【跟踪练习2】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成5份，然后沿等分线切开。 （1）两面涂色的小正方体有多少个？ （2）一面涂色的小正方体有多少个？ 【典型例题3】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成10份，然后沿等分线切开。 （1）没有涂色的小正方体有多少个？ （2）两面涂色的小正方体有多少个？ 解析： 1.没有涂色：去掉最外层后，内部是一个棱长为 的小正方体。所以数量为 个。 2.两面涂色：直接套用公式 ，即 个。 【跟踪练习3】 一个表面涂色的大正方体，将它的每条棱平均分成6份，然后沿等分线切开。 （1）一面涂色的小正方体有多少个？ （2）没有涂色的小正方体有多少个？ 培优练习 一、选择题 1．把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块。这些小木块中，2面涂色的一共有（    ）块。 A．36 B．54 C．90 D．98 2．将一个表面涂色的大正方体切成27个小正方体，三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．15 D．27 3．把一个大正方体表面涂满红色，分割成若干个同样大小的小正方体，使其中两面涂色的有24块，那么要将这个正方体分割成（    ）块。 A．8 B．27 C．216 D．64 4．一个正方体木块，表面涂油漆（底面不涂）。王师傅按照如图的方法把它切成若干块棱长相等的小正方体木块。这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有（    ）块。 A．4 B．8 C．12 D．16 5．在一个棱长10dm的正方体表面涂上红色后，把它切割成棱长2dm的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．24 C．36 D．48 二、填空题 6．一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。如果照右图的样子把它切开，能切成( )个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体有( )个，6个面都没有涂色的小正方体有( )个。 7．一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体木块，将它的表面涂色，然后切成棱长是1dm的正方体。其中三面涂色的正方体有( )个，两面涂色的正方体有( )个。 8．把一个棱长4cm的正方体木块表面涂上红色，然后切成棱长为1cm的小正方体木块。两面涂色的小正方体有( )块。 9．一个表面涂满了红色的正方体，切成了125个同样大的小正方体。这些小正方体中三个面涂红色的有( )块，两个面涂红色的有( )块。 10．一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 三、判断题 11．三个相同的正方体排成一列放在墙角，有7个面露在外面。( ) 12．用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。( ) 13．一个正方体，先在它每个面上涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，如果两面涂色的小正方体有24个，那么这个正方体的体积是64立方厘米。( ) 14．如图，将这个几何体的表面涂上颜色，一面涂色的小正方体有8个。( ) 15．拿走左图中涂色部分的小正方体后，它的表面积不变。( ) 四、解答题 16．一个大立方体，在几个面上涂了颜色之后，然后切成小立方体，结果发现有45个立方体没有被涂颜色，请问原来的立方体有多大？—共涂了几个面？ 17．一个由1×1×1的小正方体组成的6×7×8的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少个？ 18．一个长方体，表面全涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于7，那么两面带红色的小正方体的个数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 表面涂色的正方体 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！在上一单元我们认识了正方体的基本特征，今天我们将通过一个有趣的视角，再次深入探索正方体的奥秘。本讲义的主题是《表面涂色的正方体》，这是一次充满挑战与乐趣的数学探究活动。想象一下，如果把一个大正方体的表面涂上颜色，再把它分割成一个个小正方体，这些小正方体的涂色情况会是怎样的呢？它们的数量与大正方体的切割方式又有着怎样的奇妙联系？我们将通过动手操作、观察想象、归纳推理，一步步揭开隐藏在涂色背后的数学规律。请准备好你的空间想象力，让我们一起在“切一切、数一数、想一想”的过程中，感受数学的严谨与神奇吧！ 知识梳理 1. 问题情境与基本概念 （1）情境描述 ① 操作过程：将一个表面涂色的大正方体，沿着它的棱平均分成若干份，从而切割成若干个小正方体。 ② 研究对象：研究切割后，小正方体按涂色面数（三面涂色、两面涂色、一面涂色、没有涂色）分类的数量规律。 （2）分类定义 ① 三面涂色：小正方体有三个面暴露在外，被涂上颜色。 ② 两面涂色：小正方体有两个面暴露在外，被涂上颜色。 ③ 一面涂色：小正方体只有一个面暴露在外，被涂上颜色。 ④ 没有涂色：小正方体完全在内部，没有任何面被涂上颜色。 2. 涂色小正方体的位置与计数规律 （1）三面涂色的规律 ① 位置：三面涂色的小正方体一定位于大正方体的“顶点”位置。 ② 数量：不论大正方体被平均分成多少份，它都有8个顶点，所以三面涂色的小正方体永远是8个。 （2）两面涂色的规律 ① 位置：两面涂色的小正方体位于大正方体的“棱”上，但不包括棱两端的顶点。 ② 数量推导：假设大正方体的棱被平均分成 份，则每条棱上两面涂色的小正方体个数为 个（减去两端的顶点）。正方体有12条棱，所以总数为 个。 （3）一面涂色的规律 ① 位置：一面涂色的小正方体位于大正方体的“面”上，但不包括最外层的一圈。 ② 数量推导：假设大正方体的棱被平均分成 份，则每个面上一面涂色的小正方体排成一个 的正方形。正方体有6个面，所以总数为 个。 （4）没有涂色的规律 ① 位置：没有涂色的小正方体完全隐藏在大正方体的内部。 ② 数量推导：去掉最外层一圈后，剩下的内部是一个棱长为 的小正方体。所以总数为 个。 例题讲解 【典型例题1】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成3份，然后沿等分线切开。请问：三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体各有多少个？ 解析： 1.三面涂色：位于8个顶点，所以有8个。 2.两面涂色：位于12条棱的中间。每条棱平均分成3份，中间只有1个小正方体是两面涂色的（即 ）。所以总数是 个。 3.一面涂色：位于6个面的中心。每个面平均分成 个小正方体，中心只有1个是一面涂色的（即 ）。所以总数是 个。 【跟踪练习1】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成2份，然后沿等分线切开。 （1）一共可以得到多少个小正方体？ （2）三面涂色的小正方体有多少个？ （3）有没有两面涂色或一面涂色的小正方体？ 答案及解析： （1）一共可以得到 个小正方体。 （2）三面涂色的小正方体有8个（即8个顶点）。 （3）没有两面涂色或一面涂色的小正方体。因为棱长只分成2份时，切下来的小正方体都位于顶点位置，所以全部是三面涂色的。 【典型例题2】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成4份，然后沿等分线切开。请问：两面涂色和一面涂色的小正方体各有多少个？ 解析： 1. 两面涂色：每条棱平均分成4份，每条棱上两面涂色的小正方体个数为 个。正方体有12条棱，所以总数为 个。 2. 一面涂色：每个面平均分成 个小正方体，中间一面涂色的部分是一个 的正方形（即 ）。正方体有6个面，所以总数为 个。 【跟踪练习2】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成5份，然后沿等分线切开。 （1）两面涂色的小正方体有多少个？ （2）一面涂色的小正方体有多少个？ 答案及解析： （1）两面涂色：每条棱上有 个，12条棱共有 个。 （2）一面涂色：每个面上有 个，6个面共有 个。 【典型例题3】 一个表面涂色的正方体，将它的每条棱平均分成10份，然后沿等分线切开。 （1）没有涂色的小正方体有多少个？ （2）两面涂色的小正方体有多少个？ 解析： 1.没有涂色：去掉最外层后，内部是一个棱长为 的小正方体。所以数量为 个。 2.两面涂色：直接套用公式 ，即 个。 【跟踪练习3】 一个表面涂色的大正方体，将它的每条棱平均分成6份，然后沿等分线切开。 （1）一面涂色的小正方体有多少个？ （2）没有涂色的小正方体有多少个？ 答案及解析： （1）一面涂色：利用公式 ，即 个。 （2）没有涂色：利用公式 ，即 个。 培优练习 一、选择题 1．把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块。这些小木块中，2面涂色的一共有（    ）块。 A．36 B．54 C．90 D．98 【答案】A 【分析】两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，但不在顶点处，每条棱上两面涂色的小正方体数量等于棱长分割数减2，再乘以棱的数量12。 【详解】5÷1＝5，所以大正方体每条棱长上都有5块小正方体。 （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（块） 把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块。这些小木块中，2面涂色的一共有36块。 故答案为：A 2．将一个表面涂色的大正方体切成27个小正方体，三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．15 D．27 【答案】A 【分析】 如图，三面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8个。 【详解】将一个表面涂色的大正方体切成27个小正方体，根据分析，三面涂色的小正方体有8个。 故答案为：A 3．把一个大正方体表面涂满红色，分割成若干个同样大小的小正方体，使其中两面涂色的有24块，那么要将这个正方体分割成（    ）块。 A．8 B．27 C．216 D．64 【答案】D 【分析】两面涂色的小正方体在大正方体棱的中间，正方体有12条棱，两面涂色的块数÷12＝每条棱两面涂色的块数，每条棱两面涂色的个数＋2＝每条棱小正方体的块数，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出总块数。 【详解】24÷12＋2 ＝2＋2 ＝4（块） 4×4×4＝64（块） 要将这个正方体分割成64块。 故答案为：D 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，熟悉正方体的特征。 4．一个正方体木块，表面涂油漆（底面不涂）。王师傅按照如图的方法把它切成若干块棱长相等的小正方体木块。这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有（    ）块。 A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据正方体表面涂色的特点，6个面都没有涂油漆的小正方体在大正方体的内部，因为这个大正方体的底面不涂油漆，那么底面最中间只露出一个面的小正方体的6个面也没有涂油漆； 内部每条棱上没有涂色的小正方体有（4－2）块，根据正方体的体积公式V＝a3，求出大正方体内部小正方体的块数，再加上底面的4块，即是没有涂色的小正方体的总块数。 【详解】4－2＝2（块） 2×2×2＝8（块） 8＋4＝12（块） 所以这些小正方体木块中，6个面都没有涂油漆的有12块。 故答案为：C 【点睛】底面不涂色，底面只露出一个面的正方体块也要加上。 5．在一个棱长10dm的正方体表面涂上红色后，把它切割成棱长2dm的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】先用大正方体棱长10dm除以小正方体棱长2dm，求出每条棱上能切出5个小正方体。两面涂色的小正方体位于棱上且不包含顶点的位置，用每条棱上的小正方体数量5减去2个顶点位置的小正方体，求出每条棱上有3个两面涂色的小正方体。正方体有12条棱，用12乘3，即可求出两面涂色的小正方体个数。 【详解】10÷2＝5（个） 5－2＝3（个） 12×3＝36（个） 所以两面涂色的小正方体有36个。 故答案为：C 二、填空题 6．一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。如果照右图的样子把它切开，能切成( )个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体有( )个，6个面都没有涂色的小正方体有( )个。 【答案】 64 8 8 【分析】每条棱平均分成4份，所以小正方体的总个数是（个）；3面涂色的小正方体在正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以3面涂色的小正方体有8个；6个面都没有涂色的小正方体在正方体的内部，需要去掉外层涂色的部分。每条棱去掉外层2个小正方体后，内部形成的正方体棱长为：，所以内部未涂色的小正方体个数为（个），据此得出答案。 【详解】由分析知：一个表面涂色的正方体，每条棱平均分成4份。如果照右图的样子把它切开，能切成64个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体有8个，6个面都没有涂色的小正方体有8个。 7．一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体木块，将它的表面涂色，然后切成棱长是1dm的正方体。其中三面涂色的正方体有( )个，两面涂色的正方体有( )个。 【答案】 8 24 【分析】三面涂色的小正方体在长方体的顶点位置，长方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定8个； 两面涂色的小正方体在长方体的棱上（顶点处除外），用每条棱上小正方体的个数减去2，长方体有4长、4宽、4高，分别求出长、宽、高棱上两面涂色的小正方体个数，再用长、宽、高棱上两面涂色的小正方体个数和乘4即可解答。 【详解】长方体有8个顶点，每个顶点对应1个三面涂色的小正方体，所以其中三面涂色的正方体有8个。 5－2＝3（个） 4－2＝2（个） 3－2＝1（个） （3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（个） 所以两面涂色的正方体有24个。 8．把一个棱长4cm的正方体木块表面涂上红色，然后切成棱长为1cm的小正方体木块。两面涂色的小正方体有( )块。 【答案】24 【分析】一个大正方体被切成个小正方体后，涂色小正方体的数量与位置有关： 两面涂色的小正方体位于棱上（除顶点外），即位于每条棱的中间部分，每条棱有个小正方体，正方体有12条棱，所以总数为个。 【详解】12×（4÷1－2） ＝12×（4－2） ＝12×2 ＝24（个） 即两面涂色的小正方体有24个。 9．一个表面涂满了红色的正方体，切成了125个同样大的小正方体。这些小正方体中三个面涂红色的有( )块，两个面涂红色的有( )块。 【答案】 8 36 【分析】一个表面涂满了红色的正方体，切成了125个同样大的小正方体，5×5×5＝125，所以每条棱上有5块小正方体。 大正方体顶点处的小正方体是三面涂色，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定为8块；位于大正方体棱上（非顶点）的小正方体是两面涂色，每条棱上有5块小正方体，顶点处2块是三面涂色，所以每条棱上两面涂色的有5－2＝3块，正方体有12条棱，因此两面涂色的小正方体数量是3×12＝36块。 【详解】5×5×5＝125 （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（块） 因此，这些小正方体中三个面涂红色的有8块，两个面涂红色的有36块。 【点睛】三面涂色的小正方体位于顶点位置，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8块；两面涂色的小正方体在棱上，正方体有12条棱，各去掉两块顶点处三面涂色的小正方体，所以两面涂色的小正方体有（n－2）×12块（n为每条棱上小正方体的个数）。 10．一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 36 54 【分析】见下图          我们先把正方体每条棱平均分成5份，这样每条棱上就有5个小正方体。 两面涂色的小正方体：两面涂色的小正方体只出现在正方体的棱上，并且不包括顶点处的小正方体。 每条棱上有5个小正方体，去掉两端顶点的2个，中间剩下5－2＝3个两面涂色的小正方体。 正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体总数是3×12＝36个。 一面涂色的小正方体：一面涂色的小正方体只出现在正方体每个面的中心区域，不包括棱上的小正方体，如上图篮框区域。 一个面有：3×3＝9个的小正方体 正方体有6个面，所以一共有：9×6＝54个。 【详解】（5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（个） 所以，两面涂色的小正方体有36个，一面涂色的小正方体有54个。 【点睛】利用画出图形，找出一个面满足涂色条件的个数，然后乘面数。 三、判断题 11．三个相同的正方体排成一列放在墙角，有7个面露在外面。( ) 【答案】√ 【分析】正方体在墙角且排成一列时的遮挡情况。墙角有两个垂直墙面和一个地面，第一个正方体有三个面与墙面或地面接触而被遮挡，其他正方体有较少的面与墙面或地面接触，但相邻正方体接触导致额外遮挡，由此即可判定。 【详解】三个相同的正方体排成一列放在墙角。 2＋2＋3＝7（个），一共有7个面露在外面。 故答案为：√ 12．用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。( ) 【答案】√ 【分析】因为有27小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体8个顶点上，据此解答即可。 【详解】由分析可知：27＝3×3×3，即大正方体的每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。 故答案为：√ 【点睛】本题考查组合图形的涂色问题，熟练掌握正方体的特征是关键。 13．一个正方体，先在它每个面上涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，如果两面涂色的小正方体有24个，那么这个正方体的体积是64立方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】如果一个大的正方体每条棱上有n个（n≥3）小正方体，则两面涂色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n－2）个，共有（n－2）×12个。已知两面涂色的小正方体有24个，据此列出方程，求出大正方体每条棱上小正方体的个数，再根据正方体的体积公式V＝a3，求出大正方体的体积。 【详解】解：设大正方体每条棱上有n个小正方体。 （n－2）×12＝24 （n－2）×12÷12＝24÷12 n－2＝2 n－2＋2＝2＋2 n＝4 正方体的体积：4×4×4＝64（立方厘米） 这个正方体的体积是64立方厘米。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．如图，将这个几何体的表面涂上颜色，一面涂色的小正方体有8个。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，三面涂色的小正方体在顶点处，两面涂色的小正方体在每条棱上，一面涂色的小正方体在每个面上；据此解答。 【详解】一面涂色的小正方体如下图： 一面涂色的小正方体位于大正方体的面上，每个面中间有1个，6个面共有6个。 所以，将这个几何体的表面涂上颜色，一面涂色的小正方体有6个。 原题说法错误。 故答案为：× 15．拿走左图中涂色部分的小正方体后，它的表面积不变。( ) 【答案】× 【分析】观察可知，原来小正方体露在外面的只有1个面，拿走后，露出了5个面，所以表面积增加了。 【详解】拿走左图中涂色部分的小正方体后，它的表面积增加了，原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题 16．一个大立方体，在几个面上涂了颜色之后，然后切成小立方体，结果发现有45个立方体没有被涂颜色，请问原来的立方体有多大？—共涂了几个面？ 【答案】125个小立方体大；4个 【分析】去掉涂了颜色的小正方体，没有被涂颜色的小立方体构成一个长方体，根据长方体体积＝长×宽×高，将45分解质因数，确定长方体的长、宽、高，最长的棱长即原大立方体的棱长。最长的棱长－较短棱长＝没有涂色的面，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出原立方体的大小。 【详解】45＝3×3×5 没有被涂颜色的部分是个3×3为底，高5的长方体。 大立方体的棱长是5 因为5－3＝2，所以大立方体的4个侧面都被涂色了，只有上下面没有。 5×5×5＝125 答：原来的立方体有125个小立方体大，一共涂了4个面。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 17．一个由1×1×1的小正方体组成的6×7×8的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少个？ 【答案】一面148个；二面60个；三面8个 【分析】三面有色的处在8个顶点上，所以三面被涂成红色的小正方体有8个；两面有色的处在12条棱上（不含顶点上的小正方体），12条棱上有（4＋5＋6）×4＝60（个）小正方体两面被涂成红色；一面有色的处在每个面的中间，6个面上有（4×5＋4×6＋5×6）×2＝148（个）小正方体一面被涂成红色；据此即可解答。 【详解】三面涂色：8个 两面涂色：（4＋5＋6）×4 ＝15×4 ＝60（个） 一面涂色：（4×5＋4×6＋5×6）×2 ＝（20＋24＋30）×2 ＝74×2 ＝148（个） 答：一面被涂成红色的小正方体有148个，二面被涂成红色的小正方体有60个，三面被涂成红色的小正方体有8个。 【点睛】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上（不含顶点上的小正方体），一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心。 18．一个长方体，表面全涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于7，那么两面带红色的小正方体的个数是多少？ 【答案】36个 【分析】根据题意可知，不带红色的小正方体的个数等于7，它应该是7个小正方体排成一排，所以长方体被切割成了3排9列3层，共有3×9×3＝81（个）小正方体，两面带红色的小正方体在12条棱上（不含顶点上的小正方体），每条长上有7个，每条宽上有1个，每条高上有1个，所以共有（7＋1＋1）×4＝36（个），据此即可解答。 【详解】（7＋1＋1）×4 ＝9×4 ＝36（个） 答：两面带红色的小正方体是36个。 【点睛】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上（不含顶点上的小正方体），一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $