6.2.1 空间向量基本定理（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.2.1 空间向量基本定理 第6章 空间向量与立体几何 苏教版·选修二下册 学 习 目 标 1 2 3 理解空间向量基本定理的内容及其几何意义。 掌握空间向量可用三个不共面向量线性表示的方法。理解基底、基向量、正交基底、单位正交基底的概念。 能够运用空间向量基本定理解决简单的几何问题。 一、情境引入，激趣导思 空间向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 回顾与类比 1. 平面向量基本定理 2. 问题驱动： 在空间中，我们是否也能找到几个“基本”向量，使得空间中的任何一个向量都能由它们线性表示？ 一、情境引入，激趣导思 空间向量基本定理 在长方体中，从顶点出发的三条棱，能否用来表示长方体内的所有向量（如体对角线）？ 3. 直观感知： 如果可以，如何表示？ 这就是本节课要探究的问题。 回顾与类比 二、师生互动，探究新知 空间向量基本定理 活动1：动手操作 任务： 给定一个空间向量和三个不共面的向量，尝试通过平移、伸缩等方式，将分解到这三个方向上。 y z 讨论： 这种分解是否总能实现？分解的结果是否唯一？ 二、师生互动，探究新知 空间向量基本定理 活动2：小组辩论 只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底。 辩题： 结论： 基底只需“不共面”，不一定需要“两两垂直。 垂直 不垂直 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组，使 核心点：存在性与唯一性。 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 2.基底与基向量 由三个不共面向量组成的集合 称为空间的一个基底。 基底： 基向量：基底中的每一个向量。 基向量： 基底 基向量 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 对于基底 ： 不共面 空间任三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 强调 2.基底与基向量 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 3. 正交基底与单位正交基底 三个基向量两两垂直。 正交基底： 基向量都是单位向量的正交基底，常用 表示。 单位正交基底： 棱长为单位长度正方体 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 (1) 先证存在性 设 是三个不共面的向量， 过空间一点 作 ，，， 过点 作直线 交平面 于点 ； 再过点 在平面 内分别作直线 交直线 于点 ，作 交直线 于点 。 由平面向量基本定理，存在唯一的实数 ，使得： 又因为 ，所以存在唯一的实数 ，使得： 因此： 即存在有序实数组 ，使得 。 4. 证明基本定理 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 由平面向量基本定理，存在唯一的实数 ，使得： 又因为 ，所以存在唯一的实数 ，使得： 因此： 即存在有序实数组 ，使得 。 4. 证明基本定理 (1) 先证存在性 设 是三个不共面的向量， 设 作 过空间一点 作 ，，， 过点 作直线 交平面 于点 ； 再过点 在平面 内分别作直线 交直线 于点 ，作 交直线 于点 。 推 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 假设除 外，还存在另一组有序实数组 ，使得： 4. 证明基本定理 (2) 再证唯一性 设 这表明 可以由 线性表示，即 共面，与已知矛盾！ 推 则有： 移项得： 不妨设 ，则： 矛盾 定论 因此 ，同理可证 ，。故有序实数组 是唯一的。 三、归纳概括，构建体系 空间向量基本定理 5. 推论 若 是不共面的四点，则对空间任意一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 四、巩固新知，学以致用 空间向量基本定理 例题1（基底的判断） 已知是空间的一个基底，判断下列各组向量能否作为该空间的一个基底： (a) ；(b) ；(c) 。 解析： (a) 可以。因为与共线，但本质仍不共面。 (b) 可以。假设它们共面，则存在实数使，整理得。 因不共面（线性无关），故系数均为0，解得，但这会导致，矛盾，故不共面。 (c) 不可以。因为，即这三个向量共面（和都在由确定的平面内）。 四、巩固新知，学以致用 空间向量基本定理 例题2（向量的表示） 例 2（教材例1）如图，在正方体 中，点 是 与 的交点， 是 与 的交点，试用向量 表示向量 和 。 解：正方体 中，因为四边形 是正方形，所以 ， 因为四边形 是矩形， 所以 。 由 ，可得 ， 又 ，则 ， 所以 ， 所以 。 四、巩固新知，学以致用 空间向量基本定理 例题3（向量的表示） 例3在平行六面体中，设，是的中点，是的中点。试用表示向量。 解析： （或利用位置向量）。 ，故。 (b-)。 所以(b-)。 五、内化于心，融会贯通 空间向量基本定理 1.设是空间的一个基底，下列各组向量中，不能作为基底的是？ B. C. D. 答案：B。因为都在由确定的平面内，故共面。 五、内化于心，融会贯通 空间向量基本定理 2. 向量表示 - 在四面体中，是的中点，是的重心。试用表示。 答案：。（提示：，， 五、内化于心，融会贯通 空间向量基本定理 3.在空间四边形 中，已知点 分别是 的中点，且 ，试用向量 表示向量 。 首先，表示向量 和 ： , 五、内化于心，融会贯通 空间向量基本定理 4.在长方体中，若，则 ______。（其中为单位正交基底） 答案：。 五、内化于心，融会贯通 空间向量基本定理 如图，设 是平行四边形 所在平面外一点， 是平行四边形对角线 和 的交点， 是 的中点。求下列各式中 的值 (1)；(2)。 (1)设 ，，，。 由平行四边形性质，有 。 为对角线交点，故 。 为 中点，故 。 于是 五、内化于心，融会贯通 空间向量基本定理 如图，设 是平行四边形 所在平面外一点， 是平行四边形对角线 和 的交点， 是 的中点。求下列各式中 的值 (1)；(2)。 代入等式： 两边乘以 2：整理得 五、内化于心，融会贯通 空间向量基本定理 如图，设 是平行四边形 所在平面外一点， 是平行四边形对角线 和 的交点， 是 的中点。求下列各式中 的值 (1)；(2)。 由于 在平面外， 与 不共线，故系数为零： (2) ，略) 六、学海拾贝，智启未来 空间向量基本定理 空间向量基本定理：任一向量可由三个不共面向量唯一表示。 基底、基向量、正交基底、单位正交基底的概念。 推论：点 P 的位置可由 O,A,B,C 唯一确定。 构造平行四边形或平行六面体进行向量分解。 利用向量共线、共面条件进行判断和推导。 $