八年级数学下学期期中学情自测·培优卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第19章 二次根式～第21章 四边形）

八年级数学下学期期中学情自测·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直且平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定定理逐一分析即可．掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴A选项不符合题意； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴B选项不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，C选项符合题意； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴D选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的一组正整数，据此对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意， B．，，不是正整数，故该选项不是勾股数，不符合题意， C．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意， D．，，且，，均为正整数，故该选项是勾股数，符合题意， 故选：D． 4．（25-26九年级下·重庆·月考）已知实数，则的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的运算法则化简，再估算无理数的大小即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴，即 ∴的值在和之间． 5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边平行且相等以及角平分线，构造等腰三角形，进而求出． 【详解】解： 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 7．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如下图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解题的关键；由题意易得，同理可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，， ∴， ∴四边形的周长为； 故选D． 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 10．小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级下·广西南宁·月考）若x，y为实数，且，则_____． 【答案】4 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 12．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 14．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴，，， ∴3个空格中的实数之积为． 故答案为：18 15．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 16．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算： (1)． (2)已知，，求下列代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，已知式子的值求代数式的值，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简以及运算除法，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵，， ∴ ． 18．（6分）（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），角平分线的判定定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明，从而可得出，根据角平分线的判定可得出平分； （2）先根据得出，再利用勾股定理求得，从而利用线段的差求得． 【详解】（1）证明：∵于E，于F， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19．（8分）（25-26八年级下·江西赣州·月考）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)电视背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 20．（8分）（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 21．（10分）（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)10 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 22．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 23．（12分）24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个面积为的平行四边形； (2)在图②中，画一个面积为的矩形； (3)在图③中，画一个面积为的菱形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查格点作图，掌握平行四边形，矩形，菱形，勾股定理等知识是关键． （1）根据格点，平行四边形的判定方法作图即可； （2）根据格点，矩形的判定方法作图即可； （3）根据菱形，勾股定理的计算作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，根据网格特点可得四边形，点到的距离为， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形即为所求图形； （2）解：如图所示，根据格点特点， ∴四边形是矩形，， ∴四边形即为所求图形； （3）解：如图所示，，，， ∴四边形是菱形，， ∴四边形即为所求图形． 24．（12分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期中学情自测·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第19章 二次根式~第21章 四边形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直且平分 D．一组对边平行且相等 3．（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26九年级下·重庆·月考）已知实数，则的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如下图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 10．小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级下·广西南宁·月考）若x，y为实数，且，则_____． 12．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 13．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 14．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 15．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 16．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算： (1)． (2)已知，，求下列代数式的值． 18．（6分）（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若、． (1)求证：平分； (2)已知，，，求的长． 19．（8分）（25-26八年级下·江西赣州·月考）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 20．（8分）（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 21．（10分）（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 22．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 23．（12分）24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个面积为的平行四边形； (2)在图②中，画一个面积为的矩形； (3)在图③中，画一个面积为的菱形． 24．（12分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $