辽宁省名校联盟2025-2026学年高二下学期3月考试数学试卷

高二 数学试 卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 唧 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用模 状 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在某项测疑中，测量结果服从正态分布N(1,4),则P(≤1)= A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.5 2.经过点A(2,1),且与直线4r一3y-2=0平行的直线方程为 A.4x-3y-5=0 B.4x+3y-11=0 龄 C.3x-4y-2=0 D.3x+4y-10=0 3.统计学中，常用的显著性水平a以及对应的分位数如下表所示 a=P(X:≥k)》 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在栓验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得=6.224，则 A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为A与B有关 B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为A与B有关 C.有95%的把握认为A与B有关 D.有99%的把握认为A与B有关 4,如图，在直三棱柱ABCA,BC:中，AC=CC=CB=4,AC⊥CB,且D为AB的中点，C它= 3EB,,则DE的长为 拟 A.25 B.2] C.26 D.5 数学第1页（共4页） 5.如图，在A,B,(,D,E,F六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种推1种植物，相邻两区线所 种植物不同，则不同的种植方案种数为 A.48 B.96 C.120 D.192 6.已知曲线C:√一x√一y=xy,则下列结论错误的是 A,曲线C关于直线y=x对称 B.曲线C关于原点中心对称 C.曲线C的长度为2π D.曲线C有两条对称轴 7某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的痰率为子，分裂为两个细胞的概率为分见有 两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是 A贺 B器 c裙 D.29 ,64 &巴知直线：y一方，4：y=言，椭圆C号+芳=1a>6>0),点P在C上，过点P作PM平行 于l1交l:于点M,过点P作PN平行于l2交l:于点N,若MN的长为定值，则离心率e= A合 B. C.Y①0 D.5 2 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若点P(x,y,z),则下列叙述正确的有 A.点P关于x轴的对称点是P(x,一y,一z)B.点P关于平面yO:的对称点是P2(一xy,x) C.点P关于y轴的对称点是P,(x,一y,z)D.点P关于原点的对称点是P,(一x,一y、一) 10.随机变量X服从参数为n,p的二项分布，即X~B(,p),其概率分布可用下图直地表示，则 P 27 81 256 01234 A.n=5 Bp-i c.b=最 D.D(X)=是 11.已知集合A={(x,y)|x2十y2=},B={(x,y)|(x一a)+（y-b)2=r},且A∩B=i(x1y), (x2y2)},则下列选项正确的是 A.0<a2+b2<2r2 B.a(x-x2)+b(y-yz)=0 C.a2+b =2ax:+2by D.x1x2十yy?=a.x2十by2-ri 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线y=4x2的准线方程是 13.若(1十x)2十(1+x)3+(1+x)+…+(1+x)30+(1+x)1=ao十ax+a2x2+十a:x.则a:= ·(用数字作答) 14.从正2025边形的顶点中任取若干个，使之能作为正n边形的顶点，则H的不同选法共有 种. 数学第2页（共4页} 四、解答重：本题共5小愿，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图.在四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PD⊥底面ABCD,DA=DP=4,AB=2,E为线段AD 的中点. (1)求平面PBE与平面ABE夹角的正弦值： (2)线段PB上是否存在一点M,使得CM⊥BE？若存在，请求出PM;若不存在，请说明理由. 16.(15分) 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个 (1)求恰有1个红球的概率； (2)设3个球中，黑球的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X); (3)当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率。 17.(15分) 设直线1：y=k(x十1)与椭圆x2十2y2=a2(a>0)相交于A,B两个不同的点，与x轴相交于点C, O为坐标原点， 2k2 (1)证明：a2>1+29 (2)若AC=2CB,求△OAB面积取得最大值时的椭圆方程. 数学第3页（共4页） 18.(17分) 已知s与t及x与y的成对数据如下表，且t关于x的回归直线方程为t=2.4s·0.24. 0.10.40.91.62.53.54,9 1 4915253549 -31 46 8 910 y047 9111213 (1)求y关于x的回归直线苏程： (2)由撤点图发现可以用函数模型y=bVx十a拟合y与x的关系，请建立y关于x的回妇方程 (a,6的值精确到0.01)： (3)又得到一组新数据x=64,y=16.7,根据这对数据残差的绝对值的大小判断(1)(2)两个方程 哪个拟合效果更好， 参考数据：m=反，m=号2m,=4可=8,2(m-m)y一列-59,2(m-须2=28. 参考公式：对于一组数据(u:,V),(u2,2),,(4,v.),其回归直线方程为飞=a十4，其中B= 2(4,一(，-动； 一，0÷元-a, 2(4,一)2 19.(17分) 已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点O,该抛物线与双曲线在x轴上有共同的焦点F, 且都经过点M(3,一2√6) (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点P(4,0),交抛物线于A,B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C,求证：存在垂 直于x轴的直线！被圆C截得的弦长为定值，并求出直线！的方程： (3)设G为双曲线的左顶点，Q为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数入（入>0），使得 ∠QFG=λ∠QGF桓成立？若存在，求出λ的值：若不存在，请说明理由， 数学第4页{共4页)高二 ·数学· 叁考爸亲及解折 一、选择题 1.D【解析】服从正态分布N(1,4),由正态分布的对称 还有细胞存活的概率为1-(1一品）°-器放选 性知P(≤1)=0.5.故选D项. A项. 2.A【解析】设与直线4x一3y-2=0平行的直线方程为 y一b= 2℃， 4x-3y十C=0,因为点A(2,1)在直线4x-3y十C=08.D【解析】当P为上顶点时， 所以 1 上，所以4×2-3×1+C=0,解得C=一5，所以所求直 y= 2, 线方程为4x一3y-5=0.故选A项. M(6,名）)，N(-6,名)，MN=2b,当P为右顶点时， 3.C【解析】因为2=6.224，即3.841<2<6.635，所以 在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为A与B 有关或有95%的把握认为A与B有关.故选C项. 4.B【解析】以C为坐标原点，CA,C苏，CC的方向分别 -it, 所以M(受，)，N(受，-)， 为x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 MN=号.由2b=号，猜想a=4b,此时设M(2m,m), 标系， y-m=- 2(x-2m), N(一2n,n),有 则P(2(m一n), y-n=2(x+2m), m十，代入椭圆方程可得4(m二》2+m+n-1,又 a2 62 a=4b,所以(m-n)2+4(m+n)2=4b,此时|MN| 由题意可知A(4,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),C1(0,0, 4),又因为D是AB的中点，所以D的坐标为D(2,2, V√4m+m)+(m-m=2b,则e=￡=166&_ a 46 0),点E满足C1E=3EB,所以E的坐标为E(0,3,4), 从而DE=√22+(2-3)2+4=√2I.故选B项. 压，故选D项. 4 A,BD,CE,F, 二、选择题 A,BD,CF,E, 9.ABD【解析】由空间直角坐标系对称性易知点P关于 5.C【解析】先分组，再种植，共有{A,BE,CF,D,5种分 y轴的对称点是P。(一x,y,一)，C项错误.故选 A,BE,DF,C, ABD项. A,B,CE,DF, 10.BD【解析】由概率分布直观图可知X可以取0,1,2， 组方式，同组种植一种植物，则不同的种植方案种数为 3,4,所以n=4,故A项错误：又P(X=0)=C(1一)= 5×A1=120.故选C项. ,所以D-冬故B项正确；又P(X=3)=G1-p)r 81 6.C【解析】由已知得x∈[-1,1]，y∈[-1,1]，若xy< 3 0,则等式一定不成立，若xy≥0，等式两边平方得1 4X是×京=品，所以6=品，故C项结误；D(X) x2一y=0,即x2+y2=1,故曲线如图所示，则曲线C 的长度为π.故选C项. p1-p)=4×子×是=子，故D项正确，故选 BD项 11.BCD【解析】由题意，作图如下，设N(x1,y),M(x2, y2).对于A项，两圆相交，有0<|OC<2r,即0<a2+ <4r2,A项错误；对于B项，MN⊥OC,MN=(x1 z2,y-y2),OC=(a,6),MN.OC=a(z-z2)+b(y 7.A【解析】一个细胞两次分裂后还有细胞存活的概率 一y2)=0,B项正确；对于C项，将两个圆的方程作差， 为宁×(1一号×号)=品，因此两个细胞两次分裂后 可得MN所在直线的方程为2ax+2by-a2-b=0, 根据点N在该直线上，可得a2+b2=2ax1+2by,C项 ·数学· 参考答案及解析 正确；对于D项，线段MN与线段OC互相平分，于是 (2)假设存在满足题意的点M(x,y,z), 1(x十x2)2=a2, 因为M在线段PB上，有PM=λPB(0≤入≤1)，(8分) x1十x2=a,y1+y2=b,则 两式相加 (y+y2)2=b2, 即(x,y,x-4)=λ(4,2，-4)，所以M(4λ，2λ，4-4)， 得x号+2x1x2+x号十y听+2y1y2+y号=a2十b,由C项 则CM=(4λ，21-2,4-4)， (10分) 及圆的方程得2r2+2x1x2+2y1y2=2ax2十2by2,即 因为CM⊥BE,所以CM·BE=(4,2λ-2,4-4λ)· x1x2十yhy=ax2十by2一2，D项正确.故选BCD项， (-2,-2,0)=-8x-8+4=0,解得=号∈[0,1小， (11分) 即存在满足题意的点M告，号，号），PM=2 (13分) 三、填空题 16.解：(1)设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件A, 12.y=一6【解析】抛物线y=4x2的标准方程为2 (1分) 子，则准线方程为少=一 则P(A)=CgC号63 C3-143 (4分) (2)X的可能取值为0,1,2,3， (5分) 13.4960【解析】a2=C3+C号+C+…+C号1=Cg+C号+ C号+…+C3=C32=4960. P(X=0)=g-1463,P(X=1)=9=105 C 286 14.14【解析】正n边形的n一定是2025的因数，且不 小于3，而2025=3×52，因数有3×5=15个，n不能 prX=2)-e=路P(X=3》-e= C83 C12861 是1，所以满足题意的n有14个。 (9分) 四、解答题 X的分布列为 15.解：(1)因为PD⊥平面ABCD且四边形ABCD为 矩形， 0 2 所以DA,DC,DP两两垂直，以D为坐标原点，直线 101056335 143286143286 DA,DC,DP分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， (10分) E(X (11分) (3)设从袋中任取3个球为一种颜色为事件B, 则P(B)=Cg+C C (13分) 设从袋中任取3个球都为黑色为事件C,则P(C)= C Ci 则B(4,2,0),E(2,0,0),P(0,0,4),C(0,2,0),PE 则所求概率P(CB)= (15分) (2,0,-4),PB=(4,2,-4). (2分) C8+C11 设平面PBE的法向量为m=(x,y,之)， |y=(x+1), 17.（(1)证明：联立直线与椭圆方程 1m·PE=2x-4z=0, x2+2y2=a2, 则 令之=1，得x=2,y= m·PB=4x+2y-4z=0, 消y得(1+22)x2+4k2x十22-a2=0, (3分) -2,则m=(2,-2,1). (4分) △=16k-4(2k2-a2)(2k2+1)>0,即2a2k2+a2-2k 因为PD⊥平面ABE, 2k2 (6分) 所以平面ABE的一个法向量为n=(0,0,1). (5分) >0,所以a2>1+2 设平面PBE与平面ABE的夹角为O, (2)解：C(-1,0),设A(x1y),B(x2,y2), (7分) 因为AC=2CB,所以(-1-x1,-y)=2(x2+1,y2), (6分) 可以得到 |x1=-2x2-3, (8分) 所以sin0=1-cos20= 9,所以sin0=2 h=-2y2, 3 一4k2 由(1)知1+2=1+2，则x2=1十2%2,32 所以平面PBE与平面ABE夹角的正弦值为 3 一2k 1+2k2: (10分) (7分) ·2· 高二 ·数学· Sw=号X1Xn|= 3k1 y2= |√12+(-2√6)2-√W52+(-2√6)2|=2， 1+2k2 所以a=1,b2=c2-a2=3, (4分) (12分) +2列1 1 4 故双曲线的标准方程为2-苦-1， (5分) (2)由题意得AP的中点为C,设1的方程为x=n,以 当且仅当112时等号成立，此时=一2，% 线段AP为直径的圆C交l于D,E两点，DE的中点 达② ,则a2=5, (14分) 为H,则CH⊥L 所以△OAB面积取得最大值时的椭圆方程为x2十2y=5. 设A),则C(色主，学)，D(,),=, (15分) 18.解：(1)由表中数据得x=10s,y=t+3, H(x,),且=8a, 则s=最t=y-3, (3分) 则DC1=合1AP1=号Va-+7,1CH1- 又t关于s的回归直线方程为t=2.4s十0.24， 则-3=2.4×0+0,24， 即y关于x的回归直线方程为y=0.24x十3.24. 因为△CHD为直角三角形，且∠CHD=受， (6分) 所以|DC2=|CHI2+|DHI2, (2)若用函数模型y=b√E+a拟合y与x的关系，则 所以1DH=DC-CH2=[(,-4)2+]- 令m=√元，此时y=bm+a, 是(a-2:十40=(-2)函-7+4， (8分) 则6=含mm励y-习59 28,a=- 3 2(m-m) 7 (9分) 显然当n=2时，|DH2=一4+8=4， i=1 所以弦长|DE=2|DH=4为定值. (10分) 即-8m-号≈2.1m-0,48, 3 故存在垂直于x轴的直线I(即直线DE),被圆C截得 的弦长为定值，直线L的方程为x=2. (11分) 又m=√元，所以y关于x的回归方程为y=2.11√元 (3)因为G为双曲线的左顶点，所以G(一1,0)， 0.43. (12分) 又Q为第一象限内双曲线上的任意一点， (3)(1)中y关于x的回归直线方程为y=0.24x十 3.24, 当QF与x轴垂直时，Q(2,3),此时∠QFG=乏， 所以当x=64时，y=0.24×64十3.24=18.6，(13分) 又直线QG的斜率为1， 残差为16.7一18.6=一1.9， (14分) (2)中y关于x的回归方程为y=2.11√元-0.43， 所以∠QGF=交，所以X=2, 所以当x=64时，y=2.11×8-0.43=16.45,(15分) 所以若存在满足题意的入，必有入=2. (13分) 残差为16.7-16.45=0.25， (16分) 设Q(x,y%)(x>1)为第一象限内双曲线上的任意一 因为10.25|<|-1.9|， 点，则y=3x6-3,QF1=√(x-2)+y话=2x-1, 所以(2)中方程的拟合效果更好. (17分) 19.解：(1)设抛物线的方程为y2=2px(p>0), GF的中点为I(分0），作1N垂直于x轴，交QG于 将点M(3,一2√6)代入抛物线方程，得p=4,(1分) 点N,则∠GFN=∠QGF, (14分) 所以抛物线的方程为y2=8x. (2分) 设双面线的标准方程为后一苦-1a>0,>0, 具8器=所以=别=云 IGFL·|FNIsin∠GFN 3sin∠GFN 因为抛物线的焦点坐标为F(2,0),双曲线与抛物线在 QF·FNIsinZQFN-(2x。-1)sin∠QFN' x轴上有共同的焦点， 则sin∠QFN=sin∠GFN,所以∠QFN=∠GFN, 则双曲线的右焦点坐标为F(2,0),则另一个焦点坐标 (15分) F1(-2,0),故c=2, (3分) 所以∠QFN=∠GFN=∠QGF, 又M(3,一2√6)在双曲线上， 所以∠QFG=2∠QGF,即λ=2. 根据双曲线的定义知2a=||MF|一|MF||= 综上，存在满足题意的入，且λ=2. (17分) ·3· 高二数学多维度细目表 学科素养 能力要求 预估难度 数 接受、 分析 数 数 吸收、 问题 逻 题号 题型 分值 考查的内容及知识点 探 辑 学 算 观想 与 整合 和解 究 档 数学 学问 能 次 数 理 象 模 据 信息的 能力 题 力 分 能力 析 选择题 正态分布 低 0.85 选择题 5 直线平行 低 0.85 3 选择题 独立性检验 低 0.85 选择题 空间几何体中的线段长度 低 0.85 5 选择题 5 排列组合中的涂色 / 低 0.75 6 选择题 曲线与方程 低 0.75 > 选择题 全概率 中 0.65 8 选择题 椭圆离心率 中 0.35 选择题 6 空间直角坐标系点的坐标 低 0.85 10 选择题 6 二项分布 低 0.75 11 选择题 6 圆与圆位置关系 √ L 中 0.55 12 填空题 5 抛物线准线 低 0.85 13 填空题 5 二项式定理 低 0.65 14 填空题 5 分步计数原理 高 0.35 15 解答题 13 空间向量解决立体几何问题 低 0.85 6 解答题 的 超几何分布，条件概率 低 0.65 17 解答题 15 直线与椭圆弦长 中 0.55 18 解答题 17 回归直线 中 0.55 19 解答题 17 抛物线与双曲线定点定值 高 0.35 1.思维能力考查：设置了一些需要学生进行逻辑推理、归纳论证的试题，如第17题的证明，第19题对特殊情 命 形的猜想等，考查学生的逻辑思维能力和演绎推理能力， 2.数学思想方法的渗透：在命题过程中，注重对数学思想方法的考查，如第14题转化与化归思想等.通过具 报 体的试题，让学生在解题过程中体会和运用这些思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力 告 3.情境创设：第18题，充分挖掘生活中的数学素材，将实际问题抽象为数学模型，引导学生运用所学数学知 识进行分析、求解，培养学生的数学建模能力和应用意识.