第二十一章 四边形（考情分析+知识点精讲+解题方法技巧+2025真题精练） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 📈 考情深度剖析（数据驱动、趋势明确） 1 （一）高频考点 1 （二）命题趋势 1 （三）分值分析 2 （四）考生备考建议 2 📖 知识点精讲精析（法则解析+示例+易错陷阱） 3 （一）四边形的基本概念 3 （二）平行四边形 4 （三）矩形 6 （四）菱形 7 （五）正方形 9 （六）梯形 11 💡 核心解题方法技巧提炼（策略导向、高效解题） 13 （一）特殊四边形判定技巧 13 （二）边长与面积计算技巧 14 （三）辅助线构造技巧 15 （四）数形结合与综合应用技巧 16 🔖 中考真题精粹集训（精选2025真题，覆盖考向） 17 选择题 17 填空题 19 综合探究 20 参考答案及解析 25 📈 考情深度剖析（数据驱动、趋势明确） （一）高频考点 1．平行四边形的性质与判定：★★★★★ 近3年全国中考覆盖率达98%，2025年单题考查率较上年提升2个百分点。题型以选择题、填空题、解答题为主（解答题占比42%），单题分值3-8分。核心考查平行四边形边、角、对角线的性质，以及两组对边平行/相等、对角线互相平分等判定定理，2025年结合三角形全等的综合判定题型占比显著上升。 2．矩形、菱形、正方形的性质与判定：★★★★★ 近3年覆盖率96%，2025年解答题占比达50%，单题分值4-10分。核心考查特殊平行四边形的特有性质（矩形的直角与对角线相等、菱形的邻边相等与对角线垂直、正方形的双重性质），以及“平行四边形+特殊条件”的判定方法，2025年三者的综合辨析题成为命题热点。 3．特殊四边形的边长、周长与面积计算：★★★★☆ 近3年考查占比92%，题型全覆盖，单题分值3-6分。核心考查利用性质转化线段关系、结合勾股定理计算边长，以及面积的多种求解方法（底乘高、对角线乘积的一半等），2025年结合折叠、旋转的面积计算题型增加。 4．梯形的相关计算（含直角梯形、等腰梯形）：★★★☆☆ 近3年考查占比75%，以选择题、填空题为主，单题分值3-4分。核心考查等腰梯形的边、角、对角线性质，以及梯形面积公式（上底+下底）×高÷2的应用，2025年与平行四边形结合的梯形转化题型有所涉及。 （二）命题趋势 1．基础概念精准化，易混概念强化考查 2025年多地真题显示，基础题占比72%，但失分率集中于特殊四边形的概念辨析，如“矩形与菱形的判定条件混淆”“正方形与菱形的性质区分”失分率均超40%。预计2026年仍将延续这一导向，增加“概念正误判断”“性质匹配”题型。 2．知识融合深度化，跨模块联系紧密 2025年“单一考点题”占比降至25%，综合题以“四边形+三角形全等+勾股定理”为主流。结合2025年考情调整（非选择题占比升至60%），2026年预测增加四边形与函数、坐标系的融合题，如“在平面直角坐标系中判定特殊四边形并求点的坐标”。 3．情境创设实用化，几何建模能力凸显 2025年应用题占比提升至20%，涵盖生活实践场景，如“晾衣架的平行四边形稳定性”“正方形地砖的拼接”“梯形水渠的面积计算”等。2026年预计新增“校园宣传栏的图形设计”“折叠矩形纸片的边长求解”等场景题，考查几何建模与实际应用能力。 4．核心素养显性化，思想方法贯穿始终 2025年规律探索题占比升至12%，“特殊四边形的性质拓展”考查归纳思想；“折叠问题求解”强化转化思想。2026年预测分类讨论思想考查增加（如不确定四边形类型的判定、多解的边长计算），同时动态几何题（如动点在四边形边上的性质探究）可能成为新考点，考查逻辑推理与数形结合能力。 （三）分值分析 1．选择题/填空题：3-4分/题，通常3-4题，累计9-16分，以基础性质、判定和简单计算为主。 2．解答题：分基础证明（4-6分）与综合计算证明（8-10分）两类，特殊四边形的判定与性质综合应用为解答题高频考点。 3．全章四边形相关内容占中考数学总分的6%-8%左右，是几何板块的核心考查内容之一，与三角形知识结合紧密。 （四）考生备考建议 1．靶向突破基础易错点：针对2025年高频错误，整理“特殊四边形核心对比表”（边、角、对角线性质+判定定理），强化易混概念的区分，如“对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形”。 2．强化定理应用训练：梳理“一般四边形→平行四边形→特殊平行四边形”的判定逻辑链，总结“性质用边/角/对角线，判定找条件凑定理”的解题思路，结合三角形全等强化证明书写规范。 3．掌握核心计算方法：熟记特殊四边形的周长、面积公式，重点训练“勾股定理求边长”“对角线求面积”“折叠问题中找相等线段/角”的计算技巧，提升几何计算的准确性。 4．积累综合解题经验：整理2025年折叠、旋转、动态几何类真题，归纳“作辅助线（平行线、对角线、高）→转化图形→利用性质求解”的流程，建立错题本分类标注“概念混淆”“判定漏条件”“计算失误”等典型问题。 📖 知识点精讲精析（法则解析+示例+易错陷阱） （一）四边形的基本概念 法则解析 1．由四条线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形叫做四边形，记为四边形，其中相邻两边的交点为顶点，相对的边为对边，相对的角为对角，连接不相邻顶点的线段为对角线。 2．四边形的内角和为，外角和为（任意多边形外角和均为）。 3．四边形的分类： （平行四边形、梯形）→平行四边形又分为矩形、菱形、正方形，梯形分为直角梯形、等腰梯形。 示例 求一个四边形中，三个内角分别为、、，求第四个内角的度数。 【解析】由四边形内角和为，得第四个内角。 易错点 1．忽略四边形的“封闭性”，认为四条线段随意连接即为四边形； 2．混淆四边形的内角和与三角形内角和，误将四边形内角和记为； 3．分不清四边形的对边、对角与邻边、邻角，导致性质应用错误。 （二）平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作，读作“平行四边形”。 2. 性质（边、角、对角线、对称性） 类别 具体性质 边 对边平行且相等，即，；， 角 对角相等，邻角互补，即，； 对角线 互相平分，即，（、交于点） 对称性 中心对称图形，对称中心为对角线的交点，无对称轴 3. 判定定理（满足其一即可判定为平行四边形） 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）； 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4．两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5．对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4. 周长与面积公式 1．周长：（、为平行四边形的一组邻边长）； 2．面积：（底与高必须互相垂直，即一边为底，这边上的垂线段为高）。 示例 例1：在中，，，，求、的长及、的度数。 【解析】由平行四边形对边相等、对角相等，得，，； 由邻角互补，得。 例2：已知四边形中，、交于点，，，求证：四边形是平行四边形。 证明：∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 易错点 1．应用性质时忽略“对边/对角”，误将邻边相等、邻角相等当作平行四边形性质； 2．判定时漏条件，如“一组对边平行”或“一组对边相等”单独不能判定平行四边形，必须“平行且相等”； 3．计算面积时，用邻边相乘代替“底×高”，忽略高的定义（如将斜边当作高）。 （三）矩形 1. 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。 2. 性质（平行四边形性质+特有性质） 类别 平行四边形通性 矩形特有性质 边 对边平行且相等 无特有性质 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角（） 对角线 互相平分 对角线相等（） 对称性 中心对称图形 既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴（对边中点连线所在直线） 3. 判定定理（满足其一即可判定为矩形） 判定思路：先证是平行四边形，再证有特殊条件（直角/对角线相等） 1．有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）； 2．对角线相等的平行四边形是矩形； 直接判定（适用于任意四边形） 3．三个角都是直角的四边形是矩形。 4. 周长与面积公式 1．周长：（、为矩形的长和宽）； 2．面积：（矩形的邻边互相垂直，故邻边可直接作为底和高）。 示例 例1：在矩形中，，，求的长及对角线的长。 【解析】∵矩形的四个角都是直角，∴为直角三角形， 由勾股定理得； 由矩形对角线相等，得。 例2：已知中，对角线，求证：是矩形。 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 易错点 1．判定时漏“平行四边形”前提，如误将“对角线相等的四边形是矩形”当作定理（实际是“对角线相等的平行四边形是矩形”）； 2．混淆矩形与平行四边形的对称性，认为矩形只有中心对称，忽略其2条对称轴； 3．利用对角线计算时，忘记矩形对角线相等且互相平分，如误将对角线的一半当作整条对角线。 （四）菱形 1. 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。 2. 性质（平行四边形性质+特有性质） 类别 平行四边形通性 菱形特有性质 边 对边平行且相等 四条边都相等（） 角 对角相等，邻角互补 无特有性质 对角线 互相平分 对角线互相垂直，且平分一组对角（，平分、） 对称性 中心对称图形 既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴（对角线所在直线） 3. 判定定理（满足其一即可判定为菱形） 判定思路：先证是平行四边形，再证有特殊条件（邻边相等/对角线垂直） 1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义判定）； 2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 直接判定（适用于任意四边形） 3．四条边都相等的四边形是菱形。 4. 周长与面积公式 1．周长：（为菱形的边长，四条边相等）； 2．面积：①（平行四边形面积公式通用）；②（、为菱形的两条对角线，核心公式）。 示例 例1：在菱形中，边长，对角线，求对角线的长及菱形的面积。 【解析】∵菱形对角线互相垂直且平分，∴，， 在中，， ∴； 菱形面积。 例2：已知四边形中，，求证：四边形是菱形。 证明：∵，即四条边都相等， ∴四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）。 易错点 1．判定时漏“平行四边形”前提，如误将“对角线互相垂直的四边形是菱形”当作定理（实际是“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”）； 2．计算面积时，忘记菱形的对角线面积公式，仅用底乘高导致计算复杂； 3．忽略菱形对角线平分一组对角的性质，在角度计算时无法利用角的等量关系。 （五）正方形 1. 定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，具有矩形、菱形的所有性质（双重性质）。 2. 性质（矩形性质+菱形性质，无额外特有性质） 类别 具体性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 互相平分、相等、垂直，且平分一组对角（集平行四边形、矩形、菱形对角线性质于一体） 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴（对边中点连线+对角线所在直线） 3. 判定定理（满足其一即可判定为正方形） 判定思路：先证平行四边形→再证矩形/菱形→最后证菱形/矩形（即兼具矩形和菱形的条件） 1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义判定）； 2．有一组邻边相等的矩形是正方形； 3．有一个角是直角的菱形是正方形； 4．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 4. 周长与面积公式 1．周长：（为正方形的边长）； 2．面积：①（边长的平方）；②（为正方形的对角线，由对角线垂直且相等推导）。 示例 例1：在正方形中，对角线，求正方形的边长及面积。 【解析】设正方形边长为，∵正方形对角线与两边构成等腰直角三角形， 由勾股定理得，即， 解得（边长为正）； 面积（或）。 例2：已知是矩形，且，求证：是正方形。 证明：∵四边形是矩形，∴有一个角是直角， 又∵，即有一组邻边相等， ∴矩形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 易错点 1．判定时思路混乱，未遵循“平行四边形→矩形/菱形→正方形”的逻辑，直接用单一条件判定； 2．混淆正方形与矩形、菱形的对称轴数量，认为正方形只有2条对称轴； 3．利用对角线计算边长时，忘记正方形对角线是边长的倍，导致勾股定理应用错误。 （六）梯形 1. 基本概念 1．只有一组对边平行的四边形叫做梯形，平行的两边叫做底（较长的为下底，较短的为上底），不平行的两边叫做腰，两底之间的垂线段叫做高。 2．特殊梯形： 直角梯形：有一个角是直角的梯形（一腰与底垂直，该腰即为高）； 等腰梯形：两腰相等的梯形。 2. 等腰梯形的性质 1．边：两腰相等，两底平行； 2．角：同一底上的两个角相等（，），邻角互补； 3．对角线：两条对角线相等（）； 4．对称性：轴对称图形，有1条对称轴（两底中点连线所在直线），无中心对称性。 3. 等腰梯形的判定定理 1．两腰相等的梯形是等腰梯形（定义判定）； 2．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 3．对角线相等的梯形是等腰梯形。 4. 梯形的周长与面积公式 1．周长：（直角梯形/等腰梯形依此代入）； 2．面积：（为上底，为下底，为高，所有梯形通用，包括直角梯形、等腰梯形）。 示例 例1：在等腰梯形中，，，，腰，求梯形的高及面积。 【解析】过、分别作于，于，则为高，， ∵等腰梯形两腰相等，∴， 在中，高， 梯形面积。 例2：已知梯形中，，，求证：梯形是等腰梯形。 证明：∵，，即同一底上的两个角相等， ∴梯形是等腰梯形（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）。 易错点 1．混淆梯形的定义，认为“有一组对边平行的四边形是梯形”（实际是“只有一组对边平行”，平行四边形有两组对边平行，不是梯形）； 2．等腰梯形性质应用错误，认为“所有角相等”（实际是同一底上的角相等）； 3．计算梯形面积时，误将腰长当作高（只有直角梯形的垂直腰才是高）。 💡 核心解题方法技巧提炼（策略导向、高效解题） （一）特殊四边形判定技巧 1. 分层判定法（核心方法，适用于所有特殊四边形） 第一步：判断是否为平行四边形（用平行四边形5个判定定理）； 第二步：若为平行四边形，再判断特殊类型： 有直角/对角线相等→矩形； 邻边相等/对角线垂直→菱形； 邻边相等且有直角/对角线垂直且相等→正方形； 第三步：若不是平行四边形，判断是否为梯形→再判断是直角梯形还是等腰梯形。 2. 条件匹配法 根据题目给出的条件，直接匹配对应判定定理，快速锁定图形类型： 给“边平行/相等”→优先考虑平行四边形； 给“直角”→优先考虑矩形、直角梯形； 给“邻边相等”→优先考虑菱形； 给“对角线垂直/相等”→优先考虑菱形/矩形/正方形； 给“梯形+角相等/对角线相等”→优先考虑等腰梯形。 示例 已知四边形中，，，，判定四边形的类型。 【解析】第一步：∵且，∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 第二步：∵平行四边形中，∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 （二）边长与面积计算技巧 1. 勾股定理融合法 特殊四边形中，遇边长计算，优先构造直角三角形（利用矩形的直角、菱形/正方形的对角线垂直、梯形的高），结合勾股定理求解，核心场景： 矩形：对角线与邻边构成直角三角形； 菱形/正方形：对角线互相垂直平分，构成四个全等的直角三角形； 等腰梯形：作高后，腰、高与底的一部分构成直角三角形。 2. 面积多解法 根据题目条件，灵活选择面积公式，避免计算复杂，核心选择原则： 平行四边形/矩形：已知底和高→用底×高； 菱形/正方形：已知对角线→优先用；已知边长和高→用底×高； 梯形：无论何种类型，均用，关键是作高求高的长度。 示例 在菱形中，对角线，，求菱形的边长和面积。 【解析】面积用对角线公式：； 边长用勾股定理：∵对角线互相垂直平分，∴边长。 （三）辅助线构造技巧 1. 平行四边形/特殊平行四边形辅助线 连接对角线：将四边形转化为两个三角形，利用三角形全等证明性质/判定，或利用三角形三边关系计算； 作平行线：过顶点作对边的平行线，构造新的平行四边形，转化线段关系。 2. 梯形辅助线（三字诀：作、平、延） 1．作：作高（过梯形上底两个顶点作下底的垂线），将梯形转化为直角三角形+矩形，适用于所有梯形的高和边长计算； 2．平：平移腰/对角线，平移腰将梯形转化为三角形+平行四边形，平移对角线将梯形转化为三角形，适用于等腰梯形的角和对角线计算； 3．延：延长两腰交于一点，构造等腰三角形，适用于等腰梯形的角度推导。 示例 在梯形中，，，，，求证：梯形是等腰梯形并求高。 【解析】平移对角线：过作交的延长线于， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∴，又∵，，∴是等腰三角形； 作于，则，高； ∵，∴梯形是等腰梯形（对角线相等的梯形是等腰梯形）。 （四）数形结合与综合应用技巧 1. 坐标系中的四边形问题 在平面直角坐标系中，判定特殊四边形并求点的坐标，核心步骤： 1．求线段长度：利用两点间距离公式，求四边形的边长、对角线长度； 2．判断平行/垂直：利用斜率判断（斜率相等则平行，斜率乘积为-1则垂直），或利用横坐标/纵坐标的关系判断平行； 3．匹配判定定理：根据边长、对角线、平行/垂直关系，匹配特殊四边形的判定定理。 2. 折叠/旋转中的四边形问题 折叠、旋转前后图形的形状、大小不变，核心是找相等的线段、相等的角，步骤： 1．标注相等量：将折叠/旋转后的相等边、角在图中标注，明确等量关系； 2．构造特殊图形：利用相等量构造平行四边形、矩形、菱形等，或构造直角三角形； 3．结合性质求解：利用特殊四边形的性质和勾股定理，计算边长、面积等。 示例 将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，，求的长。 【解析】∵矩形折叠，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 设，则，在中，由勾股定理得： ，即， 解得，即。 🔖 中考真题精粹集训（精选2025真题，覆盖考向） 选择题 1． （2025•北京）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（　　） A．60 B．90 C．120 D．150 2． （2025•绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（　　） A．25 B．25 C．25 D．50 3． （2025•湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2） 4． （2025•湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 5． （2025•德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　） A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠B＝∠D D．AC＝BD 6． （2025•云南）一个六边形的内角和等于（　　） A．360° B．540° C．720° D．900° 7． （2025•遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 8． （2025•凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（　　）条对角线． A．6 B．7 C． 8 D．9 9． （2025•泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 10． （2025•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 填空题 11． （2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝ 　 　 ． 12． （2025•北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　 　 ． 13． （2025•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　 　 ，使平行四边形ABCD为菱形． 14． （2025•吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　 　 度． 15． （2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　 　 ． 综合探究 16． （2025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）AC的长为 　 　 ． （2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围． （3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 17． （2025•内蒙古）如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6． （1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M． ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； （2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长． 18． （2025•深圳）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，AC＝AD，∠D＝∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD＝CD，∠D＝∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为：　 　 ；②AC2　 　 AD•BC．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【方法应用】①如图4，在△ABC中，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，cosB，AB＝5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由． 19． （2025•广西）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）． 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPO的平面图如图2所示，P在AD上，MN＝3m，AN＝1m，AP＝2m，AB＝3m，BC＝2.5m．由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPO也随之移动（MN始终在AB边所在直线1．且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为▱MNPQ移动到P落在BC上的情形． 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPO的位置． 设遮阳区的面积为S m2，▱MNPQ从初始时向右移动的距离为x m． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果） 参考答案及解析 1．【答案】C 【解析】六边形内角和公式为（），则内角和为。因六边形每个内角相等，故。 2．【答案】B 【解析】矩形对角线相等且互相平分，故半对角线长为。对角线交角为，形成的三角形为两边长5、夹角的等边三角形，故矩形一边长为5。由勾股定理得另一边长为，面积为。 3．【答案】C 【解析】平行四边形对角线互相平分且交点为原点，故点与点关于原点对称。关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，已知，则。 4．【答案】C 【解析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故四边形为菱形，菱形四条边相等。已知，则周长为。 5．【答案】D 【解析】矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。选项A是平行四边形的固有性质，选项B能判定为菱形，选项C是平行四边形的固有性质，均不符合题意。 6．【答案】C 【解析】多边形内角和公式为，六边形，故内角和为。 7．【答案】A 【解析】多边形外角和恒为，由题意内角和为。设边数为，则，解得。 8．【答案】B 【解析】设多边形边数为，由内角和是外角和4倍得，解得。从边形一个顶点引对角线的条数为，故条。 9．【答案】A 【解析】矩形对角线相等且互相平分，菱形对角线互相垂直且平分，两者对角均相等。故矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等。 10．【答案】C 【解析】正方形边长为4，为中点，则。在中，。由，，得，故。由相似比，得。面积为。 11．【答案】 【解析】五边形内角和为。已知、、，则。 12．【答案】 【解析】过作、，垂足为、，则四边形为矩形，。，，，故。在中，，得，则。面积为。 13．【答案】（答案不唯一） 【解析】菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，或一组邻边相等的平行四边形是菱形，故可添加条件或等。 14．【答案】36 【解析】正五边形每个内角为，则，。在中，。 15．【答案】 【解析】菱形对角线互相垂直平分，，则。在中，。为中点，，则，，得，。，则，故。 16．【答案】(1)7； (2)；(3)6 【解析】(1)当与重合时，为等腰直角三角形，，得。由勾股定理得，故。 (2)当时，重叠部分为等腰直角三角形，面积；当时，重叠部分为多边形，通过割补法得。 (3)正方形对称中心为对角线中点，当与重合时，，由勾股定理得，故。 17．【答案】(1)①；②；(2) 【解析】(1)①由折叠得，，又，故，得。 ②由全等得，过作，则。，得，，面积为。 (2)折叠后，证明得，由，得，解得。 18．【答案】【问题解决】①平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【解析】【问题解决】①由等腰三角形性质得，故；②证明，得，又，故。 【方法应用】①由旋转得，，，符合双等四边形定义；②分三种情况讨论，结合等腰三角形性质和相似三角形求解，得的三个可能值。 19．【答案】(1)逐渐增大；(2)，；(3)；(4) 【解析】(1)初始时遮阳区面积为0，右移过程中重叠部分扩大，故随增大而增大。 (2)右移至在上时，，遮阳区为梯形，面积。 (3)设相关线段长度，利用平移性质和梯形面积公式推导，得（）。 (4)结合函数解析式求最值，当时，遮阳区面积最大。 1 学科网（北京）股份有限公司 $