精品解析：广东江门市新会区正雅学校2025—2026学年八年级第二学期数学期初考A卷

2025－2026学年第二学期 八年级期初核心素养训练A 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分 1. 人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是( ) A. 且 B. C. D. 且 4. 下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 10. 现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为，将用科学记数法表示为______． 12. 如图，在□ABCD中，∠A＝72°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝_____°． 13. 已知 ，那么的值为____________ 14. 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 15. “杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如下所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式： 请你猜想展开式的第三项的系数是______________． 三、解答题（一）：共3小题，每小题6分，共18分 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． （1）的面积为 ； （2）画出关于直线l的轴对称图形； （3）在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（二）：共4小题，每小题7分，共28分． 19. 如图，点D在的边上． （1）利用直尺和圆规过点B作的平行线，交的延长线于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若是边上的高，判断的形状，并说明理由． 20. 如图，在平行四边形中，相交于O，交于E点． （1）求证：平分； （2）若平行四边形的周长为20，求的周长． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 22. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空：( )2， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 五、解答题（三）：第23，24小题每小题9分，第25题11分，共29分． 23. 【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 24. 【阅读】小芳在学习了全等三角形后，她尝试用三种不同的方式摆放一副三角板．在中，；在中，． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠的摆放在一起，的顶点B在边上，过点A作，过点C作，垂足分别为，若，则 ； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，的顶点B在边上，顶点A在边上，过点C作，垂足为P，猜想之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，的顶点A在边上，顶点B在边上，若，连接，求的面积． 25. （1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期 八年级期初核心素养训练A 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分 1. 人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据已知两边长和，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边x需满足：， 即． 只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是( ) A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以得到且，即可得到x的取值范围． 【详解】由题意得：且，解得且， 故选：D． 【点睛】此题考查分式有意义的条件，分式有意义时需使分母不等于0，但是这里的分子是二次根式，还需使二次根式的被开方数大于等于0，即使分子有意义，分母不等于0． 4. 下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．平行四边形对角线互相平分，即，，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意； B．平行四边形对边相等，即，，只有平行四边形是菱形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意； C．因为四边形是平行四边形，所以，根据两直线平行，内错角相等，可得，该选项正确，符合题意； D．平行四边形邻角互补，即，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意； 故选：C ． 6. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 8. 如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积可得到结果，正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ∴， 故选：D． 9. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 10. 现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，先求出，设运动时间为秒，则，，，然后分当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴乙机器人的运动速度为； 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴乙机器人的运动速度为； 故选：． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000102=1.02×10-7， 故答案为：1.02×10-7． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 如图，在□ABCD中，∠A＝72°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝_____°． 【答案】18 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD中，易得∠BCD＝∠A＝70°，又因为DB＝DC，所以∠DBC＝∠DCB＝70°；再根据CE⊥BD，可得∠BCE＝20°． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝72°， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝70°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝18°． 故答案为：18°． 【点睛】本题主要考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等． 13. 已知 ，那么的值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．将转化为 ，利用同底数幂相乘法则，结合已知条件求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：9． 14. 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. “杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如下所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式： 请你猜想展开式的第三项的系数是______________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，观察可知，的第三项的系数为1，的第三项的系数为，的第三项的系数为，进而得出规律，进行求解即可． 【详解】解：的第三项的系数为1， 的第三项的系数为， 的第三项的系数为， ， ∴的第三项的系数为：， ∴展开式的第三项的系数是． 三、解答题（一）：共3小题，每小题6分，共18分 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先运用完全平方公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把计算括号内的分式加法，再把被除数分子，除数分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． （1）的面积为 ； （2）画出关于直线l的轴对称图形； （3）在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：即为所求作； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求作， 关于直线对称， , 当点三点共线时，的值最小，即． 四、解答题（二）：共4小题，每小题7分，共28分． 19. 如图，点D在的边上． （1）利用直尺和圆规过点B作的平行线，交的延长线于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若是边上的高，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）是等腰三角形，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据“同位角相等，两直线平行”尺规作一个角等于已知角即可； （2）由是边上的高，根据“三线合一”可证明，根据可得，进而得即可证明结论． 【小问1详解】 解：延长，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线，边于，，以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，作直线，交射线于，直线即为所求作的； 【小问2详解】 解：是等腰三角形， 理由：是边上的高， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 20. 如图，在平行四边形中，相交于O，交于E点． （1）求证：平分； （2）若平行四边形的周长为20，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质证得，，进而证得即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而推导出的周长为即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平行四边形的周长为20， ∴， ∵， ∴的周长为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 22. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空：( )2， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 五、解答题（三）：第23，24小题每小题9分，第25题11分，共29分． 23. 【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为  解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 24. 【阅读】小芳在学习了全等三角形后，她尝试用三种不同的方式摆放一副三角板．在中，；在中，． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠的摆放在一起，的顶点B在边上，过点A作，过点C作，垂足分别为，若，则 ； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，的顶点B在边上，顶点A在边上，过点C作，垂足为P，猜想之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，的顶点A在边上，顶点B在边上，若，连接，求的面积． 【答案】（1）11；（2），理由见解析；（3）21 【解析】 【分析】（）证明得，进而得出结果； （2）由“”可证，从而得出，，进一步得出结论； （3）同（2）得，根据勾股定理求出，利用三角形面积公式分别求出，，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （）解：如图，过点作，交延长线于点， 同（2）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 25. （1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证出，根据证明； （2）在上取点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）作， 使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点在线段上时，的值最小，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明:∵和都是等边三角形， ∴，, ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）证明: 在上取点，使得，连接， ∵和都是等边三角形. ∴，，， ∴是等边三角形, ∴，， ∵是等边三角形, ∴，， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点, 点为的中点, ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴点为的中点； （3）作，使，连接， ∵是等边三角形, ∴ ，， ∴， ， ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时， 的值最小， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $