第9章分式(重难题思维训练)（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

第9章分式 9.2分式的运算 2分式的加减 题型10与分式运算相关的材料阅读 1.阅读与思考：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一.“倒数法”，即把式 子变成其倒数形式，从而运用约分、化简，以达到计算求值的目的， 例如：者，求代数式x+的值。 解：因为，”12所以牛1-2所以+=2，所以x十2 [知识运用]根据上面的方法，解决下列问题： 2x3 （1)若年1一号则代数式x+的值为 ②)已知-x+2求x+是 1 和x+2z+的值. 2.定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A一B=AB,则称分式B是分式A的“可 1 11 存分式”，例如，与，因为十1十2z十D十27十十2 C中十所以分式，2是分式的可存异分式 ①填空：①分式2 —(填“是”或“不是”)分式x十3的“可存异分式”： ②分式，二4的“可存异分式”是 (②)已知分式十是分式A的“可存异分式” ①求分式A. ②当整数x为何值时，分式A的值是正整数？写出此时分式A的值 第9章分式11 9.3分式方程 题型1与分式方程的解有关的参数问题 圆(2025·准南期未)若关于x的方程二”十 2m=2的解为正数，则m的取值范围是（） x-1 1-x A.m<3 2 B.m> 3 Cm<号且m≠号 Dm<号且m≠0 ⊙【变式1】(2025·合思四十二中期未)已知关于x的方程a工= 2 x-1x-7+1. 高 (1)若a=3,则方程的解是 题 (2)若方程无解，则a的值是 【变式2】已知关于x的分式方程+a-7 =1 x一3x (1)若方程的增根为x=3,求a的值； (2)若方程无解，求a的值. 【变式3】已知关于x的一元一次不等式组 3-x<x 3,@ 的解集为x>2,且关于y x-a>-2② 的分式方程y-5 4 y-33-y =1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（) A.8 B.24 C.14 D.28 压⊙【变式4】使等式x+3=1+3成立的x的值为1或3，使等式x十3 成立的 3 2 =2十 轴 x的值为2或使等式x+2=4十成立的x的值为4或是 3 题 根据上述材料，回答下列问题： )使等式x十二=2十成立的x的值为■ 5 (2)使等式m+ 7-2m28 成立的m的值为 m-23 12数学7年级下册HK版 压⊙ 【变式5】我们把形如工十b-a十b(a,b不为0)，且两个解分别为工1=a,x,=b的 轴 题 方程称为“十字分式方程”. 例如，x十3=4为十字分式方程”，可化为x+1X3=1十3， 所以x1=1,x2=3. 再如x -一6为十字分式方程”，可化为工十《一2)X(一)=（一2)十(-4D. 8 x 所以x1=一2，x2=-4. 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若工十6=-5为“十字分式方程，则x1= ℃2= (2)若“十字分式方程z-5=一2的两个解分别为工1=m,=1,求”+”的值： 2 m (3)若关于x的“十字分式方程”x一 2k2+3k x一2 =一-1的两个解分别为工1x(k>0, x1>x),求21-2 x2+1的值 第9章分式13(2)设【6,9】=x,【6,5】=y,则6=9,6'=5， 所以6+y=6·6=9×5=45, 所以【6,45】=x+y,即【6,45】=【6,9】+【6,5】， 所以【6,45】-【6,9】=【6,5】. 8.3完全平方公式与平方差公式 题型8乘法公式在儿何面积中的应用 【例】A【变式1】C 【变式2】B 【解析】设甲正方形纸片的边长为x,乙正方形纸片的边长 为y,则AD=x,EF=y,AE=x十y=8, 所以(x十y)2=64. 因为题图2中阴影部分的面积为(x一y)2=6, 所以(x十y)2十(x-y)2=64十6=70，所以x2+y2=35, 1 所以题图1中阴影部分的面积为x十y-2父4·工一2× 4·y=x2十y2-2(x十y)=35-2×8=19.故选B. 【变式3】解：设正方形ABCD的边长为p,正方形DEFG 的边长为q 因为阴影部分的面积和为30，三角形CDG的面积为14， 1 所以2p(p-q)+29=30,2g=14, 所以p2十g2=88,pq=28. 因为(p十q)2=p2+g2+2pq=88十2×28=144， 所以p十q=12(负值已舍去)，即CE的长为12. 8.4因式分解 题型9利用因式分解求代数式的值 【例】D【变式1】2025【变式2】C 【变式3】B 【变式4】A 【解析】因为m2=3n十a,n2=3m十a, 所以m2-n2=3n-3m, 所以(m十n)(m-n)+3(m-n)=0, 所以(m-n)[(m十n)+3]=0. 因为m≠n,所以(m十n)十3=0，所以m十n=一3， 所以m2十2mn十n2=(m十n)2=(一3)2=9.故选A. 【变式5】37 【解析】因为a一b=3,b一c=4,所以a一c=7, 所以a2+6+2-ab-ac-c-(2a2+2b+2- 2a6-2ac-2k)=2[a-6)+(a-c)+(6-c)r]= 号×(g++)=37,故答案为37. 【变式6】D 【解析】2x2-xy-5.x十y十4=x2+x2-xy-4x-x十y十 4=(x2-4x+4)+(x2-xy)十(-x+y)=(x-2)2+ (x-y)(x-1)=0. 因为(x-2)2≥0，x≥y≥1，所以(x-y)(x-1)≥0， 所以(x-2)2=0,(x-y)(x-1)=0,所以x=y=2, 所以x十y=4.故选D. 【变式7】2031 【解析】由mn-2m-n-2025=0,得m(n-2)-(n-2)- 2027=0, 所以(m-1)(n-2)=2027. 。1 因为2027=1×2027，m,n均为正整数， 所以m-1=1,n-2=2027或m-1=2027,n-2=1,解 得m=2,n=2029或m=2028,n=3, 所以m十n=2十2029=2028十3=2031.故答案为2031. 第9章分式 9.2分式的运算 2分式的加减 题型10与分式运算相关的材料阅读 、10 1.解：(1)3 1 (2)因为，2-3x十12，所以=2， 所以x-3十=2，所以x十1=5. 因为+21-+2+-(+）广=5=5 1 所以x+2x2+125 2.解：(1)①不是 ⑧设分式B为分式，二的“可存异分式” B,所以 _2x-4.B,所以B=2x-4 x-4x-4 故答案为2x一4 ②0发题意，得A号A,十 2x+3 所以A(1-+)- 所以A·3x千号所以A=23 x 2x+3 x ②由①，知A=2红十3=2十3.因为分式A的值是正誉数， 所以整数x的值可取-3或-1或1或3，且2十3>0，所 以分式A的值分别是1或一1（舍去）或5或3， 所以当整数x的值为一3或1或3时，分式A的值为正整 数，此时分式A的值分别是1或5或3. 9.3分式方程 题型11与分式方程的解有关的参数问题 【例】C【变式1】(1)x=0.5(2)1或2 【变式2】解：(1)原方程去分母并整理，得(a一4)x=一21. 因为x=3是原方程的增根， 所以(a-4)×3=-21, 解得a=-3. (2)由(1)，得(a-4)x=-21. ①当α一4=0时，该整式方程无解，则原方程无解， 此时a=4. ②当a一4≠0时，要使原方程无解， 则x(x-3)=0,即x=0或x=3. 把x=0代入整式方程，a的值不存在， 把x=3代入整式方程，得a=-3. 综上所述，a=4或a=-3. 49. 【变式3】A【变式1)或9(21或好 【变式5】解：1)x十=-5可化为x+一2)X(-3》 (-2)十(-3)， 所以x1=一2，x2=一3.故答案为一2；一3. (2)由题意，得mn=一5，m十n=一2， 所以” m n =m2十n2 mn -（m十n)2-2mm mn 4+10 -5 (3)原方程变为工-2-20十3张=一6-3， x-2 所以工-2+(-263》=k十(-26-3》. x-2 因为x1>x2,k>0, 所以x1-2=k,x2-2=-2k-3, 解得x1=k十2，x2=-2k-1, 所以一2及 1 以，+i-2k=-2 第10章相交线、平行线与平移 10.3平行线的性质 题型12过拐点作平行线 【例】D 【变式1140(2（分x+40）【变式2】38 【变式3】C 【变式4】解：(1)①如图1，过点E作EM∥AB, 则∠ABE十∠BEM=180°. 因为AB∥CD,所以EM∥CD,所以∠CDE+∠MED= 180°，所以∠ABE+∠BEM+∠MED+∠CDE=360°. 因为∠BED=∠BEM+∠MED=90°， 所以∠ABE+∠CDE=360°-90°=270° 图1 图2 ②如图2，过，点F作FN∥AB, 则∠ABF=∠BFN. 因为AB∥CD,所以FN∥CD, 所以∠CDF=∠DFN, 所以∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF. 因为BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABE=2∠ABF,∠CDE=2∠CDF 所以∠ABE十∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2∠BFD. 由①可得，∠ABE十∠BED十∠CDE=360°. 因为∠BED=a, 所以∠ABE+∠CDE=360°-a, 所以2∠BFD=360°-a, 所以∠BFD=180-号 (2)如图3，过点E作EP∥AB,则∠PEB十∠ABE= 180°，即∠PEB=180°-∠ABE. 图3 因为AB∥CD,所以PE∥CD,所以∠PED十∠CDE= 180°，即∠PED=180°-∠CDE, 所以∠BED=∠PED-∠PEB=(180°-∠CDE)-(180°- ∠ABE)=∠ABE-∠CDE, 同理(1)可得，∠BFD=∠ABF十∠CDF 因为BM平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABE=2∠ABM,∠CDE=2∠CDF 因为∠ABF=180°-∠ABM=180-号∠ABE, 所以∠BFD=180-合∠ABE+号∠CDE=180° 1 1 2(∠ABE-∠CDE)=180°- 2∠BED, 1 所以2∠BED+∠BFD=18O, 题型13与平行线有关的旋转问题 【例】45 【变式1】30°或45°或75 【变式2】解：(1)因为∠ABC=90°，∠C=60°， 所以∠BAC=30°. 因为AD∥BC,所以∠ABC+∠BAD=180°. 因为∠ABC=90°，所以∠BAD=90. 因为∠BAC=30°，所以∠CAD=60°. 因为AD平分∠CAN, 所以∠CAN=2∠CAD=120°， 所以∠BAN=∠CAN+∠BAC=150°， 所以∠BAM=180°-∠BAN=30°. (2)当AK在∠CAD内部时， ∠CAD-∠DAK=∠CAK=12° 因为∠DAF=90°+(6t)°，AK是∠DAF的平分线， 所以∠DAK=号∠DAF=45+(3e 因为∠CAD=60°， 所以60°-[45°+(3t)]=12°，解得t=1. 当AK在∠CAD外部时，∠DAK-∠CAD=∠CAK=12°. 因为∠DAF=90°十(6t)°，AK是∠DAF的平分线， 所以∠DAK=号∠DAF=45+(3) 因为∠CAD=60°， 所以45°+(3t)°-60°=12°， 解得t=9. 综上所述，t=1或t=9. 150.