第8章整式乘法与因式分解(重难题思维训练)（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

第8章整式乘法与因式分解 8.1幂的运算 题型7幂运算的逆用 例(2024·合肥包河区期中)若2m=3,22m=5,则23m+2m= 拔◇【变式1】已知52m=a,4”=b,则102m= .(用含字母a,b的式子表示) 高 【变式2】【整体思想】已知2x十4y-3=0,则42·16一17= 题 【变式3】已知3x+2-3x+1=54,求x的值. 【变式4】已知m“=108,m=2,m=27,求a,b,c之间的数量关系 压【变式5】规定a,b两数之间的一种运算，记作【a,b】,如果a‘=b,那么【a,b】=c.例 轴 如：因为23=8，所以【2,8】=3.根据上述规定，解答下列问题. 题 (1)【4,16】= ,【7,1】= ,【 ,81】=4. (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：【3”，4】=【3,4】.对此小明给出了如下理由： 设【3”，4"】=x,则(3")x=4",即(3x)”=4",所以3x=4,所以【3,4】=x,所以【3”，4"】= 【3,4】.请你尝试运用这种方法说明【6,45】一【6,9】=【6,5】. 8数学7车级下册HK版 8.3完全平方公式与平方差公式 题型8乘法公式在几何面积中的应用 例(2025·六安金安区期末)如图1，有两个正方形A,B,现将正方形B放在正方形A的内部如 图2所示，将正方形A,B并排放置后构造新的正方形如图3所示.若图2和图3中阴影 部分的面积分别为4和30，则正方形A,B的面积之和为 () B 图1 图2 图3 A.34 B.26 C.19 D.17 拔。【变式1】如图，两个正方形的边长分别为a和b,如果a十b=10,ab=20,那么阴影部 高 分的面积是 () 题 A.5 B.10 C.20 D.30 甲 HB 图1 图2 变式1图 变式2图 压⊙【变式2】(2025·池州青阳期末)现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙两张纸片并列放 轴 置，如图1所示，已知H为AE的中点，连接DH,FH,将乙纸片放到甲纸片的内部， 题 如图2所示.若甲、乙两张正方形纸片的边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则 图1中阴影部分的面积为 () A.3 B.19 C.21 D.28 【变式3】(2025·合肥三十八中期中节选)如图，在线段CE上取一点D,分别以CD,DE 为边作正方形ABCD,DEFG,连接BG,CG,EG.若阴影部分的面积和为30，三角形 CDG的面积为14，求CE的长. 第8章整式乘法与因式分解 9 8.4因式分解 题型9利用因式分解求代数式的值 例(2025·安庆怀宁期中)已知a=2b-5,则代数式a2-4ab十4b2一5的值是 ( A.-30 B.30 C.-20 D.20 拔。【变式1】已知实数m满足m2-m-1=0,则m3一m2-m十2025= 高 【变式2】已知x+2y=5,2y-x=3,则代数式x2-4y2+2x-4y的值为 () 题 A.9 B.-12 C.-21 D.2 【变式3】(2025·六安金安区期末)无论x,y为何实数，代数式x2十2y2+2x一4y十10 的值 () A.可能为0 B.最小为7 C.最小为10 D.最大为10 【变式4】已知m2=3n十a,n2=3m十a,且m≠n,则m2+2mn十n2的值为() A.9 B.6 C.4 D.无法确定 思路点拨将m2=3n十a,n2=3m十a相减消去a,进而求得m十n的值. 【变式5】(2025·宿州砀山期中)如果a-b=3,b一c=4,那么a2十b2十c2-ab-ac bc= 2[(a- 思路点拨由a-b=3,6-c=4,得a-c=7.而a2+b2十c2-ab一ac-bc= b)2+(a-c)2+(b-c)2],代入即可求值. 压⊙【变式6】(2025·合肥庐阳中学期中)已知2x2-xy-5.x十y+4=0,且x≥y≥1，则x十 轴 y的值为 () 题 A.1 B.2 C.3 D.4 思路点拨进行拆项分组，得2x2一xy一5x十y十4=(x2一4x十+4)十(x2一xy)+(一x十 y)=(x-2)2+(x-y)(x-1)=0.结合条件可知，(x-2)2≥0，(x-y)(x-1)≥0，从 而可以求出x和y的值. 【变式7】(2025·合肥包河区期末)已知m,n均为正整数，且满足mn一2m一n一2025= 0,则m十n= 思路点拨因为mn-2m-n-2025=0,所以(m-1)(n-2)=2027.因为2027=1X 2027,所以可求出m一1=1，n一2=2027或m-1=2027,n一2=1，然后求出m和n 的值，进而求出m十n的值. 10数学7年级下册HK版【变式3】(1)m≤4(2)6 【解析】(1)解不等式x一m>0,得x>m; 解不等式写 -x<-4,得x>4. 因为此不等式组的解集为x>4,所以m≤4.故答案为m≤4. 4 (2)解方程组mx十y=6, x= 得 m-3' 3x十y=2, =2品 因为此方程组的解为整数，且m为整数， 所以m-3=士4或m-3=士2或m-3=士1， 解得m=7或m=-1或m=5或m=1或m=4或m=2. 由(1)，知m≤4，所以m=一1或m=1或m=4或m=2, 所以符合条件的所有整数m的和是一1十1十4十2=6.故答 案为6. 【变式4】(1)2(2)3<a≤4 【解析】(2)解关于正数m的不等式组 /4m-2m>1, 1 -m-(-1-2m)<a, 得2<m<a-1. 因为原不等式组恰好有2个整数解，所以2<a一1≤3，解 得3<a≤4.故答案为3<a≤4. 题型5利用不等式的性质进行代数推理 【例】(1)y=3x-2(2)-1<x≤2-7<2x十y≤8 【变式1】D 【解析】由条件可知，n=2m-1,m=”1 2 因为-2<3m+2n<5,所以-2<3m十2(2m-1)<5, 解得0<m<1,所以0<2<1，解得-1<n<1, 所以0<2m<2,-7<一7n<7,一3<3n<3, 所以-7<2m一7n<9,-3<m十3n<4.故选D. 【变式2】解：(1)因为x-2y=10,所以x=2y+10. 因为x>-2,所以2y+10>一2，解得y>-6. 因为y<0,所以一6<y<0. (2)因为x=2y+10, 所以3x+y=3(2y+10)+y=7y+30. 由(1)，得-6<y<0, 所以一42<7y<0,所以一12<7y十30<30， 即-12<3x+y<30. 【变式3】1≤k<3 【解析】解关于。和6的方程组2一36-4得a二3-4： la-b=k, b=2k-4. 13k-4≥-1， 根据题意，得 2k-4<2, 解得1≤k<3.故答案为1≤k<3. 【变式4】D 【解析】因为a+b十c=0,3a十2b+c>0, 所以3a十2b十c=(a十b十c)十2a十b=2a十b>0,故B选 项错误. 因为b=-a-c,所以3a十2b十c=3a十2（一a-c)十c= a一c>0,所以a>c,故C选项错误. 因为b=一a一c,c>0,所以b<一a,即a十b<0,故A选项 错误 因为2a+b>0,所以-2a<b,所以-2a<b<-a. 又因为a>c>0,所以-2< <-1,故D选项正确.故选D. a 1 题型6求代数式的最值 【例】解：(1)由x十y=-3,得x=-y-3. 因为x<4,所以一y-3<4,解得y>-7,所以y的取值范 围是y>一7. (2)因为x十y=一3，所以y=一x-3. 因为a=x-y+2,所以a=x-(-x-3)+2=2x十5. 因为x≥3，所以2x十5≥11，所以a的最小值为11. 【变式1】c 【变式2】5 【解析】由x-y=3,x十之=6，得y=x-3,之=6-x, 所以x十y十之=x十x一3十6一x=x十3. 因为x≥-2y,所以x≥一2x十6，解得x≥2， 所以x十3≥2十3，所以x十y十z≥5，所以x十y十x的最 小值为5.故答案为5. 【变式3】D 【解析】因为6a=3b+12=2c,c≤9，所以3b十12≤18，解 得b≤2.又因为b≥0，所以0≤b≤2. 因为6a=36+12=2c,所以a=b+2.c=6十6。 所以1=2a+6-c=2(26+2）+6-(36+6）=6+4+ 6-2b-6=26-2.因为0<b<2,所以0≤26<1，所以 3 -2≤号0-2≤-1，所以1的取值范国是-2≤<-1，所 以t的最大值与最小值的差为一1一（一2）=1.故选D. 【变式4】C 【解析】因为a十b=一2， 所以a=-b-2,b=-2-a. 因为a≥2b,所以-b-2≥2b,a≥-4-2a, 期得6长-号a≥-手 由u≥2b,得分≤2. 当>0时，台<0，即合的最小值不是号，故A选项错误： 当-专≤a<0时，名≥·合有最小值号，无最大值，故B 4 61 b 选项错误；分有最大值2，故C选项正确；分无最小值，故D 选项错误.故选C. 第8章整式乘法与因式分解 8.1幂的运算 题型7幂运算的逆用 【例】135【变式1】ab【变式2】-9 【变式3】解：因为3+2-3+1=54， 所以3+1·3-3+1·1=54，所以3+1·(3-1)=54， 所以3+1=27，所以3+1=33，所以x十1=3，解得x=2. 【变式4】解：因为108=4×27=22×27， 所以m“=(m)2·m‘=m0·m=m26+c, 所以a=2b十c. 【变式5】解：(1)因为42=16，所以【4,16】=2. 因为7°=1，所以【7,1】=0. 因为（士3）4=81，所以【士3,18】=4. 故答案为2；0；士3. 48. (2)设【6,9】=x,【6,5】=y,则6=9,6'=5， 所以6+y=6·6=9×5=45, 所以【6,45】=x+y,即【6,45】=【6,9】+【6,5】， 所以【6,45】-【6,9】=【6,5】. 8.3完全平方公式与平方差公式 题型8乘法公式在儿何面积中的应用 【例】A【变式1】C 【变式2】B 【解析】设甲正方形纸片的边长为x,乙正方形纸片的边长 为y,则AD=x,EF=y,AE=x十y=8, 所以(x十y)2=64. 因为题图2中阴影部分的面积为(x一y)2=6, 所以(x十y)2十(x-y)2=64十6=70，所以x2+y2=35, 1 所以题图1中阴影部分的面积为x十y-2父4·工一2× 4·y=x2十y2-2(x十y)=35-2×8=19.故选B. 【变式3】解：设正方形ABCD的边长为p,正方形DEFG 的边长为q 因为阴影部分的面积和为30，三角形CDG的面积为14， 1 所以2p(p-q)+29=30,2g=14, 所以p2十g2=88,pq=28. 因为(p十q)2=p2+g2+2pq=88十2×28=144， 所以p十q=12(负值已舍去)，即CE的长为12. 8.4因式分解 题型9利用因式分解求代数式的值 【例】D【变式1】2025【变式2】C 【变式3】B 【变式4】A 【解析】因为m2=3n十a,n2=3m十a, 所以m2-n2=3n-3m, 所以(m十n)(m-n)+3(m-n)=0, 所以(m-n)[(m十n)+3]=0. 因为m≠n,所以(m十n)十3=0，所以m十n=一3， 所以m2十2mn十n2=(m十n)2=(一3)2=9.故选A. 【变式5】37 【解析】因为a一b=3,b一c=4,所以a一c=7, 所以a2+6+2-ab-ac-c-(2a2+2b+2- 2a6-2ac-2k)=2[a-6)+(a-c)+(6-c)r]= 号×(g++)=37,故答案为37. 【变式6】D 【解析】2x2-xy-5.x十y十4=x2+x2-xy-4x-x十y十 4=(x2-4x+4)+(x2-xy)十(-x+y)=(x-2)2+ (x-y)(x-1)=0. 因为(x-2)2≥0，x≥y≥1，所以(x-y)(x-1)≥0， 所以(x-2)2=0,(x-y)(x-1)=0,所以x=y=2, 所以x十y=4.故选D. 【变式7】2031 【解析】由mn-2m-n-2025=0,得m(n-2)-(n-2)- 2027=0, 所以(m-1)(n-2)=2027. 。1 因为2027=1×2027，m,n均为正整数， 所以m-1=1,n-2=2027或m-1=2027,n-2=1,解 得m=2,n=2029或m=2028,n=3, 所以m十n=2十2029=2028十3=2031.故答案为2031. 第9章分式 9.2分式的运算 2分式的加减 题型10与分式运算相关的材料阅读 、10 1.解：(1)3 1 (2)因为，2-3x十12，所以=2， 所以x-3十=2，所以x十1=5. 因为+21-+2+-(+）广=5=5 1 所以x+2x2+125 2.解：(1)①不是 ⑧设分式B为分式，二的“可存异分式” B,所以 _2x-4.B,所以B=2x-4 x-4x-4 故答案为2x一4 ②0发题意，得A号A,十 2x+3 所以A(1-+)- 所以A·3x千号所以A=23 x 2x+3 x ②由①，知A=2红十3=2十3.因为分式A的值是正誉数， 所以整数x的值可取-3或-1或1或3，且2十3>0，所 以分式A的值分别是1或一1（舍去）或5或3， 所以当整数x的值为一3或1或3时，分式A的值为正整 数，此时分式A的值分别是1或5或3. 9.3分式方程 题型11与分式方程的解有关的参数问题 【例】C【变式1】(1)x=0.5(2)1或2 【变式2】解：(1)原方程去分母并整理，得(a一4)x=一21. 因为x=3是原方程的增根， 所以(a-4)×3=-21, 解得a=-3. (2)由(1)，得(a-4)x=-21. ①当α一4=0时，该整式方程无解，则原方程无解， 此时a=4. ②当a一4≠0时，要使原方程无解， 则x(x-3)=0,即x=0或x=3. 把x=0代入整式方程，a的值不存在， 把x=3代入整式方程，得a=-3. 综上所述，a=4或a=-3. 49.