重点题型专题10 平行线性质与判定的综合应用（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

11.解：CD与AB平行.理由如下： 解法1：因为∠BAF+∠BAC=180°， ∠BAF=46°，所以∠BAC=134. 因为CE⊥CD,所以∠DCE=90°. 因为∠DCE+∠ACD+∠ACE=360°， ∠ACE=136°， 所以∠ACD=134°，所以∠ACD=∠BAC, 所以CD∥AB. 解法2：延长DC至点G(图略)， 易知CE⊥CG,即∠ECG=90°. 因为∠ACE=136°， 所以∠FCG=136°-90°=46. 因为∠BAF=46°，所以∠FCG=∠BAF, 所以CG∥AB,即CD∥AB 12.解：(1)因为∠D=42°，所以∠DCF=∠D, 所以CF∥ED,所以AB∥ED. (2)AB∥CD.理由如下： 如图，过点E作射线EF,使∠AEF=60°. A B C D 因为∠1=120°， 所以∠1十∠AEF=180°，所以AB∥EF. 因为AE⊥EC,所以∠AEC=90°， 所以∠FEC=90°-60°=30° 因为∠2=150°，所以∠FEC+∠2=180°， 所以EF∥CD,所以AB∥CD. 10.3平行线的性质 1.D2.42°3.25°4.∠2=30°5.D6.A7.B8.B 9.C10.B11.3512.123° 13.解：因为∠1=∠2， 所以EF∥CD,所以∠3=∠4. 因为CD,EF分别是∠ACB,∠AED的平分线， 所以∠ACB=2∠3，∠AED=2∠4， 所以∠ACB=∠AED, 所以BC∥DE 14.(1D∠CBD=70°(2)不变.2 (3)∠ABC=35° 重点题型专题10平行线性质与判定的综合应用 【例】两直线平行，同位角相等∠BAE∠DAC ∠DAC内错角相等，两直线平行 1.已知90°垂直的定义∠CDE∠CDE同角的余 角相等内错角相等，两直线平行 2.对顶角相等DBEC同位角相等，两直线平行两 直线平行，同位角相等等量代换内错角相等，两直线 平行 3.CA两直线平行，同位角相等EF同位角相等，两 直线平行4两直线平行，内错角相等等量代换等量 代换 .1 4.解：因为EM∥FN,所以∠FEM=∠EFN. 因为EM平分∠BEF,FN平分∠EFC, 所以∠BEF=2∠FEM,∠EFC=2∠EFN, 所以∠BEF=∠EFC,所以AB∥CD 5.解：(1)因为∠ABC=65°，∠C=65°， 所以∠ABC=∠C,所以AB∥CD, 所以∠ADC=∠A. 因为∠A=60°，所以∠ADC=60°. (2)∠ADB=∠ADC.理由如下： 解法1（平行线的性质）：由(1)，知AB∥CD,所以∠ABD+ ∠BDC=180°. 因为∠AFE+∠BDC=180°， 所以∠ABD=∠AFE,所以EF∥BD, 所以∠AEF=∠ADB. 因为AB∥CD,所以∠A=∠ADC. 又因为∠A=∠AEF,所以∠ADB=∠ADC. 解法2（参数法）：设∠A=∠AEF=x, 所以∠AFE=180°-∠A-∠AEF=180°-2x. 因为∠AFE十∠BDC=180°， 所以∠BDC=180°-∠AFE=2x 因为AB∥CD,所以∠ADC=∠A=x, 所以∠ADB=∠BDC-∠ADC=x, 所以∠ADB=∠ADC. 6.解：(1)∠BCD十∠ACE=180°.理由如下： 因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, 所以∠BCD+∠ACE=90°十∠ACD+∠ACE=90°+ 90°=180°. (2)∠BCD=1449 (3)分两种情况： ①如图1，当∠BCD=150°时，AB∥CE.理由如下： 因为AB∥CE,所以∠BCE+∠B=180°， 因为∠B=60°，所以∠BCE=120. 因为∠DCE=90°， 所以∠BCD=360°-120°-90°=150°. 图1 图2 ②如图2，当∠BCD=30°时，AB∥CE.理由如下： 因为AB∥CE,所以∠BCE=∠B=60. 因为∠DCE=90°， 所以∠BCD=90°-60°=30°. 综上所述，当∠BCD为150°或30°时，AB∥CE 10.4平移 1.C2.B3.33DEF∠EFD 4.A【变式】3.55.90° 6.互相平行或在同一条直线上7.D重点题型专题10 平行 【例】如图，已知AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4， 试说明AD∥BC.请完善解答过程，并在括号内 填写相应的理论依据. 解：因为AB∥CD(已知)， 所以∠4=∠BAE( 因为∠3=∠4（已知）， 所以∠3= (等量代换)： 因为∠1=∠2（已知）， 所以∠CAE+∠1=∠CAE+∠2， 即∠BAE= 所以∠3= 所以AD∥BC( 方法归纳平行线的判定：由角之间的数量关系 (相等或互补)得到直线平行. 平行线的性质：由两直线的位置关系得到角之间的 数量关系. 平行线的性质与判定的综合应用，就是将角的数量关 系与直线的位置关系进行不断转化，最终得到结论」 ·跟踪训练 1.(2025·蚌埠五中期末)如图，已知在三角形ABC 中，CD⊥AB于点D,E是AC上的一点，且 ∠1+∠2=90°.试说明DE∥BC.请完善解答 过程，并在括号内填写相应的理论依据.。 解：因为CD⊥AB( 所以∠ADC= 所以∠1+ =90°. 又因为∠1+∠2=90°（已知）， 所以 =∠2( 所以DE∥BC( 98数学7年级下册HK版 线性质与判定的综合应用 2.如图，E为DF上的点，B为AC上的点，∠1= ∠2，∠C=∠D,试说明AC∥DF.请完善解答 过程，并在括号内填写相应的理论依据. 解：因为∠1=∠2（已知）， ∠1=∠3( 所以∠2=∠3（等量代换）， 所以 所以∠C=∠ABD( 又因为∠C=∠D(已知)， 所以∠D=∠ABD( 所以AC∥DF( 3.(2025·合肥四十二中期末)如图，点D,E,F分别 在AB,BC,AC上，且DE∥AC,∠3=∠B,试 说明∠A+∠B+∠C=180°.请完善解答过程， 并在括号内填写相应的理论依据。 解：因为DE∥AC(已知)， 所以∠1=∠ ,∠4=∠ 因为∠3=∠B(已知)， 所以AB∥ ( 所以∠2=∠ 所以∠2=∠A(). 因为∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）， 所以∠A+∠B+∠C=180°( 4.如图，直线EF分别与直线AB,CD交于点E, F,EM平分∠BEF,FN平分∠EFC,且 EM∥FN.试说明AB∥CD, 5.(2025·合肥蜀山区期末)如图，直线AB,CD被直 线BC所截，连接AD,交BC于点E,∠ABC= 65°，∠C=65°. (1)若∠A=60°，求∠ADC的度数. (2)【一题多解】点F在AB上，连接EF.若 ∠AFE+∠BDC=180°，∠A=∠AEF,试判 断∠ADB与∠ADC的数量关系，并说明理由. 6综合与实践： 学习了相交线、平行线的相关知识后，某数学 兴趣小组利用手中的一副三角板进行了探究， 发现和提出了一些数学问题.将一副三角板中 的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中 ∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°. (I)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明 理由； (2)若∠BCD=4∠ACE,求∠BCD的度数； (3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三 角板DCE,试探究当∠BCD为多少度时， AB∥CE,并简要说明理由. B B 备用图1 备用图2 第10章相交线、平行线与平移99