方法归纳专题5 完全平方公式的变形求值问题（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

方法归纳专题⑤完全 【例】将一张长为2a、宽为2b(a>b)的长方形纸 片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，得到四张形状 和大小都一样的小长方形纸片，然后按如图2所 示的方式拼成一个正方形（无重叠、无缝隙） 2a 图1 图2 (1)图2中大正方形的边长为 面积为 ； (2)图2中小正方形的边长为 面积为 (3)图2中可以得到(a+b)2与(a一b)2之间的 关系为 (4)根据(3)中的关系，若a+b=7,ab=5,则 (a-b)2= ●归纳总结①(a十b)2=a2十2ab十b2, (a-b)2=a2-2ab+b2; ②(a+b)2=(a-b)2+4ab; ③a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab, ab= (a+b)2-a2-b2(a+b)2-(a+b)2 4 ◆跟踪训练 1.(2025·合肥一六八中期末)已知a十b=5,ab=6, 则a2十b2= ( A.13 B.19 C.26 D.31 [变式1]已知a十b=5,a2+b2=19,则ab= ( A.6 B.-6 C.3 D.-3 [变式2](2025·合肥巢湖期未)已知a2十b2= 16,且2a6=-3,则a+6的值是 () A.4 B.±4 C.2 D.±2 2.(2024·蚌埠期中)已知a十b=6,ab=5,则 (a一b)2的值为 46数学7年级下册HK版 平方公式的变形求值问题 3.已知x,y都是实数，观察表中的运算： x,y的运算 (x-y)2 (x十y) 运算的结果 3 代数式x2+y2-3xy的值为 4.(2025·六安金寨期末)已知x+y=6,且(x十 2)(y+2)=23.求： (1)xy的值； (2)x2+6xy+y2的值. 5.(2025·滁州全椒期中节选)通过不同的方法计算 同一个图形的面积可以得到一个等量关系.如 图，将图1中的阴影部分（四个完全相同的小正 方形)移动变换成如图2所示的图形.根据图中 信息，回答下列问题、 (1)写出用两种方法表示图中阴影部分的面积 可以得到的等式： (2)【整体思想】利用(1)中得到的结论，若(6十 x)x=7,求(6十x)2十x2的值. 图1 图2 6.(2025·安庆外国语学校期末)[问题情景]数学活动 课上，老师出了一个题目： 若x满足xy=4,x-y=5,求x2十y2的值. 其解题过程如下： 解：因为(x-y)2=x2-2xy十y2, 所以x2+y2=(x-y)2+2xy=52+2×4=33. [实践探究]根据以上解题方法，解决下列问题， 已知x满足(x-3)(x一8)=6. (1)(x-3)-(x-8)的值为 (2)求(x-3)2+(x一8)2的值， [拓展应用](3)如图，在长方形ABCD中， AB=10,BC=6,E,F分别是BC,CD上的 点，且BE=DF=x,分别以FC,CE为边在长 方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形 CEMN.若长方形CEPF的面积为40，则图中 阴影部分的面积和为多少？ G 7.(2025·合肥四十五中期中)如图1，现有两张长为 a、宽为b的长方形纸片，将它们按如图2和图 3所示的两种方式放置在正方形ABCD中，正 方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的 部分用阴影表示，图2中阴影部分的面积记为 S1,图3中阴影部分的面积记为S2,图2和图3 中两张长方形纸片重叠部分的面积分别记为 S3和S4. (1)当正方形ABCD的边长为x时， S1= S2= (用含a,b,x的代数式表示，不用化简) (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为 26,求： ①a-b的值； ②S1一S2的值. (3)S3一S4的值与S1一S2的值有何关系？请 说明理由. A 图1 图2 图3 第8章整式乘法与因式分解473多项式与多项式相乘 1.c2.B【变式】D3.c【变式】c 4.D5.-3【变式】2 6.(1)-x2+x+12(2)6x2+x-1 (3)-m2+mn+2n2(4)5x-10 7x=号8化简结果为30-6，值为一号 9.C10.C11.C12.6或9 13.(1)S=(3a2+9ab+2b2)m (2)完成绿化共需要8400元 14.解：(1)S1-S2=(x+5)(y+5)-(x-2)(y-2)= xy+5x+5y+25-(xy-2x-2y+4)=7x+7y+21 7(x+y+3). 由题意，得7(x十y十3)=196， 所以x十y=25, 所以原长方形的周长为2(x十y)=2×25=50(cm). (2)由(1)，知S1-S2=7(x+y十3). 因为x,y为正整数， 所以S1一S2一定是7的倍数. (3)x=y+5 8.3完全平方公式与平方差公式 第1课时完全平方公式 1.C2.D3.D4.(1)4(2)3(3)416 5.6【变式】25 6.1)9a+6a6+8(2r-y+￥ (3)25a2-40a+16(4)4x2+12xy+9y2 7.化简结果为-7xy,值为14 8.a-b(a-b)2a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b 9.D10.C【变式1】1 【变式2】解：原式=(100-2)2 =1002-2×100×2+22 =10000-400+4 =9604. 11.C【变式】7或-112.913.3【变式】a=b 14.(1)30(2)24(3)-5 15.(1)(a+b)2=a2+2ab+b2(2)6(3)2016 方法归纳专题5完全平方公式的变形 求值问题 【例】(1)a+b(a+b)2(2)a-b(a-b)2 (3)(a+b)2=(a-b)2+4ab(4)29 【跟踪训练】 1.A【变式1】C【变式2】D2.163.2 4.(1)7(2)64 5.(1)(a-b)2=a2-2ab+b(2)50 6.(1)5(2)37(3)阴影部分的面积和为96 7.解：(1)(x-a)2+(x-b)22(x-a)(x-b) (2)因为题图1中长方形纸片的面积为40，周长为26， 所以ab=40,2(a+b)=26,即a+b=13,a>b. ①(a-b)2=(a+b)2-4ab=132-4×40=9, 所以a一b=3(负值已舍去). ②S,-S2=(x-a)2+(x-b)2-2(x-a)(x-b)=[(x a)-(x-b)]2=(a-b)2=9. (3)S3一S4=S1-S2.理由如下： 当正方形ABCD的边长为x时， 题图2中两张长方形纸片重叠部分的面积S, [x-(x-a)-(x-b)]2=(a+b-x)2, 题图3中两张长方形纸片重叠部分的面积S,=[x一2(x a)][x-2(x-b)]=(2a-x)(2b-x), 所以S3-S4=(a+b-x)2-(2a-x)(2b-x) =[(a+b)-x]2-(2a-x)(2b-x) =(a+b)2-2(a十b)x+x2-[4ab-2(a+b)x+x2] =(a+b)2-2(a+b)x十x2-4ab+2(a+b)x-x2 =(a+b)2-4ab =a2+b2-2ab =(a-b)2 由(2)，知S1-S2=(a-b)2,所以S,-S。=S1-S2. 第2课时平方差公式 1.C2.B3.B4.D5.2【变式】10 .0a264②号m2-2(3)81x-y(4)6x 7.c8.12-3 9.解：(1)原式=(1000-1)×(1000+1) =10002-1 =1000000-1 =999999. (2)原式=20252-(2025-1)×(2025+1) =20252-(20252-1) =1. 10.D11.±412.405113.x=6 5 14.解：原式=49m-4n2十4n2-9=49m-9. 因为此代数式化简的结果中不含字母n,所以代数式 (7m2+2n)(7m2-2n)+(2n-3)(3+2n)的值与n的取值 无关 15.解：(1)17 (2)由题意，得比2m十1大7的数为2m+1十7=2m+8. 因为(2m+8)2-(2m+1)2=(2m+8+2m+1)(2m+8 2m-1)=7(4m+9), 所以比2m十1大7的数与2m十1的平方差能被7整除. (3)余数是7.理由如下： 设这个整数为n. 由题意，得(n十7)2-n2=(n+7+n)(n十7-n)=7(2n十 7)=14n+49=14(n+3)+7, 所以比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除 的余数是7. 第3课时乘法公式的灵活运用 1.B【变式】[y+(x十x)][y-(x+x)] 1 2.(1)x2+4xy+4y-9(2)1-zx2+16x (3)a2-4ab+4b2+2ac-4bc+c2 3.土5【变式】24.(1)a8-b3(2)316-1 5.(1)x2+y2+z+2xy十2xz+2yz(2)60 6.2026x2025y 131.