第二章 导数及其应用（单元自测·基础卷）高二数学北师大版选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学《导数及其应用》单元检测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C B A D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）由题意， 因为在单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又当且仅当即时取等号， 所以，即m的取值范围是；（4分） （2）由，得，定义域为， 当时，在恒成立，故在单调递减， 则在最多有一个零点，不合题意，舍去； 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 且当时，，所以， 当时，， 因为此时，所以， 要使得在有两个不同的零点， 只需满足即可，解得，又， 所以， 综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（5分） （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点.（8分） （2）由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为．（12分） （3）由（1）得，当时，，即， 要证不等式，故只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即；（2分） （2）由（1）知，， 因为在内有两个极值点，所以 在内有两个不相等的实数根， 即在上有两个不相等的实数根． 设，则， ①当时，， 所以在上单调递增，不符合条件． ②当时，令得 ， 当，即时，， 所以在上单调递减，不符合条件； 当，即时，， 所以在上单调递增，不符合条件； 当，即时， 在上单调递减，上单调递增， 若要在上有两个不相等的正实根，则 ，解得． 综上所述，所以的取值范围为.（7分） （3）由可得，， 设， 令，则，所以 在上单调递增，在上单调递减． （ⅰ）当时，，则 ，所以． 因为，所以 ，因此在上单调递增． （ⅱ）当时，，则 ， 所以． 因为，所以，即 ， 又， 所以， 因此 在上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时， ， 当，即 时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 当，即 时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1， 当，即 时， ①当时， ，要使，可令，即 ； ②当时，，要使 ， 可令，即， 所以，当时，有两个零点，故关于 x的方程根的个数为2， 综上所述：当时，关于 x的方程根的个数为0， 当时，关于x的方程根的个数为1， 当时，关于x的方程根的个数为2．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以．（2分） （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为．（10分） （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学《导数及其应用》单元检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 2．点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 6．已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．若恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．在上单调递减 B．为的极小值点 C．函数有极大值 D．函数有三个零点 10．已知函数，则（ ） A．若，则 B．存在使得该函数为轴对称图形 C．当时， D．任意，过点最多可作函数两条切线 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若是函数的极值点，则______． 13．已知是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为_______. 14．已知函数有两个不同的极值点和）恒成立，则实数的取值范围是_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 16．（15分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 17．（15分）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围； (3)时，讨论关于的方程的根的个数． 19．（17分）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学《导数及其应用》单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 2．点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 6．已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．若恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．在上单调递减 B．为的极小值点 C．函数有极大值 D．函数有三个零点 10．已知函数，则（ ） A．若，则 B．存在使得该函数为轴对称图形 C．当时， D．任意，过点最多可作函数两条切线 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若是函数的极值点，则______． 13．已知是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为_______. 14．已知函数有两个不同的极值点和）恒成立，则实数的取值范围是_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 16．（15分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 17．（15分）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围； (3)时，讨论关于的方程的根的个数． 19．（17分）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学《导数及其应用》单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 2．点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 3．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 4．若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 5．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 6．已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 令， 则，可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时，等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得, 当时，,单调递增，当时，,单调递减， 因函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得或, 故选：D. 7．若恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数求出的单调性和零点，令，结合条件，可得在处取得零点，代入可得a，b的关系，根据不等式的性质及二次函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】当时，恒成立； 当时，令，则， 所以在上单调递增，注意到， 因此在内，，在内，， 因为恒成立，因此. 令，则在内，，在内，， 所以在处取得零点，即，得. 综上，，那么由，得. 对于A：因为，故A错误； 对于B：，，，故B错误； 对于C、D：因为， 则在单调递减，所以.故D正确，C错误. 8．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．在上单调递减 B．为的极小值点 C．函数有极大值 D．函数有三个零点 【答案】AC 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负，即可确定函数的极值零点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项A正确； 不是的极值点，选项B错误； 2为的极大值点，函数有极大值，选项C正确； 由于不知道的极小值与极大值的符号， 所以不能确定函数的零点的个数，选项D错误． 故选：AC． 10．已知函数，则（ ） A．若，则 B．存在使得该函数为轴对称图形 C．当时， D．任意，过点最多可作函数两条切线 【答案】ACD 【分析】把代入，利用导数确定单调性判断A；根据函数值的特征判断B；把代入，利用导函数图象特征判断C；设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，由方程解的个数判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 函数在R上单调递增，因此，A正确； 对于B， ，则函数的图象关于点中心对称， 且当时，当时，又三次函数的图象不是直线， 因此无论为何实数，不可能是轴对称图形，B错误； 对于C，当时，，求导得， 函数的图象关于直线轴对称，因此，C正确； 对于D，设切点为，而， 则切线方程为， 由切线过点，得，即， 解得或，则当时，过点的切线有且只有一条， 当时，过点的函数图象的切线有两条，D正确. 故选：ACD 11．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 【答案】BCD 【分析】求导可得在上单调递减可判断A；令，求导可证判断B；分离变量得，令，求导计算可判断C；变形可得，令，求导计算可得，进而可判断D. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，令，得， 当，，所以在上单调递减， 故时，，即，A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当且仅当时，有两个解，当且仅当时，有一个解， 因此方程有两解时，不等式成立，C正确； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，， 又，，， 因此当时，取整数满足， 所以至少有三个整数解，则，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若是函数的极值点，则______． 【答案】 【分析】求导得解析式，根据条件，可得，即可求出a值，进而可得解析式，代入，即可得答案. 【详解】由题意， 因为是的极值点， 所以，解得， 则，所以. 故答案为： 13．已知是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为_______. 【答案】 【分析】设，对函数求导，判断时的单调性，然后将不等式进行转化为，从而得出此时不等式的解集，然后根据函数奇偶性得出时不等式的解集，最后将解集求并集即可. 【详解】设，则， 当时，，则， 所以函数在上单调递减， 因为是定义在上的偶函数，所以， 又，所以， 当时，， 当时，不等式等价于即， 由函数在上单调递减，所以， 解得：，又，所以不等式的解集为：， 当时，令，则， 所以要使即，所以的解集为： 即， 所以当时，的解集为， 综上所述：的解集为. 故答案为：. 14．已知函数有两个不同的极值点和）恒成立，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】先求出导函数，再应用极值点对应导数值为0结合韦达定理计算求出，再应用参数分离结合单调性计算求解参数范围. 【详解】由题意知的定义域为， 且，令，得，此方程有两个不相等的正根， 则即， ， 又，则恒成立， 因为函数在上单调递增， 故，即，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 【解析】（1）由题意， 因为在单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又当且仅当即时取等号， 所以，即m的取值范围是；（4分） （2）由，得，定义域为， 当时，在恒成立，故在单调递减， 则在最多有一个零点，不合题意，舍去； 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 且当时，，所以， 当时，， 因为此时，所以， 要使得在有两个不同的零点， 只需满足即可，解得，又， 所以， 综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是.（13分） 16．（15分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（5分） （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以.（15分） 17．（15分）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 【解析】（1）由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点.（8分） （2）由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为．（12分） （3）由（1）得，当时，，即， 要证不等式，故只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立．（15分） 18．（17分）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围； (3)时，讨论关于的方程的根的个数． 【解析】（1）因为，所以， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即；（2分） （2）由（1）知，， 因为在内有两个极值点，所以 在内有两个不相等的实数根， 即在上有两个不相等的实数根． 设，则， ①当时，， 所以在上单调递增，不符合条件． ②当时，令得 ， 当，即时，， 所以在上单调递减，不符合条件； 当，即时，， 所以在上单调递增，不符合条件； 当，即时， 在上单调递减，上单调递增， 若要在上有两个不相等的正实根，则 ，解得． 综上所述，所以的取值范围为.（7分） （3）由可得，， 设， 令，则，所以 在上单调递增，在上单调递减． （ⅰ）当时，，则 ，所以． 因为，所以 ，因此在上单调递增． （ⅱ）当时，，则 ， 所以． 因为，所以，即 ， 又， 所以， 因此 在上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时， ， 当，即 时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 当，即 时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1， 当，即 时， ①当时， ，要使，可令，即 ； ②当时，，要使 ， 可令，即， 所以，当时，有两个零点，故关于 x的方程根的个数为2， 综上所述：当时，关于 x的方程根的个数为0， 当时，关于x的方程根的个数为1， 当时，关于x的方程根的个数为2．（17分） 19．（17分）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 【解析】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以．（2分） （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为．（10分） （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以．（17分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $