第二章导数（单元自测·培优卷）高二数学北师大版选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章·导数·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1．若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可知：， ． 2．已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 4．已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用极值点的导数为0求解参数，注意检验. 【详解】， 因为，所以． 当时，由得，由得， 由得， 所以的极小值点为0，故． 5．函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递减区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增， 则，可得. 函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是. 6．若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的导函数以及函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】函数，其导数， 令，解得极值点，. 时，，单调递增； 时，，单调递减，时，，单调递增. 所以极大值为， 极小值为. 因为函数有三个零点，所以，解得. 7．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由题意确定容积关于的函数表达式，求导，确定单调性即可求解. 【详解】因为铁片的四角截去四个边长均为的小正方形， 所以无盖方盒的底面积为，高为. 设方盒的容积为，则， 令， 得或（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，方盒容积最大. 8．方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形构造函数，利用该函数的单调性和值域，将原方程的根的问题转化为函数值相等的问题，所以结合构造函数的性质，分析参数需满足的条件，确定其取值范围. 【详解】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值。由原方程可知与同号， 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则。因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列式子求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，所以A正确； 是常数，所以，所以B不正确； ，所以C不正确； ，所以D正确. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域内不是单调函数 B．函数的最小值为2 C．当时， D．若，则 【答案】AD 【分析】易得函数在上是增函数，再求出其零点，从而可求出函数的单调区间，即可判断A；根据A选项即可判断B；根据函数在上的单调性即可判断C；令，结合A选项可得函数在上单调递增，则，再判断出的符号即可判断D. 【详解】对于A，， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以存在，使得，即， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在定义域内不是单调函数，故A正确； 对于B，由A选项得， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 又，所以，故B错误； 对于C，由A选项知，函数在上先减后增， 则当时，无法判断的大小关系， 即无法判断是否成立，故C错误； 对于D，， 则， 令，则， 由A选项知，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以， 因为，所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．已知函数在处取得极大值，则的值为_________． 【答案】1 【分析】根据函数在处取得极大值得到，求出的值，再代入函数验证. 【详解】已知，则. 因为函数在处取得极大值，所以，即，解得或. 当时，， 当时，；当时，；当时，； 此时为极大值点，满足条件. 当时，， 当时，；当时，；当时，； 此时为极小值点，不满足条件. 综上，的值为1. 13．已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 【答案】 【分析】由，可得在R上单调递增，又注意到原不等式等价于，据此可得答案. 【详解】因为，构造函数， 因为，所以函数是增函数， 因为，所以， 因为，所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为. 14．对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过因式分解得到的根与的根重合，得到，进而得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】原不等式移项整理： ， 因式分解得： 该式对恒成立， 若，则恒成立，要求对任意恒成立，显然不可能，故， 因为是增函数， 因此： 时， 时， 要乘积恒小于等于0，要求在时非负，在时非正， 故，且的根与的根重合， 即： 将代入得： ， 设，则 ， 当时， ，单调递增； 当 时， ，单调递减； 故在处取最大值： . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标即得解； （2）设切点，求解此点处的切线，计算得证直线与函数图象相切； 【详解】（1）由题意知，，∴切线的斜率为1 ∴切线方程为 （2）设为函数图象上一点 令点处切线斜率为1，则， 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，不符合题意 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，即直线 ∴直线与函数的图象相切 16．(15分)已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的导数与单调性的关系，通过讨论a的范围，判断函数的单调性； （2）利用（1）的结论，结合零点存在定理列不等式求a的范围. 【详解】（1）已知，其定义域为.求导. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于0时，趋近于， 所以根据零点存在定理，则需满足， ，解得； ，化简得，解得； 又因为，可得， 所以实数a的取值范围为. 17．(15分)已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分析函数单调性和极值点，进而求出函数的极小值； （2）先转化不等式，构造函数并求导，分析函数单调性及极值点，进而求出的取值范围． 【详解】（1）当时，函数，求导得： ， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极小值点，代入函数得． （2）恒成立， ，不等式化为， 整理得，，问题转化为， 令，则， ，令分子为0，化简得 ，整理得， ，，故，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值：， 当时，，时， 且对所有，成立； 当时，处，不满足条件， 的取值范围为． 18．(17分)已知函数，. (1)记，，求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）注意到，由导数知识可得，从而，然后由单调性可得最小值； （2）分，，三种情况，求出在相应区间上的最值可得答案. 【详解】（1）， 令，， ， 从而在上单调递增，在上单调递减， 从而 ，， 因 ， 则 .令， 则， ， 从而在上单调递减， 则； （2）. 当，则对任意实数恒成立； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 则，即此时； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即此时. 综上可得对恒成立时， 19．(17分)已知，函数. (1)当时，函数为减函数，求实数的最小值; (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)当时，证明：方程有三个不等实根. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将原函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再求出，进而建立不等式求解参数范围，最后得到最值即可； （2）利用函数的对称性证明即可； （3）利用导数结合零点存在性定理得到的零点，进而得到的单调性，最后再结合零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，记， 其中，则， 因为函数为减函数，所以恒成立 因为，当且仅当时等号成立，故， 而成立，可得，解得，故的最小值为. （2）令，解得，则函数定义域为， 因为 ， 所以关于点中心对称，即曲线是中心对称图形. （3）当时，， 当时，， 令，则， 则函数在区间上单调递减， 而，，可得， 由零点存在性定理得存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，则，， 而，可得方程在区间上有一解， 由曲线的对称性知，方程在区间上也有一解， 故方程在区间上有三解. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章·导数·培优卷（参考答案） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C A D D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 1 13． 14． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚。 15．(13分) 【详解】（1）由题意知，，∴切线的斜率为1 ∴切线方程为 （5分） （2）设为函数图象上一点 令点处切线斜率为1，则， 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，不符合题意 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，即直线 ∴直线与函数的图象相切 （8分） 16．(15分) 【详解】（1）已知，其定义域为.求导. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （7分） （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于0时，趋近于， 所以根据零点存在定理，则需满足， ，解得； ，化简得，解得； 又因为，可得， 所以实数a的取值范围为. （8分） 17．(15分) 【详解】（1）当时，函数，求导得： ， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极小值点，代入函数得． （6分） （2）恒成立， ，不等式化为， 整理得，，问题转化为， 令，则， ，令分子为0，化简得 ，整理得， ，，故，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值：， 当时，，时， 且对所有，成立； 当时，处，不满足条件， 的取值范围为． （9分） 18．(17分) 【详解】（1）， 令，， ， 从而在上单调递增，在上单调递减， 从而 ，， 因 ， 则 .令， 则， ， 从而在上单调递减， 则； （7分） （2）. 当，则对任意实数恒成立； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 则，即此时； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即此时. 综上可得对恒成立时， （10分） 19．(17分) 【详解】（1）当时，记， 其中，则， 因为函数为减函数，所以恒成立 因为，当且仅当时等号成立，故， 而成立，可得，解得，故的最小值为. （5分） （2）令，解得，则函数定义域为， 因为 ， 所以关于点中心对称，即曲线是中心对称图形. （5分） （3）当时，， 当时，， 令，则， 则函数在区间上单调递减， 而，，可得， 由零点存在性定理得存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，则，， 而，可得方程在区间上有一解， 由曲线的对称性知，方程在区间上也有一解， 故方程在区间上有三解. （7分） 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章·导数·培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版选择性必修第二册第二章导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 5．函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，（   ） A．2 B． C． D．4 8．方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子求导正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线与直线垂直 B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C．曲线的切线的倾斜角取值范围是 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域内不是单调函数 B．函数的最小值为2 C．当时， D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在处取得极大值，则的值为_________． 13．已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 14．对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 16．（15分）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围. 17．（15分）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 18．（17分）已知函数，. (1)记，，求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 19．（17分）已知，函数. (1)当时，函数为减函数，求实数的最小值; (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)当时，证明：方程有三个不等实根. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第二章·导数·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.若函数y=f(x)在点xoy。处的切线斜率为2，则☐ f(-f(-24x 等于（) A.-4 B.-2 C.2 D.4 2.已知直线y=x是曲线f(x)=1nx+a的切线，则切点的横坐标为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象可能是() (x 4.已知函数f(x)=2ex-3ax的极值点为0，则a=() A.0 B. c. D. 5.函数f(x)=1nx+ax2-5在区间(，2)内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是() A.a<-2 B.a<- C.a>- D.a>-2 6.若函数f(x)=x3一3x+a有三个零点，则实数a的取值范围为() A.[-2+∞)B.（-2,+∞ c.（-0∞2 D.-2<a<2 1/8 7.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积 最大时，x=() A.2 B. C. D.4 8.方程xes=a(1nx+x)有两实数根x1x2(x1≠x2),则实数a的取值范围是() A.(0,+o)B.(e,+o) c.(0,e) D.(-∞，e) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列式子求导正确的是() A.(x2+)=2x-是 B.(sin2026)=cos2026 C.（2)=x2-1 D.(（m(5x)= 10.己知函数f(x)=言，则下列说法正确的是() A.曲线f(x)在x=0处的切线与直线y=一X垂直 B.若点P是曲线y=f(x)上的动点，则点P到直线y=x+2距离的最小值为反 C.曲线f(x)的切线的倾斜角取值范围是[0，罗)U[,π) D.若过点A(O,a)可以作曲线y=f(x)的三条切线，则0<a< 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.已知函数f(x)=ex-lnx,下列结论正确的是() A.函数f(x)在定义域内不是单调函数 B.函数f(x)的最小值为2 C.当0<x1<x2<1时，e:-e>lnx2-lnx1 D.g(x)=f (x)-2,m>1,n>1,g(m+n)>g(m)+g(n) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知函数f(x)=青a2x3-ax2+2x+1在x=1处取得极大值，则a的值为 13.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)-f(x)>0,若f(0)=1,则不等式f(x)-x>0的解 集为 ·(结果用区间表示) l4.对于VxER,不等式axex-b≤abx-ex恒成立，则ab的最大值为 3/8 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知函数f(x)=nx,g(x)=3-2x-3 (1)求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线1的方程； (2)证明：(1)中直线1与函数g(x)的图象也相切. 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16.(15分)已知函数f(x)=lnx-ax2+1(a∈R) (I)判断函数f(x)的单调性： (2)若函数f(x)在区间(0，e)上有两个零点，求实数a的取值范围. 5/8 17.(15分)已知函数f(x)=(ax2-x-1)e,其中a>0. (1)当a=1时，求函数f(x)的极小值； (2)当x>0时，f(x)≥-e恒成立，求a的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=lnx-x+1,g(x)=意 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)i记h(x)=g(x)-f(x),xE[合，e],求h(x)的最小值： (2)若g(x)≤t(x+麦)对任意x∈R恒成立，求实数t的取值范围， 19.(17分)已知a∈R,函数f(x)=sin(ax-a)-ln() (I)当a=0时，函数y=f(x)-bx为减函数，求实数b的最小值， 7/8 (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形： (3)当a=π时，证明：方程f(x)=0有三个不等实根. 8/8